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Forum "Schul-Analysis" - Substitution
Substitution < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:32 Di 08.06.2004
Autor: Neo

Ich habe hier ein Problem bei meiner Matheschularbeit. Wir haben ein Beispiel aufbekommen das nach Angaben der Lehrerin durch Substitution gelöst werden kann. Leider schaff ich es nicht wirklich es zu lösen. Hoffe ihr habt vielleicht ein paar Anregungen für mich wie ich es schaffen könnte.

[mm]\integral_{0}^{\pi /8} \tan2x*(1+\tan^2 2x)\,dx [/mm]

        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 Di 08.06.2004
Autor: Frosty

Hallo Neo,

> [mm]\integral_{0}^{\pi /8} \tan2x*(1+\tan^2 2x)\,dx[/mm]

Ich gebe dir mal einen kleinen Tip, wenn du nicht weiter kommst, dann melde dich noch mal:

[mm]f(x) = tan (2x)[/mm]
[mm]f'(x) = 2*((tan^2(2x))+1)[/mm]

eigentlich müsstest du damit weiter kommen...
Viele Grüße
Bernhard

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Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:56 Do 10.06.2004
Autor: Neo

Könntest du das etwas genauer beschreiben. Geh davon aus das ich eine volle Niete in Mathe bin. DANKE

mfg Neo

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Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Do 10.06.2004
Autor: Wessel

Hallo,

ich glaube, der Hinweis von Bernhard hat was mit der "partiellen Integration" zu tun.

Mein Formelbuch gibt da sowas her:

$ [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x)g'(x) dx} = [mm] f(x)g(x)|_{a}^{b} [/mm] -  [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {g(x)f'(x) dx}$

und irgendwie passt das doch auf den Hinweis, oder?

Setze [mm] $f(x)=\tan(2x)$ [/mm] und [mm] $g'(x)=2*((\tan^2(2x))+1)$ [/mm]

Dann wäre Deine Aufgabe lösbar mit

[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{8}} {tan(2x)*(1+tan^2(2x)) dx} [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{8}}{f(x)*\bruch{1}{2}g'(x) dx} [/mm]

Wenn ich mich nicht irre, kann man ja bei der Integralrechnung gewisse Konstanten rausziehen:
= [mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{8}}{f(x)*g'(x) dx} [/mm]

So, jetzt nur noch einsetzen und mit der Formel ausrechen.

Grüße

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Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Do 10.06.2004
Autor: Frosty

Hallo,

da das Thema "Substitution" heißt, war mein Hinweis mehr in Richtung Substitution gemeint.
Noch mal die Aufgabe:
[mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{8}} {tan(2x) * (1 + (tan(2x))^2) dx}[/mm]

Die allgemeine Formel für die Substitution lautet:
[mm]\integral_{a}^{b} {f(g(x)) * g'(x) dx} = \integral_{g(a)}^{g(b)} {f(z) dz}[/mm]

Als g(x) wählen wir nun [mm]g(x) = tan(2x)[/mm], also [mm]g'(x) = 2 * ((tan(2x))^2 + 1)[/mm].

Jetzt müssen wir die ursprüngliche Fomel etwas umstellen, damit wir die Substitution anwenden können:
[mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{8}} {tan(2x) * (1 + (tan(2x))^2) dx} = \bruch{1}{2} * \integral_{0}^{\bruch{\pi}{8}} {tan(2x) * 2 * (1 + (tan(2x))^2) dx}[/mm]

Also folgt jetzt:
[mm]\bruch{1}{2} * \integral_{0}^{\bruch{\pi}{8}} {\underbrace{tan(2x)}_{g(x)} * \underbrace{2 * (1 + (tan(2x))^2)}_{g'(x)} dx} = \bruch{1}{2} * \integral_{g(0)}^{g(\bruch{\pi}{8})} {z\ dz}[/mm]
[mm]= \bruch{1}{2} * |\bruch{z^2}{2}|^{tan(2*\bruch{\pi}{8})}_{tan(2*0)} = \bruch{1}{2} * (\bruch{(tan(2*\bruch{\pi}{8}))^2}{2} - \bruch{(tan(2*0))^2}{2}) = \bruch{1}{2} * (\bruch{1}{2} - \bruch{0}{2}) = \bruch{1}{4}[/mm]

So, das sollte es sein :-) Guck es dir mal an...
Grüße
Bernhard

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Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Do 10.06.2004
Autor: Emily


> Ich habe hier ein Problem bei meiner Matheschularbeit. Wir
> haben ein Beispiel aufbekommen das nach Angaben der
> Lehrerin durch Substitution gelöst werden kann. Leider
> schaff ich es nicht wirklich es zu lösen. Hoffe ihr habt
> vielleicht ein paar Anregungen für mich wie ich es schaffen
> könnte.
>  
> [mm]\integral_{0}^{\pi /8} \tan2x*(1+\tan^2 2x)\,dx[/mm]
>  

Du ersetzt f(x) = z = tan(2x)     f´(x) = z´= 2 [mm] ((tan^2(2x)+1) [/mm]    

Grenzen: f(0) = tan(0)=0   und   [mm] f(\pi/8) [/mm] = [mm] tan(\pi/4) [/mm] = 1     z´= dz/dx   d. h. dz = 2 [mm] ((tan^2(2x)+1) [/mm] dx

[mm]\integral_{0}^{\pi /8} \tan2x*(1+\tan^2 2x)\,dx[/mm] =1/2[mm]\integral_{0}^{1} \ z\,dz[/mm] = [mm] [1/4z^2] [/mm] = 1/4

P.S. Es fehlen die oberen Grenzen, ich hab Probleme mit drr Darstellung.
Kommt noch.


Gruß Emily

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Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:05 Do 10.06.2004
Autor: Neo

Ich danke euch allen. Es ist wunderbar das es viele Leute gibt die helfen. DANKE

mfg Neo

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