Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:04 Mi 14.09.2011 | | Autor: | stevarino |
Hallo
Es geht um folgendes Integral und dessen Lösung
[mm]\Gamma(y)=\Gamma_{0}*\wurzel{1-(\bruch{2y}{b})^2}
w_i(y)=\bruch{1}{4\pi}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{d\Gamma}{d\eta}*\bruch{d\eta}{y-\eta}}
[/mm]
[mm]\bruch{d\Gamma_{0}}{d\eta}=\Gamma_{0}*\bruch{\bruch{-4\eta}{b}}{\wurzel{1-(\bruch{2\eta}{b}})^2}*\bruch{d\eta}{y-\eta}
[/mm]
<span class="math">[mm]w_i(y)=\bruch{\Gamma_{0}}{2\pi*b}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{\bruch{-2\eta}{b}}{\wurzel{1-(\bruch{2\eta}{b}})^2}*\bruch{d\eta}{y-\eta}}
[/mm]
jetzt Substituiert man
<span class="math">[mm]\bruch{2\eta}{b}=cos\vartheta'
\eta=\bruch{b}{2}*cos\vartheta'
d\eta=\bruch{-b}{2}*sin\vartheta' d\vartheta'[/mm]
<span class="math">[mm]w_i(y)=\bruch{\Gamma_{0}}{2\pi*b}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{-cos\vartheta'}{\wurzel{1-(cos\vartheta'})^2}*\bruch{\bruch{-b}{2}*sin\vartheta'*d\vartheta'}{y-\bruch{b}{2}*cos\vartheta'}}
[/mm]
[mm]w_i(y)=\bruch{\Gamma_{0}}{4\pi}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{cos\vartheta'}{sin\vartheta'}*\bruch{d\vartheta'}{y-\bruch{b}{2}*cos\vartheta'}}
[/mm]
laut Lösung soll ein Integral der Form
<span class="math">[mm]\integral_{0}^{\pi}{\bruch{cos\vartheta'}{cos\vartheta'-cos\vartheta}}=-\pi[/mm]
rauskommen
habt ihr einen Tip wie man das anstellt
lg stevo
</span> </span>
</span>
</span>
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> [mm]\Gamma(y)=\Gamma_{0}*\wurzel{1-(\bruch{2y}{b})^2}
w_i(y)=\bruch{1}{4\pi}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{d\Gamma}{d\eta}*\bruch{d\eta}{y-\eta}}
[/mm]
>
> [mm]\bruch{d\Gamma_{0}}{d\eta}=\Gamma_{0}*\bruch{\bruch{-4\eta}{b}}{\wurzel{1-(\bruch{2\eta}{b}})^2}*\bruch{d\eta}{y-\eta} [/mm]
[mm] \Gamma_{0} [/mm] soll doch wohl eine Konstante sein; dann macht
eine Ableitung [mm] \bruch{d\Gamma_{0}}{d\eta} [/mm] wohl kaum Sinn.
[mm]w_i(y)=\bruch{\Gamma_{0}}{2\pi*b}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{\bruch{-2\eta}{b}}{\wurzel{1-(\bruch{2\eta}{b}})^2}*\bruch{d\eta}{y-\eta}}
[/mm]
>
> jetzt Substituiert man
[mm]\bruch{2\eta}{b}=cos\vartheta'
\eta=\bruch{b}{2}*cos\vartheta'
d\eta=\bruch{-b}{2}*sin\vartheta' d\vartheta'[/mm]
>
[mm]w_i(y)=\bruch{\Gamma_{0}}{2\pi*b}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{-cos\vartheta'}{\wurzel{1-(cos\vartheta'})^2}*\bruch{\bruch{-b}{2}*sin\vartheta'*d\vartheta'}{y-\bruch{b}{2}*cos\vartheta'}} [/mm]
>
> [mm]w_i(y)=\bruch{\Gamma_{0}}{4\pi}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{cos\vartheta'}{sin\vartheta'}*\bruch{d\vartheta'}{y-\bruch{b}{2}*cos\vartheta'}}[/mm]
>
> laut Lösung soll ein Integral der Form
>
[mm]\integral_{0}^{\pi}{\bruch{cos\vartheta'}{cos\vartheta'-cos\vartheta}}=-\pi[/mm]
>
> rauskommen
Ich würde anstelle von [mm] \eta [/mm] und [mm] \vartheta' [/mm] etwas menschenfreundlichere
Bezeichnungen einführen ...
