Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Do 28.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Bei zwei von vier Integralen hab ich bisher noch Probleme, weil ich nicht genau weiß, wie man hier optimal substituieren kann. Vllt kann mir ja jemand einen guten Tipp geben. Beim Letzteren würde ich den Bruch auseinanderziehen und beide "neuen" Brüche getrennt betrachten. Darf ich das denn überhaupt? Scheint mir irgendwie zu einfach ;)
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+sin^{2}(x)} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1+x}{1+\wurzel{x}} dx}
[/mm]
Danke vielmals.
Gruß SolRakt
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Hallo SolRakt,
> Hallo.
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> Bei zwei von vier Integralen hab ich bisher noch Probleme,
> weil ich nicht genau weiß, wie man hier optimal
> substituieren kann. Vllt kann mir ja jemand einen guten
> Tipp geben. Beim Letzteren würde ich den Bruch
> auseinanderziehen und beide "neuen" Brüche getrennt
> betrachten. Darf ich das denn überhaupt? Scheint mir
> irgendwie zu einfach ;)
Das kannst Du machen.
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+sin^{2}(x)} dx}[/mm]
Ersetze hier die "1" durch "[mm]\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)[/mm]"
Dividiere dann Zähler und Nenner durch [mm]\cos^{2}\left(x\right)[/mm]
Wähle dann die Substitution entsprechend.
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1+x}{1+\wurzel{x}} dx}[/mm]
Substituiere hier [mm]x=u^{2}[/mm]
>
> Danke vielmals.
>
> Gruß SolRakt
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Do 28.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke erstmal. :)
Ähm, hab das jetzt beim ersten mal gemacht und mit y:= tan x substituiert. Dann steht da insgesamt doch (lass Integralzeichen weg):
[mm] \bruch{y}{2y^{2}}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{1}{2y}
[/mm]
Also:
log(2y) = log(2 tan x)
Stimmt das denn?
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Hallo SolRakt,
> Danke erstmal. :)
>
> Ähm, hab das jetzt beim ersten mal gemacht und mit y:= tan
> x substituiert. Dann steht da insgesamt doch (lass
> Integralzeichen weg):
>
> [mm]\bruch{y}{2y^{2}}[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\bruch{1}{2y}[/mm]
>
> Also:
>
> log(2y) = log(2 tan x)
>
> Stimmt das denn?
>
Das stimmt leider nicht.
Zunächst steht doch da:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{\blue{1}}{\blue{1}+\sin^{2}\left(x\right)} \ dx}=\integral_{}^{}{\bruch{\blue{\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)}}{\blue{\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)}+\sin^{2}\left(x\right)} \ dx}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Do 28.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke nochmal für die Hilfe.
Hatte einen blöden Fehler gemacht.
Ist das ok, wenn ich einfach frage, obs richtig ist? Hab jetzt raus:
log [mm] (2tan^{2}(x)+1)
[/mm]
Wenns falsch ist, kann ich ja immer noch meinen Lösungsweg schreiben.
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Hallo SolRakt,
> Danke nochmal für die Hilfe.
>
> Hatte einen blöden Fehler gemacht.
>
> Ist das ok, wenn ich einfach frage, obs richtig ist? Hab
> jetzt raus:
>
> log [mm](2tan^{2}(x)+1)[/mm]
Das ist auch nicht richtig.
>
> Wenns falsch ist, kann ich ja immer noch meinen Lösungsweg
> schreiben.
Poste mal Deinen Lösungsweg.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Do 28.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..ok. Machs aber ohne Integralzeichen.
