Strecke zwischen Geraden < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mi 02.04.2008 | | Autor: | n0rdi |
| Aufgabe | | Wie lang ist die Strecke, die zwischen den Geraden [mm]g_1: \vec r: {4 \choose 2} + \lambda {1 \choose 2} [/mm] und [mm] g_2: \vec r: {4 \choose 2} + \mu {2 \choose -5} [/mm] liegt un in Punkt P(6|0) im Verhältnis 1:2 geteilt wird? |
So ich habe die Geraden einfach mal in die Koordinatengleichung umgeformt für eine veranschaulichung und mein problem ist, wie komme ich an die Gerade für die Strecke. Ich habe einen Punkt und weiß das verhältnis. Aber die Steigung fehlt mir. Aber die wollen ja das Stück zwischen dem Graphen 1 und 2 wissen, also schneidet die Gerade beide Geraden. Ich weiß nur nicht wie ich mit dem Verhältnis umgehen soll. Einfach [mm]2*L_1= L_2[/mm] und dann einsetzen bzw ersetzen? oder wie?
Die Strecke von dem hinteren Graphen bis zum Punkt P ist halb so groß wie von P und weiter?
Danke für euer Bemühen und Rat schon einmal im Voraus
MfG
Nordi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
mach dir am besten erstmal eine Skizze, damit du das Problem siehst. Das geht ja hier recht einfach, da es ja "nur" 2D ist.
Nun, man kann erstmal eine allgemeinen Verbindungsvektor berechnen, also sowas wie [mm] $\vec{r_1}-\vec{r_2}$, [/mm] wenn [mm] $r_1$ [/mm] und [mm] $r_2$ [/mm] die beiden r sind, die in der Geradengleichung stehen.
Dann hast du einen allgemeinen Verbindungsvektor. Dann kannst du sagen, dass 1) Die Verbindung durch (6;0) gehen soll
2) Die Längen vom einen Punkt auf der einen Geraden zu P und die zweite Länge durcheinander divdiert gleich 1:2 sein müssen.
Dann hast du erstmal ein paar Gleichungen, mit den unbekannten [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] Dann auflösen, und dann hast du die beiden Punkte, die deine Bedingungen erfüllen. Dann einfach den Verbindungsvektor konkret berechnen, und dann die Länge berechnen.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Mi 02.04.2008 | | Autor: | n0rdi |
ja die skizze ist mein problem :( ich habe die nur soweit, dass die beiden sich schneiden und den punkt P aber ich weiß nicht wo die Gerade zwischen den Geraden liegen soll.
Das Verhältnis, das 1/3 soll das das Stück zwischen den Geraden + das Stück von dort zum Punkt P sein und die 2/3 das restliche oder?
aber ist das nicht unendlich lang? (Gerade)
und mit welchen Punkten außer P soll ich denn die Bestimmung r machen?
steh voll auf dem Schlauch momentan :( Sorry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
naja, es soll doch eine Verbindungslinie geben, die von der einen Gerade zur anderen Gerade geht (deshalb ja auch Strecke...und die hat eine Länge).
Nimm dir doch zwei allgemiene Punkte, die auf der Geraden liegen. Dann nimmst du den Verbindungsvektor, und berechnest die Strecke.
Dann hast du schonmal eine Einschränkung der Verbindungen, denn die Strecke soll durch den Punkt P gehen. Dann hast du schonmal eine Einschränkung.
Und ja, dass 1/3 und 2/3 passt.
EDIT: Gibt m.E. noch eine bessere Idee:
Du wählst dir einen allgemeinen Punkt auf einer der Geraden. Dann berechnest du eine allgemeine Gerade von dem Punkt auf der Geraden und durch P. Dann kannst du allgemein den Schnittpunkt dieser Geraden mit der zweiten Geraden berechnen. Dann die letzte Einschränkung mit dem Verhältnis der beiden Teilstrecken, und du bist fertig.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mi 02.04.2008 | | Autor: | n0rdi |
> Hi,
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> naja, es soll doch eine Verbindungslinie geben, die von der
> einen Gerade zur anderen Gerade geht (deshalb ja auch
> Strecke...und die hat eine Länge).
>
> Nimm dir doch zwei allgemiene Punkte, die auf der Geraden
> liegen. Dann nimmst du den Verbindungsvektor, und
> berechnest die Strecke.
> Dann hast du schonmal eine Einschränkung der Verbindungen,
> denn die Strecke soll durch den Punkt P gehen. Dann hast du
> schonmal eine Einschränkung.
>
> Und ja, dass 1/3 und 2/3 passt.
>
> EDIT: Gibt m.E. noch eine bessere Idee:
> Du wählst dir einen allgemeinen Punkt auf einer der
> Geraden. Dann berechnest du eine allgemeine Gerade von dem
> Punkt auf der Geraden und durch P. Dann kannst du allgemein
> den Schnittpunkt dieser Geraden mit der zweiten Geraden
> berechnen. Dann die letzte Einschränkung mit dem Verhältnis
> der beiden Teilstrecken, und du bist fertig.
