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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Di 27.09.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, liebe Community!
Ich habe hier eine Aufgabe aus einem Stochastikbuch, die mich ein bisschen hilflos dastehen lässt. Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen?
Die Aufgabe:
Im Sechserpack eines Kakaotrunks sollte an jeder Packung ein Trinkhalm sein, der jedoch mit Wahrscheinlichkeit 1/3 fehlt, mit Wahrscheinlichkeit 1/3 defekt ist und nur mit Wahrscheinlichkeit 1/3 gut ist. Sei A das Ereignis "Mindestens ein Trinkhalm fehlt und mindestens einer ist gut". Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an, formulieren Sie das Ereignis A mengentheoretisch und bestimmen Sie seine Wahrscheinlichkeit. |
Natürlich möchte ich Euch meine eigenen Ideen nicht vorenthalten:
Zunächst habe ich mir ganz simpel überlegt, wie denn der Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,\mathcal{F},P)[/mm] in den Einzelteilen aussehen könnte.
[mm]\Omega=\left\{X,Y,Z\right\}^6[/mm] mit
X=Packung ohne Trinkhalm
Y=Packung mit gutem Trinkhalm
Z=Packung mit defektem Trinkhalm
[mm]\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
Außerdem würde ich als Wahrscheinlichkeitsmaß die Gleichverteilung auf [mm]\Omega[/mm] wählen.
Dann zur mengentheoretischen Formulierung von A:
Da habe ich mir überlegt:
[mm]A=(E\cap K)^C[/mm], wobei E alle Sechserpacks enthalte, bei denen kein Trinkhalm fehlt und K die Menge aller Sechserpacks sei, die keinen guten Trinkhalm enthalten.
Ich würde also abschließend
[mm]P(A)=1-P(E\cap K)[/mm]
berechnen wollen. Ich weiß aber leider nicht, wie man das macht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Di 27.09.2011 | | Autor: | wauwau |
Falsch
das "Gegenteil" des und in der Beschreibung von A ist ein oder daher:
$A=(E [mm] \cup K)^C [/mm] = 1 - P(E [mm] \cup [/mm] K) = 1 -P (E) - P(K) + P(E [mm] \cap [/mm] K)$
Jetzt musst du noch überlegen ob E und K wirklich unabhängig sind????
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Di 27.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Was stimmt:
[mm]A=(E\cap K)^C[/mm]
oder
[mm]A=(E\cup A)^C[/mm] ?
Das habe ich noch nicht ganz begriffen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Mi 28.09.2011 | | Autor: | wauwau |
$A=(E [mm] \cup K)^C [/mm] = [mm] E^C \cap K^C$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mi 28.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Wie berechne ich denn eigentlich
[mm]P(E)[/mm] und [mm]P(K)[/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Do 29.09.2011 | | Autor: | wauwau |
$P(E)$ = 1-P(alle Trinkhalme sind vorhanden) = [mm] $1-(\frac{1}{3})^6$
[/mm]
analog P(K)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Do 29.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Wieso ist denn
[mm]P(\text{Alle Trinkhalme sind vorhanden})=\left(\frac{1}{3}\right)^6[/mm]?
Und überhaupt ist E doch die Menge aller Sechserpacks, denen an keiner Packung ein Trinkhalm fehlt.
Würde ich dann mit Deiner Rechnung nicht gerade die W. der Sechserpacks ausrechnen, denen Trinkhalme fehlen?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Do 29.09.2011 | | Autor: | dennis2 |
E enthält doch alle Sechserpackungen, deren Einzelpackungen allesamt einen Trinkhalm aufweisen.
Demnach enthält E Sechsertupel, die nirgends ein X aufweisen, d.h. deren Stellen nur aus Y und Z bestehen.
Das sind m.E. [mm]2^6=64[/mm] Stück.
Da Wahrscheinlichkeitsmaße additiv sind, kannst Du (wenn Du Dir E als Vereinigung aller einzelnen darin enthaltenen Sechsertupeln vorstellst) also sagen:
[mm]P(E)=64\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^6\approx 0,087791[/mm], analog für [mm]P(K)[/mm].
Was nun [mm]E\cap K[/mm] angeht, musst Du Dir auch überlegen, was da für Sechsertupel drin sind und wie viele.
Das ist m.E. nur ein Sechsertupel.
Demnach wäre dann [mm]P(E\cap K)=\left(\frac{1}{3}\right)^6\approx 0,001372[/mm].
Ich komme dann auf:
[mm]P(A)=1-2\cdot 0,087791+0,001372=0,825789[/mm]
Ich habe das deswegen nur als Mitteilung gekennzeichnet, weil es eben nur meine Idee ist und ich Dir nicht sicher sagen kann, ob das alles korrekt ist.
Die Idee mit 1-P(E) bzw. 1-P(K) erscheint mir auch falsch.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:40 Do 29.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich würde aber meinen, daß die Reihenfolge der Einzelpackungen egal ist.
Ich käme also auf
[mm]|E|=\binom{n+k-1}{k}=\binom{2+6-1}{6}=7[/mm] und deswegen auf
[mm]P(E)=P(K)=7\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^6=0,009602[/mm] und
Bei [mm]|E\cap K|[/mm] bin ich mir auch nicht so sicher...