Also:
[mm] \bruch{sin^{2}+cos^{2}}{sin^{2}+cos^{2}+sin^{2}}
[/mm]
Durch [mm] cos^{2} [/mm] geteilt:
[mm] \bruch{\bruch{sin^{2}}{cos^{2}}+1}{\bruch{sin^{2}}{cos^{2}}+1+\bruch{sin^{2}}{cos^{2}}}
[/mm]
Ich nenne y:=tan x
Also dy= [mm] tan^{2}+1 [/mm] dx
Es folgt ja:
[mm] \bruch{tan^{2}+1}{tan^{2}+1+tan^{2}}dx
[/mm]
[mm] \bruch{1}{y^{2}+1+y^{2}}dy
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2y^{2}+1}
[/mm]
Naja, und nun der log als Stammfunktion. Aber wo ist der Fehler? Hab grad nochmal drüber geschaut, aber ich sehs nicht :(
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Hallo SolRakt,
> Hmm..ok. Machs aber ohne Integralzeichen.
>
> Also:
>
> [mm]\bruch{sin^{2}+cos^{2}}{sin^{2}+cos^{2}+sin^{2}}[/mm]
>
> Durch [mm]cos^{2}[/mm] geteilt:
>
> [mm]\bruch{\bruch{sin^{2}}{cos^{2}}+1}{\bruch{sin^{2}}{cos^{2}}+1+\bruch{sin^{2}}{cos^{2}}}[/mm]
>
> Ich nenne y:=tan x
> Also dy= [mm]tan^{2}+1[/mm] dx
>
> Es folgt ja:
>
> [mm]\bruch{tan^{2}+1}{tan^{2}+1+tan^{2}}dx[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{y^{2}+1+y^{2}}dy[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2y^{2}+1}[/mm]
>
> Naja, und nun der log als Stammfunktion. Aber wo ist der
> Fehler? Hab grad nochmal drüber geschaut, aber ich sehs
> nicht :(
>
Im Zähler steht nicht die Ableitung von [mm]2*y^{2}+1[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Do 28.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ach so, dann also kann man nur den log ansetzen. Ich dachte immer, dass dafür im Zähler eine 1 stehn muss.
Aber die einzelnen Schritte waren soweit ok, nur das mit dem log am ende war falsch?
Oh man, aber wie krieg ich die 4y da hin, oder muss man das garnicht??? Sry, aber im mom. ist mir das echt zu hoch.
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Hallo SolRakt,
> Ach so, dann also kann man nur den log ansetzen. Ich dachte
> immer, dass dafür im Zähler eine 1 stehn muss.
>
> Aber die einzelnen Schritte waren soweit ok, nur das mit
> dem log am ende war falsch?
So isses.
>
> Oh man, aber wie krieg ich die 4y da hin, oder muss man das
> garnicht??? Sry, aber im mom. ist mir das echt zu hoch.
Das nach der Substitution entstandene Integral
löst Du mit einer weiteren Substitution.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Do 28.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Daran hatte ich sogar gedacht, nur was macht denn hier sinn? Ich könnte
[mm] z:=2y^{2}+1 [/mm] substituieren. Dann gilt:
dz=4y dy
Aber wirklich weiter bringt mich das doch garnicht?
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Hallo SolRakt,
> Daran hatte ich sogar gedacht, nur was macht denn hier
> sinn? Ich könnte
> [mm]z:=2y^{2}+1[/mm] substituieren. Dann gilt:
>
> dz=4y dy
>
> Aber wirklich weiter bringt mich das doch garnicht?
>
Das bringt Dich in der Tat nicht weiter.
Sinn mach hier die Substitution [mm]y=\bruch{1}{\wurzel{2}}\tan\left(z\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Do 28.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
OMG, wie soll man denn da drauf kommen? Naja ok.
Also:
[mm] y:=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] tan(z)
[mm] dy=\bruch{1}{\wurzel{2}}(tan^{2}(z)+1)
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{\bruch{1}{\wurzel{2}}(tan^{2}(z)+1)}{tan^{2}(z)+1}
[/mm]
Dann würde sich aber fast alles wegheben?
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Hallo SolRakt,.
> OMG, wie soll man denn da drauf kommen? Naja ok.
>
> Also:
>
> [mm]y:=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] tan(z)
>
> [mm]dy=\bruch{1}{\wurzel{2}}(tan^{2}(z)+1)[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{\wurzel{2}}(tan^{2}(z)+1)}{tan^{2}(z)+1}[/mm]
>
> Dann würde sich aber fast alles wegheben?