>
Ich verstehe schon das Vorgehen, sowas spielte sich bei mir ja auch ab. Aber ich komme nicht voran, Die Gerade habe ich aber allg mit [mm]x_1, x_2[/mm]. Wenn ich die nun mit der anderen gegebenen Geraden gleichsetze bleibt das x1 und x2 immer noch dadrin.
aber ich komme nicht darauf, wie ich damit umgehen soll (mit dem Verhältnis) und meine Skizze ist unvollständig, wiel nach dem Punkt P kommt ja das 2/3 Stück aber eine Gerade ist doch unendlich lang :(
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>
> LG
>
> Kroni
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
hier erstmal ein Plot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun weist zu zumindest, wie das ganze Ausschaut.
Nun kannst du dir einen allgemeinen Punkt auf einer der Geraden wählen, und dort dann mit diesem Punkt eine neue Gerade berechnen. Diese dann mit der zweiten Gerade zum Schnitt bringen, und dann weiter rechnen, eben den Gedanken durchzurechnen, den ich dir schon gegeben habe.
Ich werde die Rechnung jetzt auch mal starten.
LG
Kroni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
hier nochmal das Bild, wo die beiden Strecken drin sind:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Einmal ist das die Blaue Linie. Desweiteren ist das auch noch die orange Gerade, die die Bedingungen erfüllt.
Dann sieht man einmal, dass die Streckenlänge genau 9 ist (blaue Gerade), und einmal kommt man auf [mm] $\sqrt{153}$.
[/mm]
LG
Kroni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Mi 02.04.2008 | | Autor: | n0rdi |
es gibt also mehrere Lösungen? oder wie ist das zu verstehen?
und wo hast du denn das verhältnis eingebaut?
aber danke für deine hilfe, ich versuch mal auf die lösungen zu kommen zumindestens auf die orange, die blaue kann man ja so ablesen ;)
Nochmals Dankeschön :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, schau dir das ganze mal an...die Orange-Linie geht ja von (5;4) nach (8;-8), wenn du dann die Verbindungsvektoren jeweils zum Punkt P brechnest, erhalte ich einma ldie Länge [mm] $2\sqrt{17}$ [/mm] und einmal [mm] $\sqrt{17}$, [/mm] und diese Teillängen stehen im Verhältnis 1/2.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mi 02.04.2008 | | Autor: | n0rdi |
ja das habe ich ja schon verstanden :) aber warum grade der punkt (5|4)?
irgendwie muss man es doch mit dem verhältnis rauskriegen oder?
das ist ja mein denkfehler die ganze zeit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
der Punkt ergab sich aus meiner Rechnung.
1. Schritt: Ich habe die Gerade mit negativer Steigung genommen, und habe mir einen allgemienen Punkt x herausgenommen. Der sieht dann ja so aus: [mm] $x=\pmat{4\\2}+\mu\pmat{2\\-5}$ [/mm] Dann habe ich mir aus dem "festen" Punkt x und P einen Richtungsvektor gebaut. Dann aus X und dem Richtungsvektor eine Gerade gebastelt. Dabei stehen dann zwar zwei Varibalen dar, aber ich habe dann erstmal [mm] $\mu$ [/mm] als "fest" angesehen, der Parameter für die Gerade soll ein anderer sein.
2. Schritt: Schnittpunkt zwischen der eben berechneten Geraden und der zweiten, in der Aufgabenstellung angegebenen, Geraden berechnet.
Dann habe ich den Schnittpunkt in Abhängigkeit von [mm] $\mu$ [/mm] heruasbekommen.
3. Schritt: Länge zwischen SP und PX bererchnen. Dann die beiden Längen durcheinander dividieren und das dann gleich 1/2 bzw. 2 setzen (denn man kann ja einmal die Länge von der unteren Geraden zu P als 2/3 der Länge setzten, aber man kann diese Länge auch 1/3 der Länge setzen...Das Verhätlnis 1/2 sagt ja nichts darüber aus, in Welcher Richtung das Verhältnis da stehen soll.
Dann nach [mm] $\mu$ [/mm] auflösen, und man erhält die beiden Punkte. Man bekommt noch zwei mehr, aber wenn man sich eine Skizze gemacht hat, sieht man, dass die Punkte nicht zur Aufgabenstlelung gehören.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Mi 02.04.2008 | | Autor: | n0rdi |
ok dickes dankeschön :) ich sollte es nun hinkriegen. sorry aber ich hatte nur irgendwie heute keinen kopf dafür, muss es nur zu morgen :(
ich sollte es nun aber schaffen
danke für deine Denkstütze ;) die aufgabe ging einfach nicht in meinen kopf rein....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mi 02.04.2008 | | Autor: | n0rdi |
> Hi,
>
> der Punkt ergab sich aus meiner Rechnung.
>
> 1. Schritt: Ich habe die Gerade mit negativer Steigung
> genommen, und habe mir einen allgemienen Punkt x
> herausgenommen. Der sieht dann ja so aus:
> [mm]x=\pmat{4\\2}+\mu\pmat{2\\-5}[/mm]
ok das ist dein x!
