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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Mo 18.04.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei [mm] L_N [/mm] = [mm] \{ \underline{0}, S, +, *, <\} [/mm] die Sprache der natürlichen Zahlen. Sein [mm] \mathcal{N} [/mm] die [mm] L_n-Struktur [/mm] mit Grundmenge [mm] \mathbb{N}. [/mm] Sei [mm] \beta [/mm] eine Belegung, wobei [mm] \beta(v_n)=2n [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 0. Ist die Aussage richtig oder falsch?
[mm] \mathcal{N} \models \forall v_0 \exists v_1 v_0 [/mm] < [mm] v_1[\beta] [/mm] |
Hallo zusammen,
[mm] \mathcal{N} \models \forall v_0 \exists v_1 v_0 [/mm] < [mm] v_1[\beta]
[/mm]
gdw. für alle a [mm] \in \mathbb{N} [/mm] gilt n [mm] \models \exists v_1 v_0 [/mm] < [mm] v_1 [\beta \frac{a}{v_0}]
[/mm]
mit [mm] \beta \frac{a}{v_0}(y)= [/mm] a für [mm] y=v_0 [/mm] und [mm] \beta \frac{a}{v_0}(y)= \beta(y) [/mm] sonst
Nun meine Frage: Ich hab ja jetzt wieder ein Quantor am Anfang, schreibe ich nun wieder a?
gdw. für alle a [mm] \in \mathbb{N} [/mm] gibt es ein a [mm] \in \mathbb{N} [/mm] sodass
[mm] \mathcal{N} \models v_0 [/mm] < [mm] v_1 [\beta \frac{a}{v_0} \frac{b}{v_1}]
[/mm]
gdw. für alle a [mm] \in \mathbb{N} [/mm] gibt es ein a [mm] \in \mathbb{N} [/mm] sodass
[mm] (v_0^{\mathcal{N}} [\beta \frac{a}{v_0}\frac{b}{v_1}], v_1^{\mathcal{N}}[\beta \frac{a}{v_0} \frac{a}{v_1}]) \in <^{\mathcal{N}}
[/mm]
gdw. für alle a [mm] \in \mathbb{N} [/mm] gibt es ein a [mm] \in \mathbb{N} [/mm] sodass
(a,a) [mm] \in <^{\mathcal{N}}
[/mm]
Das sieht nun komisch aus wenn ich beide Male ein a verwende, aber das steht doch so in der Definition der Relation?
EDIT: Ich hatte mehrere solche Aufgaben,deshalb braucht man hier z.B die Belegung nicht wie sie definiert ist, bei den anderen Bsp. aber schon.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Di 19.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
> Sei [mm]L_N[/mm] = [mm]\{ \underline{0}, S, +, *, <\}[/mm] die Sprache der
> natürlichen Zahlen. Sein [mm]\mathcal{N}[/mm] die [mm]L_n-Struktur[/mm] mit
> Grundmenge [mm]\mathbb{N}.[/mm]
Es gibt viele [mm] $L_N$-Strukturen [/mm] mit Grundmenge [mm] $\IN$.
[/mm]
(Gemeint ist hier wohl aber eine bestimmte.)
> Sei [mm]\beta[/mm] eine Belegung, wobei
> [mm]\beta(v_n)=2n[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] 0. Ist die Aussage richtig
> oder falsch?
> [mm]\mathcal{N} \models \forall v_0 \exists v_1 v_0[/mm] <
> [mm]v_1[\beta][/mm]
>
> Hallo zusammen,
> [mm]\mathcal{N} \models \forall v_0 \exists v_1 v_0[/mm] <
> [mm]v_1[\beta][/mm]
> gdw. für alle a [mm]\in \mathbb{N}[/mm] gilt n [mm]\models \exists v_1 v_0[/mm]
> < [mm]v_1 [\beta \frac{a}{v_0}][/mm]
> mit [mm]\beta \frac{a}{v_0}(y)=[/mm] a
> für [mm]y=v_0[/mm] und [mm]\beta \frac{a}{v_0}(y)= \beta(y)[/mm] sonst
>
> Nun meine Frage: Ich hab ja jetzt wieder ein Quantor am
> Anfang, schreibe ich nun wieder a?
