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Hi!
[mm] \integral_{1}^{2} \bruch{5x^2 +x}{2x -1}\, [/mm] dx
Ich suche eine Funktion, die zur Substitution geeignet ist. Wie gehe ich bei der Suche vor? Was muss ich hierbei beachten?
[mm] Beispielaufgabe:\integral_{0}^{1} x*sin(x^2)\, [/mm] dx hier ist die geeignete Funktion:
t(x)= [mm] x^2
[/mm]
Die oben angegebene Funktion hingegen ist wesentlich komplexer.
Gruß Schnacklok
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Di 11.12.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Abend,
mach einfach mal eine Polynomdivision.
Danach kannst du den Nenner durch Substitution herausbekommen.
Das ist dann offensichtlich, also nicht kompliziert 
Gruß
Will
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Geht es auch anders?
Durch die polinomdivision erhalte ich: 2,5x+1,75+ [mm] \bruch{1,75}{2x-1}
[/mm]
wenn ich 2x-1 substituiere, so kommt es trotz allem nicht heraus!
Was ist zu tun?
Gruß
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Hallo schnacklok,
> Geht es auch anders?
> Durch die polinomdivision erhalte ich: 2,5x+1,75+
> [mm]\bruch{1,75}{2x-1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wenn ich 2x-1 substituiere, so kommt es trotz allem nicht
> heraus!
> Was ist zu tun?
> Gruß
Du kannst von Anfang an $u:=2x-1$ substitueiren, aber das ist mehr Rechenaufwand.
Zunächst kannst du mit dem Ergebnis der Polynomdivision dein Ausgangsintegral in die Summe zweier (oder wenn du magst dreier) Integrale aufspalten, die du einzeln verarzten kannst:
[mm] $\int{\frac{5x^2+x}{2x-1} \ dx}=\int{\left(\frac{5}{2}x+\frac{7}{4}\right) \ dx}+\int{\frac{7}{4}\cdot{}\frac{1}{2x-1} \ dx}$
[/mm]
Das erste Integral kannst du ja leicht lösen, bleibt das letzte:
[mm] $\int{\frac{7}{4}\cdot{}\frac{1}{2x-1} \ dx}=\frac{7}{4}\cdot{}\int{\frac{1}{2x-1} \ dx}$
[/mm]
Nun setze hier mal die Substitution $t(x)=2x-1$ an
Dann ist [mm] $t'(x)=\frac{dt}{dx}=....\Rightarrow [/mm] dx=...$
Kommst du damit weiter?
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:22 Di 11.12.2007 | | Autor: | schnacklok |
Auf jeden Fall. Danke
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und die Funktion?
[mm] \integral_{4}^{6} \bruch{2x-1}{x^2-6x+9}\, [/mm] dx ?
Ansatz: t(x)= [mm] x^2-6x+9 [/mm] t'(x)= 2x-6
[mm] \bruch{dt}{dx}=2x-6
[/mm]
dx= [mm] \bruch{dt}{2x-6}
[/mm]
[mm] \bruch{(2x-1)*dt}{t*(2x-6)} [/mm] weiter weiß ich leider nicht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:38 Di 11.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
was ist denn x²-6x+9???das ist doch (x-3)² kommst du damit weiter?
Gruß
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Hi nochmal,
hier steht beinahe die Ableitung des Nenners im Zähler, wir müssen nur den Nenner geschickt ein bisschen umformen:
Ich zeige dir mal den "Trick" mit dem Nenner - lohnt sich zu merken
Also [mm] $\frac{2x-1}{x^2-6x+9}=\frac{2x-1\red{-5+5}}{x^2-6x+9}$
[/mm]
Da habe ich nur eine Null dazu addiert...
[mm] $=\frac{2x-6+5}{x^2-6x+9}=\frac{2x-6}{x^2-6x+9}+\frac{5}{x^2-6x+9}=\frac{2x-6}{x^2-6x+9}+5\cdot{}\frac{1}{(x-3)^2}$
[/mm]
Du kannst also wieder beide Integrale getrennt betrachten.
Das erste ist nun nach der Umformung ein logarithmischen Integral, dh, Im Zähler steht die Ableitung des Nenners, also ein Integral der Form:
[mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$
[/mm]
Das hat die Stammfunktion $ln|f(x)| \ + \ c$
Das kannst du auch per Substitution lösen, setze [mm] $t:=x^2-6x+9$
[/mm]
Beim zweiten Integral [mm] $5\cdot{}\int{\frac{1}{(x-3)^2} \ dx}$ [/mm] kannst du mit der Substitution $t:=x-3$ ansetzen oder du siehst es so ...
Gruß
schachuzipus
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