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Forum "Knobelaufgaben" - Strecke und Kreis
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Strecke und Kreis: Übungsaufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 Mi 29.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Aufgabe
Eine Strecke wird von einem Kreis, dessen Durchmesser der Länge der Strecke entspricht, in zwei Punkten geschnitten. Die beiden Endpunkte der Strecke sowie ihr Mittelpunkt haben von der Kreislinie denselben Abstand a=1 .

Wie lang ist die Strecke ?

Dies ist eine (nicht besonders schwierige) geometrische
Aufgabe, die nur möglicherweise etwas unkonventionell
formuliert ist.

LG    Al-Chw.

        
Bezug
Strecke und Kreis: Dummy-Frage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:35 Mi 29.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Diese "Dummy-Frage" soll nur bewirken, dass die obige
Übungsaufgabe weiterhin sichtbar bleibt. Antwortet also
bitte nicht auf diese "Frage", sondern nur auf die Original-
frage.

LG    Al-Chw.

Bezug
        
Bezug
Strecke und Kreis: die eigentliche Idee
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:43 Do 30.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Die obige Aufgabe ist eigentlich ein Nebenprodukt einer Frage,
die ich mir gestellt habe, die ich aber nicht ganz leicht in eine
gut verständliche Aufgabenstellung umsetzen konnte.
Nun habe ich dies nochmals versucht:

Aufgabe
Ein Eisenbahnwaggon, der eine Kurve entlang fährt, wird idealisiert zu einer Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] der Länge s. An den Stellen F und G (mit [mm] |\overline{AF}|=|\overline{GB}|) [/mm] dieser Strecke sind die zwei Fahrgestelle montiert. Die Punkte F und G fahren also exakt der idealisierten Gleislinie entlang. Die übrigen Punkte des Waggons weichen während der Kurvenfahrt seitlich von der Gleislinie ab.
Die größte Abweichung nach außen tritt dabei an den Wagenenden A und B auf, die größte Abweichung nach innen beim Wagenmittelpunkt M.
Nun kann man sich fragen, an welchen Stellen der Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] die Fahrgestelle F und G montiert werden sollen, damit diese maximalen Abweichungen nach innen und nach außen gleich groß sind. Die Lösung ist natürlich vom Krümmungsradius R des durchfahrenen (Kreis-) Bogens abhängig. Da es nun aber technisch einen zu großen Aufwand bedeuten würde, die Fahrgestelle am Waggon verschiebbar zu montieren (für verschiedene Kurvenradien), und da bei Bahnlinien (glücklicherweise) Kurven mit großen Radien weitaus überwiegend sind, modifiziere ich die Frage nun so: wo sollen die Fahrgestelle montiert werden, damit die maximalen Abweichungen nach innen und außen gleich groß sind für den Fall großer Kurvenradien ( eigentlich im Limes für [mm] R\to\infty [/mm] , obwohl damit natürlich auch die Abweichungen selbst gegen Null streben ).
Die konkrete Frage:  
Welchen Wert hat bei einem so "optimierten" Waggon das Verhältnis [mm] \frac{|\overline{FG}|}{|\overline{AB}|} [/mm] ?


      
Hinweis:  Dies ist eine andere Aufgabe als die zuerst gestellte !

Bezug
        
Bezug
Strecke und Kreis: Abstandsmessung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:57 Fr 01.07.2011
Autor: reverend

Hallo Al,

eine kleine Rückfrage:

wird der Abstand der Punkte zum Kreis denn (wenn ich die Motivation der Aufgabe einmal aufnehme) aus Sicht des Reisenden im Bezugssystem "Wagen" oder aus Sicht eines außerhalb stehenden Beobachters im Bezugssystem "Kurve" gemessen?

Einfacher: geschieht die Abstandsmessung senkrecht zur Strecke oder entlang eines (ggf. verlängerten) Kreisradius?