LG
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Hi
> > [mm]\Gamma(y)=\Gamma_{0}*\wurzel{1-(\bruch{2y}{b})^2} w_i(y)=\bruch{1}{4\pi}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{d\Gamma}{d\eta}*\bruch{d\eta}{y-\eta}}[/mm]
>
> >
> >
> [mm]\bruch{d\Gamma_{0}}{d\eta}=\Gamma_{0}*\bruch{\bruch{-4\eta}{b}}{\wurzel{1-(\bruch{2\eta}{b}})^2}*\bruch{d\eta}{y-\eta}[/mm]
>
> [mm]\Gamma_{0}[/mm] soll doch wohl eine Konstante sein; dann macht
> eine Ableitung [mm]\bruch{d\Gamma_{0}}{d\eta}[/mm] wohl kaum
> Sinn.
Hab mich da vertippt sorry!
> [mm]w_i(y)=\bruch{\Gamma_{0}}{2\pi*b}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{\bruch{-2\eta}{b}}{\wurzel{1-(\bruch{2\eta}{b}})^2}*\bruch{d\eta}{y-\eta}}[/mm]
> >
> > jetzt Substituiert man
> [mm]\bruch{2\eta}{b}=cos\vartheta' \eta=\bruch{b}{2}*cos\vartheta' d\eta=\bruch{-b}{2}*sin\vartheta' d\vartheta'[/mm]
>
> >
> [mm]w_i(y)=\bruch{\Gamma_{0}}{2\pi*b}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{-cos\vartheta'}{\wurzel{1-(cos\vartheta'})^2}*\bruch{\bruch{-b}{2}*sin\vartheta'*d\vartheta'}{y-\bruch{b}{2}*cos\vartheta'}}[/mm]
> >
> >
> [mm]w_i(y)=\bruch{\Gamma_{0}}{4\pi}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{cos\vartheta'}{sin\vartheta'}*\bruch{d\vartheta'}{y-\bruch{b}{2}*cos\vartheta'}}[/mm]
> >
> > laut Lösung soll ein Integral der Form
> >
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\bruch{cos\vartheta'}{cos\vartheta'-cos\vartheta}}=-\pi[/mm]
> >
> > rauskommen
>
>
> Ich würde anstelle von [mm]\eta[/mm] und [mm]\vartheta'[/mm] etwas
> menschenfreundlichere
> Bezeichnungen einführen ...
Was würde dir den da so vorschweben ich hab einfach die Angabe
übernommen ohne einen Gedanken an die menschenfreundlichkeit zu
verlieren
> LG
>
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> > > [mm]\Gamma(y)=\Gamma_{0}*\wurzel{1-(\bruch{2y}{b})^2} w_i(y)=\bruch{1}{4\pi}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{d\Gamma}{d\eta}*\bruch{d\eta}{y-\eta}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{d\Gamma_{0}}{d\eta}=\Gamma_{0}*\bruch{\bruch{-4\eta}{b}}{\wurzel{1-(\bruch{2\eta}{b}})^2}*\bruch{d\eta}{y-\eta}[/mm]
> >
> > [mm]\Gamma_{0}[/mm] soll doch wohl eine Konstante sein; dann macht
> > eine Ableitung [mm]\bruch{d\Gamma_{0}}{d\eta}[/mm] wohl kaum
> > Sinn.
> Hab mich da vertippt sorry!
> >
> [mm]w_i(y)=\bruch{\Gamma_{0}}{2\pi*b}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{\bruch{-2\eta}{b}}{\wurzel{1-(\bruch{2\eta}{b}})^2}*\bruch{d\eta}{y-\eta}}[/mm]
> > >
> > > jetzt Substituiert man
> > [mm]\bruch{2\eta}{b}=cos\vartheta' \eta=\bruch{b}{2}*cos\vartheta' d\eta=\bruch{-b}{2}*sin\vartheta' d\vartheta'[/mm]
>
> [mm]w_i(y)=\bruch{\Gamma_{0}}{2\pi*b}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{-cos\vartheta'}{\wurzel{1-(cos\vartheta'})^2}*\bruch{\bruch{-b}{2}*sin\vartheta'*d\vartheta'}{y-\bruch{b}{2}*cos\vartheta'}}[/mm]
> > >
> [mm]w_i(y)=\bruch{\Gamma_{0}}{4\pi}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{cos\vartheta'}{sin\vartheta'}*\bruch{d\vartheta'}{y-\bruch{b}{2}*cos\vartheta'}}[/mm]
> > >
> > > laut Lösung soll ein Integral der Form
> > >
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\bruch{cos\vartheta'}{cos\vartheta'-cos\vartheta}}=-\pi[/mm]
> > >
> > > rauskommen
> >
> > Ich würde anstelle von [mm]\eta[/mm] und [mm]\vartheta'[/mm] etwas
> > menschenfreundlichere Bezeichnungen einführen ...
