matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-StochastikSubstitution
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Stochastik" - Substitution
Substitution < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Substitution: bed. Erwartung
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:04 Mo 30.07.2012
Autor: dennis2

Aufgabe
Hallo, ich habe hier einen 2-seitigen englischsprachigen Text über

[]Substitution in bedingten Erwartungswerten


Dort ist relativ zu Beginn des Textes ein Gegenbeispiel dafür gegeben, daß aus (i) nicht (ii) folgt.

Die Annahmen dieses Beispiels sind:

(1) $f=0$

(2) [mm] $g(y,\eta)=\begin{cases}1, & \mbox{falls }y=\eta\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$ [/mm]

(3) Jede einelementige Teilmenge [mm] $\left\{\eta\right\}\subset [/mm] Y$ sei [mm] $\mathcal{B}$-meßbar. [/mm]



Ich bekomme es nicht ganz hin zu zeigen, daß dies tatsächlich ein Gegenbeispiel ist.


Kann mir dabei jemand helfen, bitte?


Zu (i):

[mm] $g(y,\eta)$ [/mm] ist in $y$ [mm] $\mathcal{B}$-meßbar, [/mm] denn:

[mm] $g^{-1}(0)=\left\{(y,\eta):y\neq \eta\right\}$ [/mm] und die erste Komponente all dieser Elemente liegt in [mm] $\mathcal{B}$, [/mm] da einelementige Teilmengen von $Y$ nach Voraussetzung [mm] $\mathcal{B}$-meßbar [/mm] sind.

Ebenso gilt dies für alle Elemente der Menge [mm] $g^{-1}(1)=\left\{(y,\eta):y=\eta\right\}$. [/mm]


Bleibt noch zu zeigen, daß

[mm] $\int_{T^{-1}B}g(T(x),\eta)\, dP=\int_{T^{-1}B}f(x,\eta)\, dP~\forall~B\in\mathcal{B}$. [/mm]

Das rechte Integral ist immer 0, da $f=0$.

Es ist also zu zeigen, daß

[mm] $\int_{T^{-1}B}g(T(x),\eta)\, dP=0~\forall~B\in\mathcal{B}$. [/mm]

Für den Fall, daß [mm] $T(x)=y\neq\eta$ [/mm] ist das klar, da dann [mm] $g(T(x),\eta)=0$. [/mm]

Aber was ist, wenn [mm] $T(x)=y=\eta$? [/mm]

Dann hat man

[mm] $\int_{T^{-1}B}1\, dP=\int_{T^{-1}B}\, [/mm] dP$

Ich komme nicht darauf, wieso dieses Integral 0 ist.



Sieht das jemand?



(ii) lasse ich daher erstmal weg.


Und noch eine Frage (so nebenbei):

Wieso wird dieses [mm] $g(y,\eta)$ [/mm] eigentlich zweidimensional eingeführt.
Wieso nicht einfach $g(y)$ als faktorisierte bedingte Erwartung von $f(x)$, gegeben $T(x)=y$?

        
Bezug
Substitution: Aussage verstanden?
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:15 Di 31.07.2012
Autor: dennis2

Aufgabe
Ich habe zu dem verlinkten Text mal zwei Skizzen zu (i) und (ii) gemacht. Und meine weiteren Gedanken aufgeschrieben.

Habe ich die Fragestellung richtig aufgefasst?




Anhang Nr. 1 soll die Situation bei (i) beschreiben.

Anhang Nr. 2 soll die Situation bei (ii) beschreiben.


Ich habe die Fragestellung nun so verstanden:


Folgt aus (i) immer (ii)?
Das heißt: Kann man die zweite Koordinate von $f(x,y)$ substituieren?

Schließlich hat man bei (i) (s. Skizze) die zweite Koordinate doch fixiert (und sie beliebig ausgesucht) und dann nicht weiter einbezogen bzw. verändert. Dann müsste man doch $T(x)$ durch $y$ ersetzen dürfen?! Denn $T(x)$ ist ja auch ein Element von $Y$.

Das heißt:

Kann man einfach in (i) setzen:

[mm] $\eta=T(x)=y$? [/mm]


Intuitiv würde man, wie gesagt, meinen, dass das i.O. ist.



Die Antwort muss jedoch lauten: NEIN, im Allgemeinen folgt aus (i) nicht (ii).



---------


Habe ich die Situation(en) in (i) und (ii) sowie die Fragestellung des Artikels richtig verstanden?



Viele liebe Grüße!

