Striktes lokales Extremum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie:
Die Funktion
f: [mm] \IR² \to \IR [/mm] , (x,y) [mm] \mapsto [/mm] 2x² + 2y² - exp(xy)
besitzt genau ein lokales Extremum. Dieses ist ein striktes lokales Extremum. f ist weder nach oben noch nach unten beschränkt. |
Hallo,
zur Bestimmung des Extremums muss ich doch "nur" zweimal ableiten. Das erste mal abgeleitet gleich 0 setzen und ich bekomme den Punkt. Das zweite Mal abgeleitet zeigt mir dann, ob es ein Maximum oder Minuimum ist.
Im Grunde soll dann herauskommen, dass das Extremum ein lokales Extremum ist, weil der "Graph" nach oben und unten weiter läuft und nur bei diesem Punkt in der Umgebung nicht "größeres" bzw. "kleineres" vorhanden ist, oder? Wie genau zeige ich aber diese unbeschränktheit? Grenzwert, oder?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
> Die Funktion
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> f: [mm]\IR² \to \IR[/mm] , (x,y) [mm]\mapsto[/mm] 2x² + 2y² - exp(xy)
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> besitzt genau ein lokales Extremum. Dieses ist ein striktes
> lokales Extremum. f ist weder nach oben noch nach unten
> beschränkt.
> Hallo,
>
> zur Bestimmung des Extremums muss ich doch "nur" zweimal
> ableiten. Das erste mal abgeleitet gleich 0 setzen und ich
> bekomme den Punkt. Das zweite Mal abgeleitet zeigt mir
> dann, ob es ein Maximum oder Minuimum ist.
Möglicherweise meinst Du das Richtige.
>
> Im Grunde soll dann herauskommen, dass das Extremum ein
> lokales Extremum ist, weil der "Graph" nach oben und unten
> weiter läuft und nur bei diesem Punkt in der Umgebung nicht
> "größeres" bzw. "kleineres" vorhanden ist, oder?
s.o.
> Wie genau
> zeige ich aber diese unbeschränktheit?
$f(x,0) = [mm] 2x^2-1 \to \infty$ [/mm] für $x [mm] \to \infty$
[/mm]
$f(x,1) = [mm] 2x^2+2-e^x \to -\infty$ [/mm] für $x [mm] \to \infty$
[/mm]
FRED
> Grenzwert, oder?
>
> Danke im Voraus
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Also, ich meine folgendes:
Ich bilde die Jacobi-Matrix, setzte die gleich Null und erhalte einen oder mehrere Punkte.
Diese setze ich dann in die Hesse-Matrix ein und erkenne so, ob es ein Maximum oder Minimum ist. Wenn ich mich nicht täusche ist es dann auch ein striktes Maximum/Minimum.
Meine Jacobi Matrix sieht so aus:
J( 4x + y exp(xy), 4y + xexp(xy) )
Kann das sein? wenn ich hier nämlich beides 0 setze erhalte ich
-x²=y²
Wie sähe denn die Hesse-Matrix aus? Ich bin mir immer nicht sicher, wie die nun zu berechnen geht. Tut mir leid.
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Hallo!
> Also, ich meine folgendes:
> Ich bilde die Jacobi-Matrix, setzte die gleich Null und
> erhalte einen oder mehrere Punkte.
> Diese setze ich dann in die Hesse-Matrix ein und erkenne
> so, ob es ein Maximum oder Minimum ist. Wenn ich mich nicht
> täusche ist es dann auch ein striktes Maximum/Minimum.
>
> Meine Jacobi Matrix sieht so aus:
> J( 4x + y exp(xy), 4y + xexp(xy) )
Also hier erhalte ich:
[mm] J(f)=\pmat{4x-y\exp(xy) & 4y-x\exp(xy)} [/mm]
Den Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Hessematrix, bestimmst du, indem du [mm]\frac{\partial f}{\partial x_i\partial x_j}[/mm] berechnest.
Ohne Gewähr hab ich dabei folgendes raus:
[mm]H(f)= \pmat{ 4-y^2\exp(xy) & -\exp(xy)(1+xy) \\ -\exp(xy)(1+xy) & 4-x^2\exp(xy)} [/mm]
Vielleicht hilft dir das ja schon!
Gruß Deuterinomium
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