> Dann habe ich mir aus dem "festen" Punkt x und P einen Richtungsvektor gebaut.
also du hast Vektor P - [mm]\pmat{4\\2}+\mu\pmat{2\\-5}[/mm] genommen oder für [mm]\mu[/mm] was eingesetzt? ist das der Vektor [mm]\pmat{2\\-2}[/mm]
> Dann aus X und dem Richtungsvektor eine Gerade gebastelt. Dabei
> stehen dann zwar zwei Varibalen dar, aber ich habe dann
> erstmal [mm]\mu[/mm] als "fest" angesehen, der Parameter für die
> Gerade soll ein anderer sein.
Dein X soll das das gleiche sein wie das x? aber dann haste doch das alte rückgängig gemacht oder?
2 Variablen? welche denn aus das Mu? Das x?
> 2. Schritt: Schnittpunkt zwischen der eben berechneten
> Geraden und der zweiten, in der Aufgabenstellung
> angegebenen, Geraden berechnet.
Ok
> Dann habe ich den Schnittpunkt in Abhängigkeit von [mm]\mu[/mm]
> heruasbekommen.
> 3. Schritt: Länge zwischen SP und PX bererchnen. Dann die
> beiden Längen durcheinander dividieren und das dann gleich
> 1/2 bzw. 2 setzen (denn man kann ja einmal die Länge von
> der unteren Geraden zu P als 2/3 der Länge setzten, aber
> man kann diese Länge auch 1/3 der Länge setzen...Das
> Verhätlnis 1/2 sagt ja nichts darüber aus, in Welcher
> Richtung das Verhältnis da stehen soll.
>
> Dann nach [mm]\mu[/mm] auflösen, und man erhält die beiden Punkte.
> Man bekommt noch zwei mehr, aber wenn man sich eine Skizze
> gemacht hat, sieht man, dass die Punkte nicht zur
> Aufgabenstlelung gehören.
>
> LG
>
> Kroni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> > [mm]x=\pmat{4\\2}+\mu\pmat{2\\-5}[/mm]
> ok das ist dein x!
Genau, das ist ein allgemeiner Punkt auf der Geraden.
>
> > Dann habe ich mir aus dem "festen" Punkt x und P einen
> Richtungsvektor gebaut.
> also du hast Vektor P - [mm]\pmat{4\\2}+\mu\pmat{2\\-5}[/mm]
> genommen oder für [mm]\mu[/mm] was eingesetzt? ist das der Vektor
> [mm]\pmat{2\\-2}[/mm]
>
> > Dann aus X und dem Richtungsvektor eine Gerade gebastelt.
> Dabei
> > stehen dann zwar zwei Varibalen dar, aber ich habe dann
> > erstmal [mm]\mu[/mm] als "fest" angesehen, der Parameter für die
> > Gerade soll ein anderer sein.
> Dein X soll das das gleiche sein wie das x?
Ja.
>aber dann
> haste doch das alte rückgängig gemacht oder?
Nein.
Pass auf. Du siehst, dass x auf der einen Geraden hin und her wandern kann. Wählen wir uns jetzt einen allgemeinen, aber festen Punkt x auf der Gerade aus. Der sieht dann so aus, wie das x oben. das [mm] $\mu$ [/mm] ist aber fest.
Dann können wir den Richtungsvektor der Geraden, die durch x und P festgelget sei, durch P-x berechnen. Der sieht dann doch so aus:
[mm] $R=\pmat{-2\\2}+\mu\pmat{2\\-5}$
[/mm]
Gut, Die Gerade hat dann den obigen Richtungsvektor, der sicher von [mm] $\mu$ [/mm] abhängt, aber das [mm] $\mu$ [/mm] stezen wir erstmal als fest.
Dann können wir ja die Geradengleichung durch x und P aufschreiben:
Die sieht dann so aus:
[mm] $\vec{x}+\vec{R}$ [/mm] also so:
[mm] $\left[\pmat{4\\2}+\mu\pmat{2\\-5}\right]+\vec{R}=\left[\pmat{4\\-2}+\mu\pmat{2\\-5}\right]+\epsilon\left[\pmat{-2\\2}+\mu\pmat{2\\-5}\right]$
[/mm]
> 2 Variablen? welche denn aus das Mu? Das x?
Stelle dir jetzt für [mm] $\mu$ [/mm] eine Zahl vor, dann hast du wie gewohnt einen Sützvektor und einen Richtungsvektor. Da wir aber den Punkt auf der Geraden noch nicht wissen, müssen wir diesen eben so "kompliziert" dahinschreiben.
Dann können wir diese Gerade mit der anderen Geraden schneiden und den Schnittpunkt herausbekommen. Dafür stellen wir uns das [mm] $\mu$ [/mm] immer noch als Zahl vor, d.h. du darfst nicht nach [mm] $\mu$ [/mm] auflösen, sondern nur nach [mm] $\epsilon$ [/mm] und dem Parameter der anderen Gerade.
LG
Kroni
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