Dort sind doch alle 6-er Tupel enthalten, die nur Z enthalten? Okay, dann hat man [mm]\binom{1+6-1}{6}=1[/mm].
Ich käme also auf:
[mm]P(A)=1-2\cdot 0,009602+\left(\frac{1}{3}\right)^6=0,982167[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Sa 01.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Fr 30.09.2011 | | Autor: | wauwau |
Hatte einen Tippfehler
$P(E)= 1 - [mm] (\frac{2}{3})^6$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Fr 30.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Aber es kann doch nicht
[mm]P(E)=1-\left(\frac{2}{3}\right)^6[/mm] gelten...
Da hat man doch gar nicht berücksichtigt, wie viele Elemente denn da eigentlich drin sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Fr 30.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Aber es kann doch nicht
>
> [mm]P(E)=1-\left(\frac{2}{3}\right)^6[/mm] gelten...
>
> Da hat man doch gar nicht berücksichtigt, wie viele
> Elemente denn da eigentlich drin sind.
Hallo,
in einem Sechserpack sind 6 Elemente. Sollte in der von dir kritisierten Formel keine 6 vorkommen, würde ich deinem Einwand zustimmen.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Fr 30.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Aber E soll doch die Menge ALLER Sechserpacks sein, bei denen kein Trinkhalm fehlt.
Irgendwie erscheint mir die Rechnung daher komisch!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 So 02.10.2011 | | Autor: | wauwau |
Die Menge aller 6-erpack Möglichkeiten,......
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 So 02.10.2011 | | Autor: | dennis2 |
Da steige ich nicht mehr durch.
Schreibe doch bitte nochmal auf, wie Du auf P(E) kommst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Mo 03.10.2011 | | Autor: | Blech |
Du hast ein Sechserpack.
Du nimmst die erste Packung; Wkeit Trinkhalm ist da: [mm] $P(E_1)=\frac [/mm] 23$
Du nimmst die zweite Packung; Wkeit Trinkhalm ist da: [mm] $P(E_2)=\frac [/mm] 23$
Du nimmst die dritte Packung; Wkeit Trinkhalm ist da: [mm] $P(E_3)=\frac [/mm] 23$
etc.
Unabhängigkeit, deswegen:
Wkeit, daß "Trinkhalm ist da" für alle 6 Eintritt: [mm] $P\left(\bigcap_{i=1}^6 E_i\right)=\prod_{i=1}^6 P(E_i)=\frac [/mm] 23 * [mm] \frac [/mm] 23* [mm] \ldots [/mm] * [mm] \frac [/mm] 23= [mm] \left(\frac 23\right)^6$
[/mm]
Wenn Du willst, zeichne Dir ein Baumdiagramm.
Das macht man normalerweise in der Schule.
ciao
Stefan
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:12 Mi 05.10.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ist das Ergebnis [mm]P(A)\approx 0,826[/mm]?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Mi 05.10.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich sollte vllt. begründen, wie ich zu dem Ergebnis komme.
Sei also
A="Mindestens 1 Trinkhalm fehlt und mindestens 1 Trinkhalm ist gut"
1. Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,\mathcal{F},P)[/mm]:
a) [mm]\Omega=\left\{B,C,D\right\}^6[/mm] mit
B="Packung ohne Trinkhalm"
C="Packung mit defektem Trinkhalm"
D="Packung mit gutem Trinkhalm"
b) [mm]\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
c) [mm]P:\Omega\to [0,1][/mm], gegeben durch [mm]P(\omega)=\left(\frac{1}{3}\right)^6 \forall\omega\in\Omega[/mm]
(d.h. Gleichverteilung)
2. Mengentheoretische Formulierung von A:
[mm]A=(R\cup S)^C[/mm] mit
[mm]R:=\left\{\omega\in\Omega : \text{keiner Packung fehlt Trinkhalm}\right\}[/mm] und
[mm]S:=\left\{\omega\in\Omega : \text{keine Packung hat guten Trinkhalm}\right\}[/mm]
Berechnung von P(A):
[mm]P(A)=1-P(R\cup S)=1-P(R)-P(S)+P(R\cap S)[/mm]
a) [mm]P(R)=P\left(\left\{\omega\in\Omega : \text{keiner Packung fehlt Trinkhalm}\right\}\right)[/mm], d.h. es kommt in den Tupeln nirgends ein B vor. Dafür gibt es [mm]2^6=64[/mm] Möglichkeiten.
[Man muss hier aufgrund der Gleichverteilung (s.o.) geordnete Tupel (mit Wiederholung) betrachten.]
Daraus folgt: [mm]P(R)=64\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^6=0,087791[/mm]
b) [mm]P(S)=0,087791[/mm] (analog zu a))
c) [mm]R\cap S[/mm] umfasst alle Tupel, die nirgends ein B und nirgends ein D aufweisen, also nur aus C bestehen. Dafür gibt es nur eine Möglichkeit und es gilt
[mm]P(R\cap S)=\left(\frac{1}{3}\right)^6[/mm].
So komme ich also am Ende auf das Ergebnis, das ich gepostet habe:
[mm]P(A)=1-2\cdot 0,087791+\left(\frac{1}{3}\right)^6=0,82579[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Fr 07.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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