Streckung eines Vektors < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mo 25.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | | Sei $ [mm] \vec{e_1}, \vec{e_2} [/mm] $ eine Orthonormalbasis in einem zweidimensionalen Euklidischen Vektorraum $ [mm] E_2 [/mm] $ und $\ [mm] \vec{x} \in E_2 [/mm] $ ein beliebiger Vektor. Betrachten Sie eine Streckung von $ [mm] \vex{x} [/mm] $ in Richtung $ [mm] \vec{e_1} [/mm] $ um den Faktor 2... |
Was bedeutet das? Streckung ist klar, ich multipliziere den Vektor einfach mit dem Skalar 2.
Aber was bedeutet in Richtung von e1?
Nach meinem Verständnis wäre das: $ 2*|| [mm] \vec{x} ||*\vec{e_1} [/mm] $
Ich weiß, eine einfach Frage, aber trotzdem, thx! :)
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> Sei [mm]\vec{e_1}, \vec{e_2}[/mm] eine Orthonormalbasis in einem
> zweidimensionalen Euklidischen Vektorraum [mm]E_2[/mm] und [mm]\ \vec{x} \in E_2[/mm]
> ein beliebiger Vektor. Betrachten Sie eine Streckung von
> [mm]\vex{x}[/mm] in Richtung [mm]\vec{e_1}[/mm] um den Faktor 2...
>
> Was bedeutet das? Streckung ist klar, ich multipliziere den
> Vektor einfach mit dem Skalar 2.
>
> Aber was bedeutet in Richtung von e1?
>
> Nach meinem Verständnis wäre das: [mm]2*|| \vec{x} ||*\vec{e_1}[/mm]
>
> Ich weiß, eine einfach Frage, aber trotzdem, thx! :)
Mit der Streckung ist hier wohl nicht eine "gewöhnliche"
zentrische Streckung gemeint, sondern eine axiale
Streckung mit Fixgerade = [mm] x_2 [/mm] -Achse und Streckungs-
Richtung [mm] \vec{e}_1 [/mm] .
Der Vektor [mm] x=\pmat{x_1\\x_2} [/mm] wird also auf [mm] \pmat{2*x_1\\x_2} [/mm] abgebildet.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mo 25.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das gilt doch jetzt aber nur für $ \vec{e_1} = \vektor{1 \\ 0} $ oder?
Was wenn $ \vec{e_1} = \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} $ ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mo 25.04.2011 | | Autor: | abakus |
> Das gilt doch jetzt aber nur für [mm]\vec{e_1} = \vektor{1 \\ 0}[/mm]
> oder?
Nein.
Du hast vor der Streckung einen Vektor [mm]\vec{x} = \vektor{a_1* \vec{e_1}\\ a_2*\vec{e_2}}[/mm]
Du hast nach der Streckung einen Vektor [mm]\vec{x} = \vektor{2*a_1* \vec{e_1}\\ a_2*\vec{e_2}}[/mm] .
Dabei ist es ganz unerheblich, wie deine Einheitsvektoren (in Bezug auf ein "gewöhnliches" x-y-Koordinatensystem) konkret definiert sind.
Gruß Abakus
>
> Was wenn [mm]\vec{e_1} = \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mi 27.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
> > Das gilt doch jetzt aber nur für [mm]\vec{e_1} = \vektor{1 \\ 0}[/mm]
> > oder?
> Nein.
> Du hast vor der Streckung einen Vektor [mm]\vec{x} = \vektor{a_1* \vec{e_1}\\ a_2*\vec{e_2}}[/mm]
> Du hast nach der Streckung einen Vektor [mm]\vec{x} = \vektor{2*a_1* \vec{e_1}\\ a_2*\vec{e_2}}[/mm]
> .
> Dabei ist es ganz unerheblich, wie deine Einheitsvektoren
> (in Bezug auf ein "gewöhnliches" x-y-Koordinatensystem)
> konkret definiert sind.
> Gruß Abakus
> >
> > Was wenn [mm]\vec{e_1} = \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> > ?
>
Tut mir leid, aber das verstehe ich immer noch nicht ganz.
1) Warum [mm]\vec{x} = \vektor{a_1* \vec{e_1}\\ a_2*\vec{e_2}}[/mm] ? Da ist ein Pfeil über e1 und e2 wie kann man denn in den einzelnen Komponenten eines Vektors eine Multiplikation mit Vektoren machen?
2) Was axiale Streckung ist, kenne ich von Funktionen. Wie man einen Vektor in Richtung der x-Achse streckt, kann ich mir vorstellen. Aber woher weiß ich aus der Aufgabenstellung, dass axiale Streckung in x-Richtung gemeint ist.
Dort steht doch "Streckung in Richtung $ [mm] \vec{e_1} [/mm] $ Ich weiß doch gar nicht in welche Richtung $ [mm] \vec{e_1} [/mm] $ zeigt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mi 27.04.2011 | | Autor: | abakus |
> > > Das gilt doch jetzt aber nur für [mm]\vec{e_1} = \vektor{1 \\ 0}[/mm]
> > > oder?
> > Nein.
> > Du hast vor der Streckung einen Vektor [mm]\vec{x} = \vektor{a_1* \vec{e_1}\\ a_2*\vec{e_2}}[/mm]
> > Du hast nach der Streckung einen Vektor [mm]\vec{x} = \vektor{2*a_1* \vec{e_1}\\ a_2*\vec{e_2}}[/mm]
> > .
> > Dabei ist es ganz unerheblich, wie deine
> Einheitsvektoren
> > (in Bezug auf ein "gewöhnliches" x-y-Koordinatensystem)
> > konkret definiert sind.
> > Gruß Abakus
> > >
> > > Was wenn [mm]\vec{e_1} = \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> > > ?
> >
>
> Tut mir leid, aber das verstehe ich immer noch nicht ganz.
>
> 1) Warum [mm]\vec{x} = \vektor{a_1* \vec{e_1}\\ a_2*\vec{e_2}}[/mm]
> ? Da ist ein Pfeil über e1 und e2 wie kann man denn in
> den einzelnen Komponenten eines Vektors eine Multiplikation
> mit Vektoren machen?
Entschuldigung, die Schreibweise ist dumm. Es sollte eigentlich
[mm]\vec{x} =a_1* \vec{e_1}+ a_2*\vec{e_2}[/mm]
und danach eben
[mm]\vec{x} =2*a_1* \vec{e_1}+ a_2*\vec{e_2}[/mm]
heißen.
>
> 2) Was axiale Streckung ist, kenne ich von Funktionen. Wie
> man einen Vektor in Richtung der x-Achse streckt, kann ich
> mir vorstellen. Aber woher weiß ich aus der
> Aufgabenstellung, dass axiale Streckung in x-Richtung
> gemeint ist.
>
> Dort steht doch "Streckung in Richtung [mm]\vec{e_1}[/mm] Ich weiß
> doch gar nicht in welche Richtung [mm]\vec{e_1}[/mm] zeigt.
Dann weißt du es eben nur im Prinzip, was eine Streckung in [mm] e_1 [/mm] -Richtung bedeutet.
Konkret kannst du es nur sagen, wenn du die Einheitsvektoren konkret kennst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Mi 27.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
ok, danke!
Jetzt hab ich es begriffen :)
lg
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