Substitution < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:33 So 16.05.2010 | | Autor: | SKYMEMiC |
| Aufgabe | Ich habe mir selbst eine "leichte" Aufgabe zum Verständnis gemacht. In einer Beispielaufgabe gab es:
[mm] I(x)=\integral{(2x-3)^6 dx}
[/mm]
und das war ganz leicht und ich dachte, probier es doch mal mit einem Polynom und stellte mir diese Aufgabe:
[mm] I(x)=\integral{(2x^2+3x+5)^6 dx}
[/mm]
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Frage: Ist das richtig?
Mein Weg:
[mm] I(t)=\integral{t^6 dt}
[/mm]
mit
[mm] t=(2x^2+3x+5)
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{dt}{dx}=\bruch{d(2x^2+3x+5)}{dx}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{dt}{dx}=4x+3
[/mm]
[mm] \gdw dx=\bruch{dt}{4x+3}
[/mm]
[mm] I(t)=\integral{\bruch{t^6}{4x+3} dt}
[/mm]
Ist x hier jetzt als eine Konstante anzusehen? Vorziehen?
[mm] =\bruch{1}{4x+3} \integral{t^6 dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{t^7}{(4x+3)*7}
[/mm]
R.S.:
[mm] =\bruch{(2x^2+3x+5)^7}{(4x+3)*7}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 So 16.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Ich habe mir selbst eine "leichte" Aufgabe zum Verständnis
> gemacht. In einer Beispielaufgabe gab es:
>
> [mm]I(x)=\integral{(2x-3)^6 dx}[/mm]
>
> und das war ganz leicht und ich dachte, probier es doch mal
> mit einem Polynom und stellte mir diese Aufgabe:
>
> [mm]I(x)=\integral{(2x^2+3x+5)^6 dx}[/mm]
>
>
> Frage: Ist das richtig?
>
> Mein Weg:
>
> [mm]I(t)=\integral{t^6 dt}[/mm]
>
> mit
>
> [mm]t=(2x^2+3x+5)[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{dt}{dx}=\bruch{d(2x^2+3x+5)}{dx}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{dt}{dx}=4x+3[/mm]
>
> [mm]\gdw dx=\bruch{dt}{4x+3}[/mm]
>
>
> [mm]I(t)=\integral{\bruch{t^6}{4x+3} dt}[/mm]
>
> Ist x hier jetzt als eine Konstante anzusehen? Vorziehen?
Nein, x ist keine Konstante, denn es ist von t abhängig. Du müsstest also zunächst deinen Substitutionsansatz umkehren und [mm] t=2x^2+3x+5 [/mm] nach x auflösen (quadrartische Gleichung), somit könntest du x und damit auch 4x+3 durch t ausdrücken. Dieser Term ist jedoch so kompliziert, dass deine mit der Substutution erhoffte Vereinfachung sich ins Gegenteil umkehrt.
Gruß Abakus
>
> [mm]=\bruch{1}{4x+3} \integral{t^6 dt}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{t^7}{(4x+3)*7}[/mm]
>
> R.S.:
>
> [mm]=\bruch{(2x^2+3x+5)^7}{(4x+3)*7}[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 So 16.05.2010 | | Autor: | SKYMEMiC |
Und wie geh ich daran?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SKYNEMIC!
Bei Deinem selbst gewählten Beispiel wird Dir wohl nichts anderes übrig bleiben, als den Term [mm] $(2x^2+3x+5)^6$ [/mm] erst auszumuliplizieren, bevor es ans Integrieren geht.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 So 16.05.2010 | | Autor: | SKYMEMiC |
Danke! Ich hab das auch schon soweit gemacht. Ist auf jeden Fall ein gutes Beispiel zum Kopfrechnen üben, als für Integrale, hab ich so festgestellt :) Ich hoffe bloß, das man das nicht mit jedem Polynom als Basis so machen muss. Naja, bei der linearen Funktion war das ganz einfach, aber sobald da jetzt ein lineares Glied mit drin ist, wird das echt schwer. Hätte ich nicht gedacht.
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