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Strecke und Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:37 Fr 01.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al,
>  
> eine kleine Rückfrage:
>  
> wird der Abstand der Punkte zum Kreis denn (wenn ich die
> Motivation der Aufgabe einmal aufnehme) aus Sicht des
> Reisenden im Bezugssystem "Wagen" oder aus Sicht eines
> außerhalb stehenden Beobachters im Bezugssystem "Kurve"
> gemessen?
>  
> Einfacher: geschieht die Abstandsmessung senkrecht zur
> Strecke oder entlang eines (ggf. verlängerten)
> Kreisradius?
>  
> Grüße
>  reverend


Hallo reverend,

in unserem Zeitalter der Hochgeschwindigkeitszüge werden die
Abstände natürlich in einem relativistischen Koordinatensystem
gemessen ...   ;-)
Nein, Spass beiseite: ich messe die Abstände radial, also quer
zum Geleise. Die andere Methode, wobei man quer zum Wagen
misst, würde wohl zu einer schwierigeren Aufgabe führen - aber
zweifellos zum selben Schlussergebnis für große Kurvenradien
(im Grenzwert für [mm] R\to\infty). [/mm]
Übrigens habe ich noch festgestellt, dass die "Limes-Lösung"
auch schon für kleine Radien (R = einige Waggonlängen) sehr
gute Zahlenwerte liefert.

LG   Al
    


Bezug
        
Bezug
Strecke und Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:13 Sa 02.07.2011
Autor: Blech

In related news, wie kommt man auf die Kreissegmentsformel

$r = [mm] \frac{4 h^2 + s^2}{8 h}=\frac [/mm] h2 + [mm] \frac{s^2}{8h} [/mm] \ ?$

Hat da jemand ne schöne Herleitung?

ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
Strecke und Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:53 Sa 02.07.2011
Autor: Pappus


> In related news, wie kommt man auf die Kreissegmentsformel
>  
> [mm]r = \frac{4 h^2 + s^2}{8 h}=\frac h2 + \frac{s^2}{8h} \ ?[/mm]
>  
> Hat da jemand ne schöne Herleitung?
>  
> ciao
>  Stefan

Hallo,

[Dateianhang nicht öffentlich]

Im Prinzip ist das nichts weiter als Pythagoras:

[mm] $\left(\frac s2\right)^2+(r-h)^2=r^2$ [/mm]

[mm] $\left(\frac{s^2}{4}\right)+r^2-2hr+h^2=r^2$ [/mm]

[mm] $\left(\frac{s^2}{4}\right)+h^2=2hr$ [/mm]

jetzt noch durch 2h teilen und Du hast die von Dir zitierte Formel.

Gruß

Pappus

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Strecke und Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:16 Sa 02.07.2011
Autor: Blech

Ah, thx. =)

Bezug
        
Bezug
Strecke und Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:02 Fr 15.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo,

hier noch die Lösung zur
Aufgabe, die mich eigentlich ursprünglich interessierte


In der zweiten Aufgabe (Eisenbahnwagen) sind Kurven-
radius R und Wagenlänge s unabhängig - nur muss natürlich
R > s/2 sein - und realistischerweise R > einige s .
Die Lösung ist, dass (im Grenzwert für $ [mm] R\to\infty)$ [/mm] das
Verhältnis $ [mm] \frac{\left|\overline{FG}\right|}{\left|\overline{AB}\right|} [/mm] $ von Radstand zu Waggonlänge gegen [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] $ strebt.

Interessant ist, dass  diese "Limes-Lösung" auch schon für
kleine Radien (R = einige Waggonlängen) sehr gute Zahlen-
werte liefert, das heißt, auch bei relativ kleinen (aber noch
im Vergleich zur Wagenlänge realistische) Kurvenradien
ist die maximale Abweichung des Wagens von der Gleislinie
nach außen und nach innen ziemlich exakt gleich groß.

LG

Al-Chwarizmi





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