Streng monoton abnehmend < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hey.
Ich hab folgene Aufabenstellung:
f -> 1/(x*lx)
Zeige dass die Funktion für x>1 streng monoton abnimmt,
Mein Anstaz wäre:
1/(n*ln n) > 1/[(n+1)*ln (n+1)]
Ist das soweit korrekt?
Wie mache ich weiter, ich weiß nicht wie ich am besten Auflöse?
Danke für Hilfe.
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> Hey.
Hi!
> Ich hab folgene Aufabenstellung:
> f -> 1/(x*lx)
>
> Zeige dass die Funktion für x>1 streng monoton abnimmt,
>
> Mein Anstaz wäre:
>
> 1/(n*ln n) > 1/[(n+1)*ln (n+1)]
>
> Ist das soweit korrekt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie mache ich weiter, ich weiß nicht wie ich am besten
> Auflöse?
>
> Danke für Hilfe.
Aufzulösen ist das algebraisch leider nicht, aber wenn du
[mm] $$\frac{1}{n*\ln n}>\frac{1}{(n+1)*\ln(n+1)}\quad\gdw\quad\frac{\frac{1}{n*\ln n}}{\frac{1}{(n+1)*\ln(n+1)}}>1\quad\gdw\quad\frac{(n+1)*\ln(n+1)}{n*\ln n}>1$$
[/mm]
betrachtest, ist [mm] $\frac{n+1}{n}>1$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] und wenn ihr schon hattet, dass die $e$-Funktion streng monoton auf [mm] $\IR$, [/mm] also insbesondere auf [mm] $\IN$, [/mm] steigt, dann tut es auch deren Umkehrabbildung [mm] $\ln$, [/mm] womit die Ungleichung bewiesen ist.
Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Mi 03.02.2010 | | Autor: | blinktpts |
Perfekt. Danke für die schnelle Hilfe!
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:31 Mi 03.02.2010 | | Autor: | blinktpts |
Ich hätte doch eine Frage, und zwar wenn die e-Fkt auf IN streng monoton steigend ist, für was benötige ich dann deine Rechnung?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mi 03.02.2010 | | Autor: | abakus |
> > Hey.
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> Hi!
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> > Ich hab folgene Aufabenstellung:
> > f -> 1/(x*lx)
> >
> > Zeige dass die Funktion für x>1 streng monoton abnimmt,
> >
> > Mein Anstaz wäre:
> >
> > 1/(n*ln n) > 1/[(n+1)*ln (n+1)]
> >
> > Ist das soweit korrekt?
>
>
Ist es nicht. Das ist allenfalls ein Denkansatz zum weiterforschen. Ein Beweis wird aber nie ausgehend von einer unbewiesenen Behauptung (oder der Folgerung aus einer unbewiesenen Behauptung) geführt.
Was du tun kannst:
Stelle den Term [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] auf (hier [mm] \bruch{1}{(n+1)ln(n+1)}-\bruch{1}{nln(n)}) [/mm] und schaue, ob er tatsächlich kleiner als 0 ist.
Hier kannst du noch Logarithmengesetze nutzen und umformen in [mm] \bruch{1}{ln((n+1)^{n+1})}-\bruch{1}{ln(n^n)}
[/mm]
Es ist wohl einzusehen, dass der erste Nenner größer als der zweite Nenner ist und demzufolge der erste Bruch kleiner als der zweite.
Gruß Abakus
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> > Wie mache ich weiter, ich weiß nicht wie ich am besten
> > Auflöse?
> >
> > Danke für Hilfe.
>
> Aufzulösen ist das algebraisch leider nicht, aber wenn du
>
> [mm]\frac{1}{n*\ln n}>\frac{1}{(n+1)*\ln(n+1)}\quad\gdw\quad\frac{\frac{1}{n*\ln n}}{\frac{1}{(n+1)*\ln(n+1)}}>1\quad\gdw\quad\frac{(n+1)*\ln(n+1)}{n*\ln n}>1[/mm]
>
> betrachtest, ist [mm]\frac{n+1}{n}>1[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm], und
> wenn ihr schon hattet, dass die [mm]e[/mm]-Funktion streng monoton
> auf [mm]\IR[/mm], also insbesondere auf [mm]\IN[/mm], steigt, dann tut es
> auch deren Umkehrabbildung [mm]\ln[/mm], womit die Ungleichung
> bewiesen ist.
>
> Grüße, Stefan.
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Ich hab mich verlesen und dachte, dass durch f eine Folge definiert ist. Sorry!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:25 Do 04.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Wenn Ihr Differentialrechnung schon behandelt habt, so berechne mal die Ableitung f' und überzeuge Dich von
$f'(x) <0$ für x>1
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Do 04.02.2010 | | Autor: | blinktpts |
Ja haben wir. Unser Lehrer hatte auch den Vorschlag.
War aber von der idee n+1 einzusetzen begeistert. Nur meinte er um es perfekt zu machen, sollte man n+h einsetzen, da zwischen 0 und 1 der Graph nicht streng monoton fallen müsste.
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