>
Das ist ja Sinn der Sache, daß der Integrand
nach einer Substitution so einfach wie möglich wird.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Do 28.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Dann bleibt also [mm] \bruch{1}{wurzel{2}} [/mm] übrig und am Ende steht da als Ergebnis:
[mm] \bruch{1}{wurzel{2}} [/mm] * z
Und dann nur noch das z rücksubst.?
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Hallo SolRakt,
> Dann bleibt also [mm]\bruch{1}{wurzel{2}}[/mm] übrig und am Ende
> steht da als Ergebnis:
>
> [mm]\bruch{1}{wurzel{2}}[/mm] * z
>
> Und dann nur noch das z rücksubst.?
>
Ja, zunächst das z zurücksubstituieren
und dann nochmal für das u.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Do 28.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Super, jetzt hab ichs auch verstanden. xD Wirklich ein großes Danke für deine Hilfe. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Do 28.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
[mm] Hmm..x=u^{2}?
[/mm]
Dann wäre dx=2u du
Also [mm] \bruch{1+u^{2}}{1+u} [/mm] 2u du
Aber wie soll man da jetzt weitermachen?
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Hallo SolRakt,
> [mm]Hmm..x=u^{2}?[/mm]
>
> Dann wäre dx=2u du
>
> Also [mm]\bruch{1+u^{2}}{1+u}[/mm] 2u du
>
> Aber wie soll man da jetzt weitermachen?
Zunächst mit Polynomdivision.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Do 28.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ok, danke.
Dann hab ich [mm] u-1+\bruch{2}{u+1} [/mm] raus.
Und das darf ich ja wegen der "Summenregel" (ich weiß, falscher Begriff, aber im Grunde ists ja so) einzelnd integrieren.
Also:
[mm] \bruch{1}{2} u^{2}-u [/mm] + log(u/2 + 1/2)
Und dann müsste ich nur noch rücksubstituieren und fertig. oder?
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Hallo SolRakt,
> Ok, danke.
>
> Dann hab ich [mm]u-1+\bruch{2}{u+1}[/mm] raus.
Das musst Du jetzt noch mit 2u multiplizieren.
Dann erst kannst Du das integrieren.
>
> Und das darf ich ja wegen der "Summenregel" (ich weiß,
> falscher Begriff, aber im Grunde ists ja so) einzelnd
> integrieren.
>
> Also:
>
> [mm]\bruch{1}{2} u^{2}-u[/mm] + log(u/2 + 1/2)
>
> Und dann müsste ich nur noch rücksubstituieren und
> fertig. oder?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Do 28.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
sry, bin noch total ungeübt im Umgang mit Integralen xD
Wenn ich mit 2u multipliziere, kommt natürlich raus:
[mm] 2u^{2}-2u+\bruch{4u}{u+1}
[/mm]
Die ersten beiden Terme kann ich ja einfach integrieren. beim letzen möchte ich vermutlich nacher den log ansetzen, aber noch geht das ja offenbar nicht. Kann man evtl. nochmal substituieren oder mach ichs mir hier zu schwer? Ich wüsste aber dann auch nicht, was ich jetzt machen soll. Die 4u müssen ja irgendwie zu 1 werden. Oder kann man einfach
4u * [mm] \bruch{1}{u+1} [/mm] schreiben und dann partiell integrieren?
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Hallo, erneut Polynomdivision (4u):(u+1), du kannst natürlich auch [mm] (2u^{3}+2u):(u+1) [/mm] rechnen, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Do 28.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Bei PD von 4u:(u+1) kommt dann [mm] 4-\bruch{4}{u+1}
[/mm]
Die 4 zu integrieren ist ja leicht. und beim Bruch kann ich nun log machen, wenn ich die 4 als Faktor vors Integral ziehe. Richtig?
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Hallo, so ist es, vergesse nicht die Rücksubstitution,Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Do 28.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Super, danke euch beiden :) Ich muss also immer an PD denken xD
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