matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenWahrscheinlichkeitstheorieStrikte Stationarität
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Strikte Stationarität
Strikte Stationarität < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Strikte Stationarität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:17 So 12.04.2015
Autor: Die_Suedkurve

Aufgabe
Zeige:

[mm] (X_t) [/mm] strikt stationär [mm] \gdw (X_1, [/mm] ..., [mm] X_k) [/mm] und [mm] (X_{1 + h}, [/mm] ..., [mm] X_{k + h}) [/mm] haben für alle k [mm] \in \IN [/mm] und h [mm] \in \IZ [/mm] die gleiche gemeinsame Verteilung.

Hallo,

ich bräuchte mal die Hilfe bei obiger Aufgabe. Zunächst einmal meine Definition von strikter Stationarität:

Eine Zeitreihe [mm] (X_t)_{t \in \IZ} [/mm] heißt strikt stationär, falls die gemeinsamen Verteilungen von [mm] (X_{t_1}, [/mm] ..., [mm] X_{t_k}) [/mm] und [mm] (X_{t_1 + h}, [/mm] ..., [mm] X_{t_k + h}) [/mm] gleich sind für alle k [mm] \in \IN [/mm] und [mm] t_1, [/mm] ..., [mm] t_k, [/mm] h [mm] \in \IZ. [/mm] Die Richtung [mm] \Rightarrow [/mm] ist klar, aber wie zeige ich [mm] \Leftarrow [/mm] ? Wäre für Hilfe dankbar. :)

Gruß

        
Bezug
Strikte Stationarität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:26 So 12.04.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wo ist denn genau dein Problem? Und interessant finde ich, welche Richtung du "klar" findest, denn eigentlich ist [mm] \Rightarrow [/mm] gar nicht so klar, sondern viel eher [mm] \Leftarrow [/mm]

Zeige doch mal [mm] $\Rightarrow$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Strikte Stationarität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:11 So 12.04.2015
Autor: Die_Suedkurve


> Zeige doch mal [mm]\Rightarrow[/mm]

Sei [mm] (X_t) [/mm] strikt stationär und k [mm] \in \IN, [/mm] h [mm] \in \IZ [/mm] beliebig. Setze nun [mm] t_1 [/mm] := 1, [mm] t_2 [/mm] := 2, ..., [mm] t_k [/mm] := k. Dann gilt mit der Definition der strikten Stationarität:

[mm] (X_1, [/mm] ..., [mm] X_k) [/mm] und [mm] (X_{1 + h}, [/mm] ..., [mm] X_{k + h}) [/mm] haben die gleiche gemeinsame Verteilung.

[mm] \Box [/mm]

Bei der anderen Richtung weiß ich halt nicht, wie ich von dem vermeintlich kleineren ,,Einzelfall" [mm] (X_1, [/mm] ..., [mm] X_k) [/mm] und [mm] (X_{1 + h}, [/mm] ..., [mm] X_{k + h}) [/mm] auf den größeren ,,allgemeinen" Fall mit [mm] t_1, [/mm] ..., [mm] t_k [/mm] schließen soll.

Bezug
                        
Bezug
Strikte Stationarität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 So 12.04.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

edit: das was unten steht, ist natürlich nur dann richtig, wenn du dein "Zeige" als Definition hast und deine Definition als "Zeige:"
Ich hab das falsch herum gelesen, tut mir leid.
Eine Antwort deiner Frage folgt noch.


> > Zeige doch mal [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> Sei [mm](X_t)[/mm] strikt stationär und k [mm]\in \IN,[/mm] h [mm]\in \IZ[/mm] beliebig. Setze nun [mm]t_1[/mm] := 1, [mm]t_2[/mm] := 2, ..., [mm]t_k[/mm] := k.

Moment moment!
[mm] $t_1,t_2,t_k$ [/mm] sind vorgegeben und die kannst du nicht beliebig setzen!

Das ist ja so wie:
Behauptung: Für alle x gilt [mm] $x^2=1$ [/mm]
Beweis: Setze x=1, dann steht da [mm] $1^2 [/mm] = 1 [mm] \box$ [/mm]

Für [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ist folgendes zu zeigen:

Sei [mm] $t_1,\ldots,t_k, h\in\IZ$ [/mm] gegeben und [mm] (X_t) [/mm] strikt stationär, dann gilt [mm] $(X_{t_1},\ldots,X_{t_k}) [/mm] =^D [mm] (X_{t_1+h},\ldots,X_{t_k+h})$ [/mm]

Und das hast du nur für einen Fall gezeigt, nicht aber für alle notwendigen.