> Was würde dir den da so vorschweben ich hab einfach die
> Angabe übernommen ohne einen Gedanken an die
> menschenfreundlichkeit zu verlieren
Hallo stevarino,
ich dachte da durchaus auch an Menschenfreundlichkeit Dir und
uns allen gegenüber. Es ist doch einfach ein wenig lästig, sich
in einer an sich schon schwierigen Aufgabe auch noch ständig
mit Zeichen herumschlagen zu müssen, zu deren Darstellung
man z.B. 6 Tasten statt nur eine betätigen muss.
Deshalb mein Umtaufvorschlag:
[mm] \Gamma [/mm] ---> G
[mm] \Gamma_0 [/mm] ---> [mm] G_0
[/mm]
[mm] \eta [/mm] ---> u
[mm] \vartheta [/mm] ---> s
[mm] \vartheta' [/mm] ---> t
[mm] \frac{b}{2} [/mm] ---> h
[mm] w_i [/mm] ---> w
Damit würden zwei der obigen Gleichungen so aussehen:
$ [mm] w(y)=\bruch{G_0}{4\pi*h}\integral_{h}^{-h}{\bruch{\bruch{-u}{h}}{\wurzel{1-(\bruch{u}{h}})^2}*\bruch{du}{y-u}} [/mm] $
$ [mm] w(y)=\bruch{G_0}{4\pi*h}\integral_{h}^{-h}{\bruch{cos\,t}{\sqrt{1-cos^2\,t}\ }*\bruch{h*sin\,t*dt}{y-h*cos\,t}} [/mm] $
und weniger als halb so viel Schreibarbeit erfordern.
LG Al-Chw.
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Hi
Da ich die Formeln schon mal reingeklopft habe dachte ich mir das die Helfer diese dann nur mehr kopieren bzw zu editieren brauchen
Hast du vielleicht auch einen Tip der mich der Lösung
näher bringt?
Es geht um eine elliptische Zirkulationsverteilung für die man die Abwärtsgeschwindigkeit berechnen soll.
Vielleicht hab ich mich da falsch ausgedückt man kann das Integral von [mm] w_{i} [/mm] auf eine Form bringen die dem Integral [mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{...}{...}}=-\pi [/mm] entspricht
Es geht also im Prinzip nur um die korrekte Substitution um dann die Lösung des letzten Integrals anwenden zu können.
woher das [mm] \vartheta' [/mm] kommt kann ich auch nicht sagen
Eine andere Variante wäre
[mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{cos(n*\phi)}{cos\phi-cos\phi_{0}}}=\pi*\bruch{sin(n*\phi_{0})}{sin\phi_{0}}
[/mm]
wobei es mir hier mit [mm] \phi_{0} [/mm] genauso geht wie mit [mm] \vartheta' [/mm] von oben, woher kommt das.
lg Stevo
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> Hast du vielleicht auch einen Tip der mich der Lösung
> näher bringt?
Du hast noch gar nicht angegeben, was genau dir bei
den Umformungen Probleme bereitet ...
Mir ist auch nicht alles klar, z.B. woher im letzten
Integral plötzlich ein [mm] \vartheta [/mm] auftaucht, das vorher
nirgends erscheint. Auch nicht klar ist, was bei diesem
Integral die Integrationsvariable sein soll. Es stehen da
ja auch andere Integrationsgrenzen als vorher ...
