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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Di 22.09.2015 | | Autor: | ronnez |
Hallo,
wie kann ich das Integral [mm] \integral_{0}^{3}{\bruch{3x}{\wurzel[]{x+1}} dx} [/mm] lösen?
Als Ansatz habe ich die Substitution gewählt.
u= x+1 --> [mm] dx=\bruch{du}{1}
[/mm]
Also habe ich die Wurzel vereinfacht und den Faktor 3 vors Integral geschrieben:
[mm] 3*\integral_{0}^{3}{x*u^{-0.5} dx}
[/mm]
Wie komme ich jetzt weiter? Müsste jetzt eigentlich partiell integrieren aufgrund des Produkts, allerdings habe ich dann zwei Variabeln? Kann mir jemand helfen ?
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Hallo,
> Hallo,
> wie kann ich das Integral
> [mm]\integral_{0}^{3}{\bruch{3x}{\wurzel[]{x+1}} dx}[/mm] lösen?
>
> Als Ansatz habe ich die Substitution gewählt.
> u= x+1 --> [mm]dx=\bruch{du}{1}[/mm]
>
> Also habe ich die Wurzel vereinfacht und den Faktor 3 vors
> Integral geschrieben:
>
> [mm]3*\integral_{0}^{3}{x*u^{-0.5} dx}[/mm]
Du musst natürlich auch das Differential transformieren.
>
> Wie komme ich jetzt weiter? Müsste jetzt eigentlich
> partiell integrieren aufgrund des Produkts, allerdings habe
> ich dann zwei Variabeln? Kann mir jemand helfen ?
Alternativ: Wähle als Substitution [mm] u^2=x+1
[/mm]
Dann folgt 2udu=dx.
Damit wird das unbestimmte Integral zu [mm] \int{6(u^2-1)}du
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:27 Mi 23.09.2015 | | Autor: | ronnez |
,,Du musst natürlich auch das Differential transformieren."
Was heißt das ?
Und warum ist 2du=dx?
Und wie kommt man auf das Integral ?
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> ,,Du musst natürlich auch das Differential
> transformieren."
>
> Was heißt das ?
In der Gleichung du=dx (die du eigentlich schon hattest)
steckt die Transformation des Differentials.
Was gefehlt hat, war die komplette Transformation von
Integrand mitsamt Differential und allenfalls auch der
Integrationsgrenzen, wenn du ohne Rücksubstitution
durchkommen willst.
Du hattest, ausgehend von der Substitutionsgleichung $\ u\ =\ x+1$ :
$ [mm] 3\cdot{}\integral_{0}^{3}{x\cdot{}u^{-0.5} dx} [/mm] $
Darin solltest du nun das dx durch du ersetzen (weil ja
eben hier du=dx ist), aber auch das noch da stehende x durch (u-1).
Die ursprüngliche Variable sollte das Intervall von 0 (Untergrenze)
bis 3 (Obergrenze) durchlaufen:
[mm] $\integral_{x=0}^{x=3}\frac{3\,x}{\sqrt{x+1}}\ [/mm] dx$
Das komplett transformierte Integral wäre:
[mm] $\integral_{u=1}^{u=4}\frac{3*(u-1)}{\sqrt{u}}\ [/mm] du$
> Und warum ist 2 du=dx? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Richie hat die Substitution $ [mm] u^2=x+1 [/mm] $ vorgeschlagen.
Daraus ergibt sich durch Ableiten (mit Kettenregel !)
die Transformationsgleichung für das Differential:
$\ [mm] \frac{d}{dx}\ u^2\ [/mm] =\ [mm] \frac{d}{dx}\ [/mm] (x+1)$
$\ 2*u*u'\ =\ 1+0$
$\ 2*u* [mm] \frac{du}{dx}\ [/mm] =\ 1$
oder eben:
$\ 2*u*du\ =\ dx$
> Und wie kommt man auf das Integral ?
Führe nun auch mit dieser neuen Substitution die
gesamte Transformation (Differential, Integrand,
Grenzen) komplett durch.
Dann hast du zwei mögliche Lösungswege, die
du durchrechnen kannst. Die Übereinstimmung
der Ergebnisse ist dann zwar kein Beweis, aber
doch ein gutes Indiz dafür, dass du es richtig
gemacht hast.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Mi 23.09.2015 | | Autor: | ronnez |
Danke !!!! Großartige Hilfe hier ! 
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