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| Aufgabe | die duruch die Parameterdarstellung
[mm] x=(t^2-1)/(t^2+1) [/mm] y= [mm] t*(t^2-1)/(t^2+1)
[/mm]
definierte Kurve heisst Straphoide. Bestimmen Sie dei Kurvenpunkte mit waagerechter bze. senkrechtern Tangente und skizzieren Sie den Kurvenveraluf. |
Hallo zusammen,
ich erkläre euch jetzt mal was ich bereits gemacht habe:
x abgeleitet= [mm] (4*t)/(t^2+1)^2
[/mm]
y abgeleitet= [mm] (t^4+4*t^2-1)/(t^2+1)^2
[/mm]
y'/x' = [mm] (t^4+4*t^2-1)/(4*t)
[/mm]
jetzt stehe ich völlig an.
Ich muss die erstens mal die Nullstellen von [mm] (t^4+4*t^2-1)/(4*t) [/mm] ausrechnen.
Wie mache ich das ohne Taschenrechner?
Anschliessend muss ich die Punkte finden, wo die waage- und senkrechten Tangenten sind.
Normalerweise bringt man das durch Nullstellenberchnung der abgeleiteten Funktion mit anschliessendem einsetzen der Nullstellen hin.
Könnt Ihr mir bitte weiterhelfen?
Die Lösungen sind:
waagerechte Tangenten
[mm] t1,t2=\pm0,486
[/mm]
P1,P2 [mm] (-0,618;\pm0,3)
[/mm]
senkrechte Tangenten
t3=0
P3(-1;0)
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Hallo marco-san,
> die duruch die Parameterdarstellung
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> [mm]x=(t^2-1)/(t^2+1)[/mm] y= [mm]t*(t^2-1)/(t^2+1)[/mm]
>
> definierte Kurve heisst Straphoide. Bestimmen Sie dei
> Kurvenpunkte mit waagerechter bze. senkrechtern Tangente
> und skizzieren Sie den Kurvenveraluf.
> Hallo zusammen,
>
> ich erkläre euch jetzt mal was ich bereits gemacht habe:
>
> x abgeleitet= [mm](4*t)/(t^2+1)^2[/mm]
>
> y abgeleitet= [mm](t^4+4*t^2-1)/(t^2+1)^2[/mm]
>
> y'/x' = [mm](t^4+4*t^2-1)/(4*t)[/mm]
>
> jetzt stehe ich völlig an.
>
> Ich muss die erstens mal die Nullstellen von
> [mm](t^4+4*t^2-1)/(4*t)[/mm] ausrechnen.
>
> Wie mache ich das ohne Taschenrechner?
>
Betrachte den Zähler [mm]t^{4}+4*t^{2}-1[/mm]
Beim Zähler handelt es sich um eine biqaudratische Gleichung,
d.h. mit der Substitution [mm]z=t^{2}[/mm] wird diese in eine
quadratische Gleichung überführt wird.
Von dieser quadratische Gleichung kannst Du dann, wie gewohnt,
die Nullstellen berechnen.
Die Lösungen müssen dann noch zurücksubstituiert werden.
Das sind dann die waagrechten Tangenten.
> Anschliessend muss ich die Punkte finden, wo die waage- und
> senkrechten Tangenten sind.
Die senkrechten Tangenten findest Du,in dem Du [mm]\dot{x}\left(t\right)=0[/mm] setzt,
wobei die jeweils andere Ableitung an der betreffenden Stelle
von Null verschieden sein muss.
[mm]\dot{x}\left(t\right)=\bruch{4*t}{(t^2+1)^2}[/mm]
>
> Normalerweise bringt man das durch Nullstellenberchnung der
> abgeleiteten Funktion mit anschliessendem einsetzen der
> Nullstellen hin.
>
> Könnt Ihr mir bitte weiterhelfen?
>
> Die Lösungen sind:
>
> waagerechte Tangenten
> [mm]t1,t2=\pm0,486[/mm]
>
> P1,P2 [mm](-0,618;\pm0,3)[/mm]
>
> senkrechte Tangenten
> t3=0
>
> P3(-1;0)
Gruss
MathePower
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WoW!
Tausend Dank.
Ich konnte alles super berechnen. Meine Frage sind jedoch noch:
Wie kommt man auf die Punkte wo die Tangten sind (x;y)?
Wie berechnest Du die Nullstelle bei x'? Ich habe den Nenner genau gleich wie Du berechnet, es gab keine Nullstelle. Im Nenner dagegen schon; 4*t=4*0.
Ist das korrekt?
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Hallo marco-san,
> WoW!
> Tausend Dank.
>
> Ich konnte alles super berechnen. Meine Frage sind jedoch
> noch:
> Wie kommt man auf die Punkte wo die Tangten sind (x;y)?
>
> Wie berechnest Du die Nullstelle bei x'? Ich habe den
> Nenner genau gleich wie Du berechnet, es gab keine
> Nullstelle. Im Nenner dagegen schon; 4*t=4*0.
Nun, der Zähler von x' muss 0 werden,
der Nenner muss auch hier von Null verschieden sein.
Die Bedingung für senkrechte Tangenten lautet: [mm]x'\left(t\right)=0, \ y'\left(t\right) \not=0[/mm]
Analog für waagrechte Tangenten: [mm]y'\left(t\right)=0, \ x'\left(t\right) \not=0[/mm]
> Ist das korrekt?
>
>
Gruss
MathePower
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Danke nochmals für die Antwort,
dass habe ich verstanden.
Ich verstehe nur nicht wie man auf die Punkte kommt, bzw. wie man diese berechnet.
waagerechte Tangenten
[mm] t1,t2=\pm0,486
[/mm]
kannst du mir da noc weiterhelfen?
P1,P2 [mm] (-0,618;\pm0,3)
[/mm]
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Hallo marco-san,
> Danke nochmals für die Antwort,
>
> dass habe ich verstanden.
>
> Ich verstehe nur nicht wie man auf die Punkte kommt, bzw.
> wie man diese berechnet.
>
> waagerechte Tangenten
> [mm]t1,t2=\pm0,486[/mm]
>
> kannst du mir da noc weiterhelfen?
>
> P1,P2 [mm](-0,618;\pm0,3)[/mm]
>
Nun, den entsprechenden t-Wert in x(t) und y(t) einsetzen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 So 23.05.2010 | | Autor: | marco-san |
Vielen Dank.
Habe mit meinem Taschenrechner ein Problem gehabt.
Dein wissen hätte ich gerne 
Tausend Dank und gute Nacht.
Gruss
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