Das Interesse einiger Helfer könntest du möglicher-
weise auch wecken, wenn du noch verrätst, in welchem
Zusammenhang das Ganze inhaltlich steht.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Fr 16.09.2011 | | Autor: | stevarino |
Hi
Habs mal ein bisschen erörtert um was es geht.(siehe oben)
lg
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> woher das [mm]\vartheta'[/mm] kommt kann ich auch nicht sagen
Mit der Einführung von [mm] \vartheta' [/mm] als Substitutionsvariable hatte
ich gar kein Problem. Das kann man einfach tun (nur hätte
ich eine einfachere Bezeichnung vorgezogen, was aber nichts
zur Sache tut).
Rätselhaft ist mir aber, woher dann plötzlich noch ein [mm] \vartheta
[/mm]
(ohne Strich) herkommt, von dem vorher keine Rede war.
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Hi
Hast du eine Ahnung von woher das [mm]\phi_{0}[/mm] kommt????
Vergiss das [mm]\vartheta[/mm] kannst du es mit der Formelalternative lösen????
Ich versteh ehrlich gesagt das Problem nicht es geht nur um die Lösung des Integrals ist das so schwer zu lösen??
lg stevo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 21.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hi
Hab es jetzt nochmal in Kurzform und hoffentlich verständlich aufgeschrieben.
[mm]\Gamma(y)=\Gamma_{0}*\wurzel{1-(\bruch{2y}{b})^2}
[/mm]
Gesucht:
[mm]w_i(y)=\bruch{1}{4\pi}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{d\Gamma}{d\eta}*\bruch{d\eta}{y-\eta}}
[/mm]
Mein Lösungsversuch
[mm]\bruch{d\Gamma}{d\eta}=-\bruch{8*\Gamma_{0}}{b}*\bruch{\bruch{2\eta}{b}}{\wurzel{1-(\bruch{2\eta}{b}})^2}[/mm]
[mm]w_i(y)=-\bruch{2\Gamma_{0}}{\pi*b}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{b}{2}}{\bruch{\bruch{2\eta}{b}}{\wurzel{1-(\bruch{2\eta}{b}})^2}*\bruch{d\eta}{y-\eta}}[/mm]
jetzt Substituiert man
[mm]\bruch{2\eta}{b}=cos\vartheta' [/mm]
[mm] \eta=\bruch{b}{2}*cos\vartheta'[/mm]
[mm]d\eta=\bruch{-b}{2}*sin\vartheta' d\vartheta'
[/mm]
[mm]w_i(y)=-\bruch{2\Gamma_{0}}{\pi*b}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{cos\vartheta'}{\wurzel{1-(cos\vartheta'})^2}*\bruch{\bruch{-b}{2}*sin\vartheta'*d\vartheta'}{y-\bruch{b}{2}*cos\vartheta'}}[/mm]
[mm]w_i(y)=\bruch{\Gamma_{0}}{\pi}\integral_{\bruch{b}{2}}^{\bruch{-b}{2}}{\bruch{cos\vartheta'}{1}*\bruch{d\vartheta'}{y-\bruch{b}{2}*cos\vartheta'}}[/mm]
[mm]w_i(y)=\bruch{\Gamma_{0}}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{cos\vartheta'}{1}*\bruch{d\vartheta'}{\bruch{b}{2}*(\bruch{2y}{b}-cos\vartheta')}}[/mm]
[mm]w_i(y)=\bruch{2\Gamma_{0}}{b\pi}*2\pi[/mm]
laut Lösung sollte
[mm]w_i(y)=\bruch{\Gamma_{0}}{2b}[/mm]
Kann sich das mal jemand durchschauen wo ich mich hier verrechne???
Danke
lg stevo
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> [mm]\Gamma(y)=\Gamma_{0}*\wurzel{1-(\bruch{2y}{b})^2} [/mm]
> Mein Lösungsversuch
>
> [mm]\bruch{d\Gamma}{d\eta}=-\bruch{8*\Gamma_{0}}{b}*\bruch{\bruch{2\eta}{b}}{\wurzel{1-(\bruch{2\eta}{b}})^2}[/mm]
Hallo stevo,
der Fehler (um den Faktor 4) scheint schon hier, beim Ableiten
der Funktion [mm] \Gamma [/mm] , geschehen zu sein. Vielleicht ist dir
da ein Faktor 2 aus dem Nenner in den Zähler verrutscht
oder es ist bei der Kettenregel ein Fehler passiert ...
LG Al-Chw.
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