Stützebene und konvexe Hülle < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 So 13.11.2011 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | Sei A eine Menge und H eine Stützebene von conv(A)
(Konvexe Hülle; ich weiß nicht ob die Schreibweise im deutschen genauso ist?)
Zz.: H [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset [/mm] |
Ich habe zwei verschiedene Ansätze- oder Lösungen. Die zweite ist mir aufgefallen, als ich mit der ersten fast fertig war, und sie ist nur etwa ein viertel so lang. Darum den Versuch zuerst:
- conv(A [mm] \cap [/mm] H) = conv(A) [mm] \cap [/mm] H. gilt, da H convex ist(?)
Annahme: A [mm] \cap [/mm] H = [mm] \emptyset \Rightarrow [/mm] conv(A [mm] \cap [/mm] H) = [mm] \emptyset \Rightarrow [/mm] Widerspruch, denn
conv(A [mm] \cap [/mm] H) = conv(A) [mm] \cap [/mm] H = [mm] a_{0} [/mm] wg H Stützebene von conv(A).
Das wäre der kurze Weg. Ich weiß nicht, ob ich hier vielleicht Voraussetzungen an A nicht beachtet
habe?
Der zweite Weg:
- hier habe ich zuerst festgestellt, dass conv(A) abgschlossen sein muss, damit es eine Stützebene zu
conv(A) gibt.
Danach habe ich eine Fallunterscheidung zwischen A beschränkt und nicht beschränkt gemacht.
a) A beschränkt [mm] \Rightarrow [/mm] conv(A) beschränkt
conv(A) = [mm] \bigcap_{i \in I} H_{i}^{-}, [/mm] mit [mm] H_{i} [/mm] Stützebene von A. Das gilt, da A abgeschlossen und beschränkt ist, und so
gerade der Schnitt aller Halbräume die A enthalten der Schnitt aller von Stützebenen
begränzten Halbräume ist.
mit conv(A) = [mm] \bigcap_{i \in I} H_{i}^{-} \Rightarrow
[/mm]
[mm] \forall H_{i} \cap [/mm] A = [mm] a_{0i} [/mm] nach Definition.
b) A unbeschränkt: als ich gerade den Fall behandelt hab ist mir der andere Weg aufgefallen. Ich hoffe
also der funktioniert ;)
Ich hoffe man kann mit dem was ich mir da zurechtgeschreibselt habe etwas anfangen.
Viele Grüße
Loko
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
hallo,
zunächst einmal ist conv(A) auch im deutschen eine übliche Bezeichnung.
Zum Beweis. Ich finde, der ist noch ein wenig zu schwammig. Wie genau habt ihr denn die Stützhyperebene definiert? Bei uns war das wie folgt:
H:={x [mm] \in \IR [/mm] ^{n} | [mm] a^T [/mm] x = b und [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] A : [mm] a^{T}y \le [/mm] b und [mm] \exists y_{0}: a^{T} y_{0} [/mm] = b}.
In dem Falle wäre zu zeigen, dass dieses [mm] y_{0} [/mm] in A liegt. Annahme: [mm] y_{0} [/mm] nicht in A. [mm] y_{0} \in [/mm] conv(A), also existieren [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2} \in [/mm] A mit [mm] \lambda y_{1} [/mm] + [mm] (1-\lambda)y_{2} [/mm] = [mm] y_{0}. [/mm] Dann gilt was bezüglich der Ungleichung [mm] a^{T} \le [/mm] b bzgl. [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Loko |
Hallo!
Vielen Dank schonmal! Nein, die Definition hatten wir so schön aufgeschrieben zumindest nicht.. ;)
Gut, also jetzt nochmal ein Versuch über diese Definition:
H ist Stützebene von conv(A) [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] H=\{x \in \IR^{n} | u^{T}x = \alpha, \forall y \in conv(A): u^{T}y \le \alpha, \exists y_{0} \in conv(A) : u^{T}y_{0} = \alpha\}, [/mm] u [mm] \not= [/mm] 0, [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
wg H Stützebene von conv(A) [mm] \Rightarrow \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] A:
[mm] u^{T}y \le \alpha. [/mm]
Annahme: es gibt kein y [mm] \in [/mm] A, s.d [mm] u^{T}y [/mm] = [mm] \alpha.
[/mm]
Also gilt für alle y [mm] \in [/mm] A: [mm] u^{T}y [/mm] < [mm] \alpha [/mm] wg.(*).
[mm] y_{0} [/mm] = [mm] \lambda y_{1} [/mm] + [mm] (1-\lambda)y_{2}, [/mm] mit [mm] y_{1},y_{2} \in [/mm] A, wg conv(A) konvexe Hülle von A.
[mm] \alpha [/mm] = [mm] u^{T}(\lambda)y_{1} [/mm] + [mm] (1-\lambda)y_{2}) [/mm]
= [mm] \lambda u^{T}(y_{1} [/mm] - [mm] y_{2}) [/mm] + [mm] u^{T}y_{2}
[/mm]
< [mm] \lambda u^{T}(y_{1} [/mm] - [mm] y_{2}) [/mm] + [mm] \alpha [/mm] (*)
[mm] \Rightarrow \lambda u^{T}(y_{1} [/mm] - [mm] y_{2}) [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow y_{1} [/mm] > [mm] y_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha [/mm] = [mm] u^{T}(\lambda)y_{1} [/mm] + [mm] (1-\lambda)y_{2}) [/mm] < [mm] u^{T}(\lambda)y_{1} [/mm] + [mm] (1-\lambda)y_{1}) [/mm] = [mm] u^{T} y_{1}
[/mm]
Widerspruch zu (*)
OK so?
Viele Grüße!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Di 15.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
du hast bei deinem beweis folgendes problem: die < und > relation ist auf Vektoren als totale ordnung nicht definiert, da vektoren evtl nicht vergleichbar sind. du wechselst zwischen der halbordnung von vektoren und der totalen ordnung der reellen zahlen. bleib mal bei deinen ungleichungen. es gelte [mm] u^{T}y_{0} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] und [mm] u^{T}y_{1} [/mm] < [mm] \alpha [/mm] bzw [mm] u^{T}y_{2} [/mm] < [mm] \alpha. [/mm]
Daraus folgt:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] u^{T}y_{0} [/mm] = [mm] u^{T}(\lambda y_{1} [/mm] + (1- [mm] \lambda) y_{2}) [/mm] = [mm] \lambda u^{T}y_{1} [/mm] + (1- [mm] \lambda) u^{T}y_{2} [/mm] < [mm] \lambda \alpha [/mm] + [mm] (1-\lambda) \alpha [/mm] = [mm] \alpha
[/mm]
widerspruch
|
|
|
|