Die Rückrichtung funktioniert so, wie du es gezeigt hast. Da kannst du nämlich vom Allgemeinen [mm] $t_1,\ldots,t_k, h\in\IZ$ [/mm] auf den Spezialfall [mm] $1,\ldots,k,h\in\IZ$ [/mm] schließen.

Ergo: [mm] \Leftarrow [/mm] ist die einfache Richtung, [mm] \Rightarrow [/mm] die schwierige.

Ist dir das klar und verständlich?

edit2: Und jetzt die richtige Lösung :-)
oBdA sei [mm] $t_1 [/mm] < [mm] t_2 [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] t_k$. [/mm]
Dann betrachte mal die gemeinsame Veteilung von [mm] $X_{t_1},X_{t_2},\ldots,X_{t_k}$, [/mm] schreibe das als gemeinsame Verteilung von [mm] $X_1,X_2,\ldots,X_{t_k}$ [/mm] und wende deine Voraussetzung an.

Gruß,
Gono

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Strikte Stationarität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 So 12.04.2015
Autor: Die_Suedkurve

Ich muss ehrlich sagen, dass ich nicht verstehe, was dein Problem ist und deine Antwort mich eher verwirrt, als das sie mir hilft.

Die Definition von strikter Stationarität lautet:

Eine Zeitreihe $ [mm] (X_t)_{t \in \IZ} [/mm] $ heißt strikt stationär, falls die gemeinsamen Verteilungen von $ [mm] (X_{t_1}, [/mm] $ ..., $ [mm] X_{t_k}) [/mm] $ und $ [mm] (X_{t_1 + h}, [/mm] $ ..., $ [mm] X_{t_k + h}) [/mm] $ gleich sind für alle k $ [mm] \in \IN [/mm] $ und $ [mm] t_1, [/mm] $ ..., $ [mm] t_k, [/mm] $ h $ [mm] \in \IZ. [/mm] $

Dies bedeutet, dass die gemeinsame Verteilung von [mm] (X_{t_1}, [/mm] ..., [mm] X_{t_k}) [/mm] zu allen beliebigen Zeitpunkten [mm] t_1, [/mm] ..., [mm] t_k [/mm] gleich ist mit der gemeinsamen Verteilung, der um h verschobenen Zeitpunkte [mm] t_1, [/mm] ..., [mm] t_k, [/mm] sprich [mm] (X_{t_1 + h}, [/mm] ..., [mm] X_{t_k + h}). [/mm]

Wenn ich also nun eine strikt stationäre Zeitreihe habe, kann ich natürlich [mm] t_1 [/mm] := 1, [mm] t_2 [/mm] := 2, ..., [mm] t_k [/mm] := k setzen für k [mm] \in \IN [/mm] beliebig. Dann nehme ich noch ein beliebiges h [mm] \in \IZ [/mm] und schon folgt [mm] \Rightarrow. [/mm]

Und wenn ich voraussetzte, dass [mm] (X_t) [/mm] eine strikt stationäre Zeitreihe ist, kann ich selbstverständlich mit der Macht der Definition, [mm] t_1, [/mm] ..., [mm] t_k \in \IZ [/mm] beliebig wählen, da die Definition das ja sogar explizit erlaubt!

Ist das jetzt verständlich?


Sei [mm] t_1 [/mm] < ... < [mm] t_k [/mm] und A aus der Borel-Sigma-Algebra von [mm] \IR^n. [/mm] Sei [mm] (\Omega, [/mm] F, P) der Wahrscheinlichkeitsraum auf dem die Zufallsvariablen [mm] (X_t) [/mm] definiert sind. Die Verteilung von [mm] (X_{t_1}, [/mm] ..., [mm] X_{t_k}) [/mm] lautet:

[mm] P_{X_{t_1}, ..., X_{t_k}}(A) [/mm] = P [mm] \circ (X_{t_1}, [/mm] ..., [mm] X_{t_k})^{-1} [/mm] (A)
= P [mm] \circ (X_{t_1}, [/mm] ..., [mm] X_{t_k})^{-1} (A_1 [/mm] x ... x [mm] A_k), [/mm] wobei A = [mm] A_1 [/mm] x ... x [mm] A_k [/mm] und [mm] A_i [/mm] aus der Borel-Sigma-Algebra von [mm] \IR [/mm] sind
= [mm] P(X_{t_1}^{-1}(A_1) \cap [/mm] ... [mm] \cap X_{t_k}^{-1}(A_k)) [/mm]

Und jetzt weiß ich nicht weiter.

