Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral mit der angegebenen Substitution:
[mm] \integral_{2}^{1}{\bruch{2x+3}{(x+2)^2} dx}
[/mm]
t=x+2 |
Hallo.
Ich bin derzeitig total am Verzweifeln.
Bisher habe ich immer Integrale nach der "Ingeneursmethode" berechnet.
D.h ich habe meinen Substituenten selbst gewählt
t=g(x)
nach x abgeleitet
[mm] \bruch{dt}{dx}=g'(x)
[/mm]
und nach dx aufgelöst
[mm] \bruch{dt}{g'(x)}=dx
[/mm]
Nun habe ich mir mal die Schulmethode angeschaut (Differentierung einer verkettetenen Funktion und Grenzensubstitution).
Zwar verstehe ich die Herleitungen der Formeln, aber sie selbst anzuwenden kann ich nicht....
Nehmen wir beispielsweise die obige Aufgabe:
Es soll t=x+2 der Substituent sein.
Normalerweise müsste das Integral in folgender Form vorlegen:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(g(x))*g'(x) dx} [/mm] sodass daraus folgen würde:
[mm] F(g(b))-F(g(a))=\integral_{g(a)}^{g(b)}{f(t) dt}
[/mm]
Im obigen Beispiel also:
[mm] f(g(x))=\bruch{1}{(x+2)^2}
[/mm]
g'(x)=1
Würde also als Gesamterm:
[mm] \integral_{a}^{b}{(x+2)^{-2} dx} [/mm] dortstehen, könnte ich x+^2 einfach mit t substituieren.
Nun steht jedoch als Ausgangsform [mm] "f(g(x))*g'(x)"=2x+3*\bruch{1}{(x+2)^2} [/mm] dort
Mein Ansatz wäre jetzt folgender:
Also muss ich die Gleichung irgendwie umformen,um auf f(g(x))*g'(x) zu kommen.
Bisher habe ich dazu versucht 2x+3 und x+2 so umzuformen, dass sie sich gegenseitig kürzen.
Also (2x+3)*a=b*(x+2)
bzw. 2(x+1.5)*a=b*(x+2)
Ist das denn überhaupt vom Ansatz her richtig?
Viele Grüße und danke im Voraus.
|
|
| |
|
Hallo,
> Berechnen Sie das Integral mit der angegebenen
> Substitution:
>
> [mm]\integral_{2}^{1}{\bruch{2x+3}{(x+2)^2} dx}[/mm]
> t=x+2
>
> Hallo.
>
> Ich bin derzeitig total am Verzweifeln.
> Bisher habe ich immer Integrale nach der
> "Ingeneursmethode" berechnet.
> D.h ich habe meinen Substituenten selbst gewählt
> t=g(x)
>
> nach x abgeleitet
> [mm]\bruch{dt}{dx}=g'(x)[/mm]
>
> und nach dx aufgelöst
> [mm]\bruch{dt}{g'(x)}=dx[/mm]
>
> Nun habe ich mir mal die Schulmethode angeschaut
> (Differentierung einer verkettetenen Funktion und
> Grenzensubstitution).
> Zwar verstehe ich die Herleitungen der Formeln, aber sie
> selbst anzuwenden kann ich nicht....
>
> Nehmen wir beispielsweise die obige Aufgabe:
>
> Es soll t=x+2 der Substituent sein.
>
> Normalerweise müsste das Integral in folgender Form
> vorlegen:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(g(x))*g'(x) dx}[/mm] sodass daraus folgen
> würde:
> [mm]F(g(b))-F(g(a))=\integral_{g(a)}^{g(b)}{f(t) dt}[/mm]
>
> Im obigen Beispiel also:
> [mm]f(g(x))=\bruch{1}{(x+2)^2}[/mm]
> g'(x)=1
>
> Würde also als Gesamterm:
> [mm]\integral_{a}^{b}{(x+2)^{-2} dx}[/mm] dortstehen, könnte ich
> x+^2 einfach mit t substituieren.
Hilft es dir, wenn du schreibst [mm]\frac{2x+3}{(x+2)^2}=\frac{2(x+2)-1}{(x+2)^2}=2\cdot{}\frac{1}{x+2}-\frac{1}{(x+2)^2}[/mm] ?
Mithin [mm]\int\limits_{2}^1{\frac{2x+3}{(x+2)^2} \ dx}=2\int\limits_2^1{\frac{1}{x+2} \ dx} \ - \ \int\limits_2^1{\frac{1}{(x+2)^2} \ dx}[/mm]
Nun sollte die angegebene Substitution doch leicht greifen ...
> Nun steht jedoch als Ausgangsform
> <IMG class=latex alt="<span"><IMG class=latex alt="$ src=" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%20src%3D$" _cke_realelement="true" render?d='108&s=$%24$"' teximg.matheraum.de http:></SPAN><IMG class=latex alt=$ _cke_realelement="true" [mm] f(g(x))*g?(x)?='2x+3*\bruch{1}{(x+2)^2}$" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$$" _cke_realelement="true" f(g(x))*g?(x)?=' [mm] 2x+3*\bruch{1}{(x+2)^2}?>"'> [/mm] dort
>
> Mein Ansatz wäre jetzt folgender:
> Also muss ich die Gleichung irgendwie umformen,um auf
> f(g(x))*g'(x) zu kommen.
>
> Bisher habe ich dazu versucht 2x+3 und x+2 so umzuformen,
> dass sie sich gegenseitig kürzen.
> Also (2x+3)*a=b*(x+2)
>
> bzw. 2(x+1.5)*a=b*(x+2)
>
> Ist das denn überhaupt vom Ansatz her richtig?
>
> Viele Grüße und danke im Voraus.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke.
Ich bin so blöd...Wie kann man so etwas nur übersehen.
Liebe Grüße
|
|
|
|
