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Stückweise stetige Funktion: Verständnisfrage stkw. stetig
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:43 So 04.08.2019
Autor: bondi

Aufgabe
[mm] $f: [-1,1]\to\IR, f(x)=\begin{cases} 1/x, & \mbox{falls } x\neq 0 \\ 0 & \mbox{falls }x=0\end{cases} [/mm]

Hallo,
wir sollen stückweise Stetigkeit von Funktionen bestimmen.

[mm] \limes_{x \to 0^+} f(x) = \limes_{x \to 0^+} 1/x = \infty [/mm]

[mm] 1/x [/mm] ist nicht stetig in [mm] \IR [/mm], wohl aber stetig in [mm] \IR \setminus\{0\} [/mm].

Es existiert jedoch kein Grenzwert, demnach nicht stetig. Ich betrachte Stetigkeit doch aber nur im Intervall [-1,1].

Fragen über Fragen...



        
Bezug
Stückweise stetige Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 So 04.08.2019
Autor: fred97


> [mm]$f: [-1,1]\to\IR, f(x)=\begin{cases} 1/x, & \mbox{falls } x\neq 0 \\ 0 & \mbox{falls }x=0\end{cases}[/mm]
>  
> Hallo,
>  wir sollen stückweise Stetigkeit von Funktionen
> bestimmen.
>
> [mm]\limes_{x \to 0^+} f(x) = \limes_{x \to 0^+} 1/x = \infty[/mm]
>
> [mm]1/x[/mm] ist nicht stetig in [mm]\IR [/mm], wohl aber stetig in [mm]\IR \setminus\{0\} [/mm].
>  
> Es existiert jedoch kein Grenzwert, demnach nicht stetig.
> Ich betrachte Stetigkeit doch aber nur im Intervall
> [-1,1].
>  
> Fragen über Fragen...
>  

f ist auf [-1,1] stückweise  stetig,  wenn es eine Zerlegung [mm] t_0=-1

Edit:  f ist auf jedem Intervall [mm] (t_{j-1},t_j) [/mm] stetig und die einseitigen  Grenzwerte  von  f  existieren in jedem Zerlegungspunkt [mm] t_j. [/mm]

Findest  Du  eine solche Zerlegung? Ich  bin  der Meinung, dass Du keine  findest.

Dazu nimm an, es gäbe  eine solche Zerlegung.  Dann gibt es zwei Fälle.

Es gibt  ein [mm] t_j [/mm] mit [mm] 0=t_j [/mm] oder nicht.  Führe beide Fälle zum Widerspruch.

>  


Bezug
                
Bezug
Stückweise stetige Funktion: Definition stückweise stetig?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:17 So 04.08.2019
Autor: tobit09

Hallo zusammen,

es scheinen verschiedene Definitionen von stückweise stetig im Umlauf zu sein.

@bondi: Wie lautet eure Definition?

@fred97:

> f ist auf [-1,1] stückweise  stetig,  wenn es eine
> Zerlegung [mm]t_0=-1
> Einschränkung von f auf jedem Teilintervall  [mm][t_{j-1}, t_j][/mm]
> stetig ist.

Sicher, dass dies eine sinnvolle Definition der stückweisen Stetigkeit ist?
Wenn ich jetzt nicht gerade einen totalen Blackout habe, würde dann stückweise Stetigkeit einer Abbildung [mm] $f\colon[-1;1]\to\mathbb{R}$ [/mm] äquivalent zur Stetigkeit von f sein.

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                        
Bezug
Stückweise stetige Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:58 So 04.08.2019
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> es scheinen verschiedene Definitionen von stückweise
> stetig im Umlauf zu sein.
>  
> @bondi: Wie lautet eure Definition?
>  
> @fred97:
>  > f ist auf [-1,1] stückweise  stetig,  wenn es eine

> > Zerlegung [mm]t_0=-1
> > Einschränkung von f auf jedem Teilintervall  [mm][t_{j-1}, t_j][/mm]
> > stetig ist.
>  Sicher, dass dies eine sinnvolle Definition der
> stückweisen Stetigkeit ist?
>  Wenn ich jetzt nicht gerade einen totalen Blackout habe,
> würde dann stückweise Stetigkeit einer Abbildung
> [mm]f\colon[-1;1]\to\mathbb{R}[/mm] äquivalent zur Stetigkeit von f
> sein.

Hallo Tobias,

die Definition,  die ich  oben angegeben habe, ist missglückt. Ich werde es sofort  verbessern.

>  
> Viele Grüße
>  Tobias


Bezug
                                
Bezug
Stückweise stetige Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 So 04.08.2019
Autor: bondi


> > Hallo zusammen,
>  >  
> > es scheinen verschiedene Definitionen von stückweise
> > stetig im Umlauf zu sein.
>  >  
> > @bondi: Wie lautet eure Definition?
>  >  

Dank dir, gefunden :)


Definition: Sei [mm] I \subseteq \IR [/mm] ein abgeschlossenes Intervall und [mm] $f: I \rightarrow \IR [/mm].

[mm] f [/mm] heißt stückweise stetig, falls es endlich viele Punkte [mm] x_1 < x_2 < ... x_n [/mm] aus [mm] I [/mm] gibt, sodass

i) [mm] f [/mm] ist stetig in jedem Punkt [mm] x \in I \setminus \{x_1,...,x_n \} [/mm]

ii) [mm] \limes_{x\rightarrow x_k^+} [/mm] [mm] $f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow x_k^-} [/mm] [mm] $f(x) [/mm] existieren [mm] ( 1 \le k \le n ) [/mm].


Bezug
                                        
Bezug
Stückweise stetige Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:09 Mo 05.08.2019
Autor: tobit09

Hallo bondi,


deine Definition ist zwar etwas anders formuliert als Freds, aber äquivalent zu dieser.

Die Funktion f aus der Aufgabenstellung ist also auch nach eurer Definition nicht stückweise stetig.

Beweisen kannst du dies mit Freds Argumentation.
Ich formuliere sie noch einmal mit deiner Definition:


Angenommen f ist stückweise stetig.
Zu zeigen ist ein Widerspruch.

Wegen der angenommenen stückweisen Stetigkeit von f existieren Stellen [mm] $x_1,\ldots,x_n\in[-1,1]$, [/mm] so dass i) und ii) aus der Definition der stückweisen Stetigkeit gelten.

Nun gilt
1. [mm] $0\in\{x_1,\ldots,x_n\}$ [/mm]
oder
2. [mm] $0\notin\{x_1,\ldots,x_n\}$. [/mm]

Im Fall 1. leite einen Widerspruch zu ii) her.
Im Fall 2. leite einen Widerspruch zu i) her.


Viele Grüße
Tobias

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