Bezug
                                        
Bezug
Strikte Stationarität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:02 Mo 13.04.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich muss ehrlich sagen, dass ich nicht verstehe, was dein Problem ist und deine Antwort mich eher verwirrt, als das sie mir hilft.

wie meinem Edit schon zu entnehmen war, hatte ich deine Aufgabe genau andersherum gelesen und deswegen war der erste Teil der Antwort natürlich murks.

> Ist das jetzt verständlich?

Ja, passt soweit.

Zu deiner Lösung: Du gehst da viel zu kompliziert ran, das geht einfacher:

Die Verteilung von [mm] $(X_{t_1},\ldots,X_{t_k})$ [/mm] ist eindeutig definiert durch:

[mm] $P(X_{t_1} \le c_{t_1}, \ldots, X_{t_k} \le c_{t_k})$ [/mm]

Jetzt nehmen wir einfach die [mm] X_k [/mm] hinzu, die da noch fehlen:

[mm] $P(X_{t_1} \le c_{t_1}, \ldots, X_{t_k} \le c_{t_k}) [/mm] = [mm] P(X_1 \le \infty,\ldots,X_{t_1} \le c_{t_1},\ldots,X_{t_k} \le c_{t_k})$ [/mm]

Jetzt kannst du deine Voraussetzung anwenden.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Strikte Stationarität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Mi 06.05.2015
Autor: Die_Suedkurve

Hi,

danke für deine Hilfe und sorry, dass ich jetzt erst antworte.
Ich habe mir deinen Hinweis angeschaut, aber ich weiß leider immer noch nicht, wie ich jetzt auf die Lösung komme. Ich weiß nicht, wie ich die [mm] X_{t_1+h},...,X_{t_k + h} [/mm] da rein bringe.

Gruß

Bezug
                                                        
Bezug
Strikte Stationarität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:39 Mi 06.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

oBdA sei $0 < [mm] t_1 [/mm] < [mm] t_2 [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] t_k$, [/mm] dann gilt:

[mm] $P(X_{t_1} \le c_1, \ldots, X_{t_k} \le c_k) [/mm] = [mm] P(X_1 \le \infty, X_2 \le \infty, \ldots, X_{t_1 - 1} \le \infty, X_{t_1} \le c_1, X_{t_1 + 1} \le \infty, \ldots, X_{t_k - 1} \le \infty, X_{t_k} \le c_k)$ [/mm]

Jetzt hast du also eine Verteilung von [mm] $(X_1,X_2,X_3,\ldots,X_{t_k})$ [/mm] und das ist nach Voraussetzung gleich der Verteilung von [mm] $(X_{1+h},X_{2+h},X_{3+h},\ldots,X_{t_k + h})$ [/mm]

also:

$= [mm] P(X_{1+h} \le \infty, X_{2+h} \le \infty, \ldots, X_{t_1 - 1 + h} \le \infty, X_{t_1 + h} \le c_1, X_{t_1 + 1 + h} \le \infty, \ldots, X_{t_k - 1 + h} \le \infty, X_{t_k + h} \le c_k)$ [/mm]

$= [mm] P(X_{t_1 + h} \le c_1, X_{t_2 + h} \le c_2, \ldots, X_{t_k + h} \le c_k)$ [/mm]

Also insgesamt:

[mm] $P(X_{t_1} \le c_1, \ldots, X_{t_k} \le c_k) [/mm] = [mm] P(X_{t_1 + h} \le c_1, X_{t_2 + h} \le c_2, \ldots, X_{t_k + h} \le c_k)$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                
Bezug
Strikte Stationarität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:21 Mi 06.05.2015
Autor: Die_Suedkurve

Vielen Dank für deine Hilfe. Dass ich da nicht selber drauf gekommen bin...

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 1h 49m 7. HJKweseleit
UAnaR1FolgReih/Wert einer Reihe
Status vor 2h 35m 2. fred97
UAnaR1/Riemann Summe
Status vor 5h 21m 11. TS85
MaßTheo/Sigma-Algebra = P(X)
Status vor 9h 42m 2. Infinit
SStatHypo/Bedeutung Signifikanzniveau
Status vor 10h 32m 4. fred97
UAnaR1FolgReih/Absolute Konvergenz
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]