Nein.
> gdw. für alle a [mm]\in \mathbb{N}[/mm] gibt es ein a [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> sodass
> [mm]\mathcal{N} \models v_0[/mm] < [mm]v_1 [\beta \frac{a}{v_0} \frac{b}{v_1}][/mm]
>
> gdw. für alle a [mm]\in \mathbb{N}[/mm] gibt es ein a [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> sodass
> [mm](v_0^{\mathcal{N}} [\beta \frac{a}{v_0}\frac{b}{v_1}], v_1^{\mathcal{N}}[\beta \frac{a}{v_0} \frac{a}{v_1}]) \in <^{\mathcal{N}}[/mm]
>
> gdw. für alle a [mm]\in \mathbb{N}[/mm] gibt es ein a [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> sodass
> (a,a) [mm]\in <^{\mathcal{N}}[/mm]
>
> Das sieht nun komisch aus wenn ich beide Male ein a
> verwende, aber das steht doch so in der Definition der
> Relation?
Nein.
Lass mich ein anderes Beispiel (aus der Zahlentheorie anstelle der Logik) für die Erklärung verwenden:
Für dieses Beispiel sei 0 keine natürliche Zahl.
Def.: Eine natürliche Zahl n heißt gerade, wenn eine natürliche Zahl $m$ existiert mit $n=2*m$.
Nun betrachten wir die Aussage
(*) Es gibt eine gerade natürliche Zahl, d.h. es gibt eine natürliche Zahl m mit der Eigenschaft, dass m gerade ist.
Bekanntlich ist diese Aussage absolut richtig (denn z.B. die natürliche Zahl 2=2*1 ist gerade).
Jetzt "widerlege" ich mal (natürlich fehlerhaft) die Aussage (*):
ACHTUNG: FEHLERHAFTE ARGUMENTATION
1. (*) ist nach Definition von "m gerade" gleichbedeutend mit:
(**) Es gibt eine natürliche Zahl m mit der Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl m existiert mit m=2*m.
2. Es gibt (wegen unserer Vereinbarung, die 0 nicht als natürliche Zahl anzusehen) keine natürliche Zahl m mit $m=2*m$.
3. Also ist (**) und damit (*) falsch.
ENDE DER FEHLERHAFTEN ARGUMENTATION
Der Fehler liegt schon in 1.: Die Definition von "gerade" wurde falsch angewendet.
Die Definition von "m gerade" besagt, dass m das Doppelte einer natürlichen Zahl ist, also dass $m=2*m'$ für eine natürliche Zahl m' gilt.
Es ist nicht erlaubt, hier m anstelle von m' als Bezeichnung zu benutzen, denn m hat in diesem Kontext schon eine andere Bedeutung.
Den gleichen Buchstaben in zwei verschiedenen Bedeutungen gleichzeitig zu verwenden, ist keine gute Idee.
Jetzt könntest du einwenden: "Aber in der Definition von gerade steht doch, dass eine natürliche Zahl n gerade heißt, wenn eine natürliche Zahl m (!) existiert mit n=2*m."
Die Definition besagt jedoch nicht, dass man in jeder Situation die Bezeichnung m verwenden kann.
Man kann die Bezeichnung m dann nicht verwenden, wenn sie schon in anderer Bedeutung verwendet wird.
So hundertprozentig glücklich bin ich mit meinem Erklärungsversuch noch nicht.
Ist trotzdem klar geworden, dass kein Fehler in eurer Definition, sondern bei deiner Anwendung der Definition vorliegt?
Wenn nein, teile mir bitte mit, ob die Schwierigkeit eher im Nachvollziehen des zahlentheoretischen Beispiels oder eher bei der Übertragung des zahlentheoretischen Beispiels auf deine Logik-Aufgabe liegt.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Mi 20.04.2016 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank für die Erklärung!
Liebe Grüße
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