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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Mi 31.08.2011 | | Autor: | Sosa |
| Aufgabe | Man bestimme die Werte von a und b so, das f stetig differenzierbar auf ganz [mm] \IR [/mm] ist.
$ [mm] f(x)=\begin{cases} x\cdot{}sin(x), & \mbox{für } x\le2\pi \mbox{ } \\ a+bx+2\pi x^{2}, & \mbox{für } x>2\pi \mbox{ } \end{cases} [/mm] $ |
Hallo
weiß bei der Aufgabe nicht so recht wie ich was machen muss.
Die Funktion macht doch an der Stelle [mm] x=2\pi [/mm] einen Sprung. Also muss ich den Sprung "weg bekommen", da die Funktion stetig sein soll. Damit das so ist muss die Steigung an der Stelle [mm] x=2\pi [/mm] gleich sein.
Sind meine Überlegungen bis hier richtig? Und ich weiß nicht wie ich das rechnen muss. Wenn die Steigung gleich sein muss, müssten ja die ersten Ableitungen gleich sein. Komme aber nicht weiter.
Die ersten Ableitungen müssten doch lauten:
f´ [mm] (x)=sin(x)+x*cos(x)\
[/mm]
f´ [mm] (x)=b+2\pi*2x
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sosa
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Hallo,
> dass f stetig diffinierbar auf ganz [mm]\IR[/mm] ist.
Hier meinst du differenzierbar!
Deine Überlegungen enthalten noch Fehler: richtig ist, dass der Sprung weg muss. Dann wäre die Funktion schon mal stetig. Jetzt kann sie aber an der fraglichen Stelle immer noch einen Knick aufweisen. Dies würde bedeuten, dass das Schaubild dort keine eindeutige Steigung und f somit nicht differenzierbar ist. Somit aus auch der Knick noch behoben werden.
Auf mathematisch: du musst die Parameter a und b so bestimmen dass an der Stelle [mm] x_0=2\pi [/mm] rechts- und linksseitiger Grenzwert von Funktion und erster Ableitung übereinstimmen.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Mi 31.08.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sosa!
Eine Bitte vorneweg: verstelle beantwortete Fragen nicht unkommentiert wieder auf "unbeantwortet". Einfach noch eine Zeile, was ist wo noch unklar ...
Deine beiden Ableitungen (für [mm] $x_0 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] 2\pi$ [/mm] ) sind richtig.
Setze nun in beide Ableitungen den Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] 2\pi$ [/mm] ein und setze diese Terme gleich.
Ebenso machst Du das mit der Ausgangsfunktionsvorschrift.
Damit erhältst Du ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
Gruß
Loddar
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