Dennis


PS. Danke für jede Mühe, ich bin im Moment nämlich ein bisschen unsicher und aufgeschmissen.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:43 Di 31.07.2012
Autor: dennis2

Das Doofe an meiner Frage ist, dass man erst den zweiseitigen Text anlesen muss. Sorry... ich hoffe, das geht okay.
Bezug
                
Bezug
Substitution: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Do 02.08.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Di 31.07.2012
Autor: blascowitz

Hallo,


> Hallo, ich habe hier einen 2-seitigen englischsprachigen
> Text über
>  
> []Substitution in bedingten Erwartungswerten
>  
>
> Dort ist relativ zu Beginn des Textes ein Gegenbeispiel
> dafür gegeben, daß aus (i) nicht (ii) folgt.
>  
> Die Annahmen dieses Beispiels sind:
>  
> (1) [mm]f=0[/mm]
>  
> (2) [mm]g(y,\eta)=\begin{cases}1, & \mbox{falls }y=\eta\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
>  
> (3) Jede einelementige Teilmenge [mm]\left\{\eta\right\}\subset Y[/mm]
> sei [mm]\mathcal{B}[/mm]-meßbar.
>  
>
>
> Ich bekomme es nicht ganz hin zu zeigen, daß dies
> tatsächlich ein Gegenbeispiel ist.
>  
>
> Kann mir dabei jemand helfen, bitte?
>  
> Zu (i):
>  
> [mm]g(y,\eta)[/mm] ist in [mm]y[/mm] [mm]\mathcal{B}[/mm]-meßbar, denn:
>  
> [mm]g^{-1}(0)=\left\{(y,\eta):y\neq \eta\right\}[/mm] und die erste
> Komponente all dieser Elemente liegt in [mm]\mathcal{B}[/mm], da
> einelementige Teilmengen von [mm]Y[/mm] nach Voraussetzung
> [mm]\mathcal{B}[/mm]-meßbar sind.
>  
> Ebenso gilt dies für alle Elemente der Menge
> [mm]g^{-1}(1)=\left\{(y,\eta):y=\eta\right\}[/mm].
>  
>
> Bleibt noch zu zeigen, daß
>  
> [mm]\int_{T^{-1}B}g(T(x),\eta)\, dP=\int_{T^{-1}B}f(x,\eta)\, dP~\forall~B\in\mathcal{B}[/mm].
>  
> Das rechte Integral ist immer 0, da [mm]f=0[/mm].
>  
> Es ist also zu zeigen, daß
>  
> [mm]\int_{T^{-1}B}g(T(x),\eta)\, dP=0~\forall~B\in\mathcal{B}[/mm].
>  
> Für den Fall, daß [mm]T(x)=y\neq\eta[/mm] ist das klar, da dann
> [mm]g(T(x),\eta)=0[/mm].
>  
> Aber was ist, wenn [mm]T(x)=y=\eta[/mm]?
>  
> Dann hat man
>  
> [mm]\int_{T^{-1}B}1\, dP=\int_{T^{-1}B}\, dP[/mm]
>  
> Ich komme nicht darauf, wieso dieses Integral 0 ist.
>  

in dem Paper steht außerdem drin, dass das induzierte Maß der Menge [mm] $\{ \eta \}$ [/mm] 0 ist. Es gilt also [mm] $P\left(x \in X \; \middle| \; T(x)=\eta\right)=0$(so [/mm] ist das denke ich gemeint, anders macht das für mich keinen Sinn).
Daraus folgt dann für beliebiges $B [mm] \in \mathcal{B}$: [/mm]
[mm] $\int\limits_{T^{-1}(B)} 1_{\{T(x)=y=\eta\}} \mathrm{d}P=P\left( \{x \in X \; \middle| \; T(x) \in B\} \cap \{x \in X \; | \; T(x)=\eta\} \right)=0$, [/mm]

weil eine Nullmenge in Schnitt mit eingeht. Soweit erstmal zur ersten Frage.  

>
>
> Sieht das jemand?
>  
>
>
> (ii) lasse ich daher erstmal weg.
>  
>

Nun zur zweiten Frage:


Zuerst sieht man, dass $g(y,y)=1$ ist für alle $y [mm] \in [/mm] Y$, somit ist die [mm] $\mathcal{B}$-messbarkeit [/mm] kein Problem.
Offenbar ist für beliebiges $ B [mm] \in \mathcal{B}$ [/mm]
[mm] $\int\limits_{T^{-1}(B)}f(x,T(x)) \; \mathrm{d}P=0$ [/mm]
wegen der Definition von $f$.

Allerdings ist
[mm] $\int\limits_{T^{-1}(Y)}g(T(x),T(x)) \; \mathrm{d}P=P\left(x \in X \; \middle| T(x) \in Y\right)=P(X)=1$, [/mm]

weil $P$ ein W-Maß ist.


> Und noch eine Frage (so nebenbei):
>  
> Wieso wird dieses [mm]g(y,\eta)[/mm] eigentlich zweidimensional
> eingeführt.
>  Wieso nicht einfach [mm]g(y)[/mm] als faktorisierte bedingte
> Erwartung von [mm]f(x)[/mm], gegeben [mm]T(x)=y[/mm]?

Viele Grüße
Blasco

Bezug
                
Bezug
Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:35 Di 31.07.2012
Autor: dennis2

Danke, das macht Sinn!

Auch, wenn ich nicht genau weiß, was man mit "impliziertes Maß" meint.




Bezug
                        
Bezug
Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:04 Di 31.07.2012
Autor: blascowitz

Hallo,

ich meinte das induzierte Maß.

Viele Grüße
Blasco

Bezug
                                
Bezug
Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:52 Di 31.07.2012
Autor: dennis2


> Hallo,
>  
> ich meinte das induzierte Maß.
>  


Achso, sorry, ich meinte auch das "induzierte Maß".

Nur weiß ich leider auch nicht genau, was damit allgemein gemeint ist.


Du hattest ja in Deiner Antwort schon etwas angedeutet, was das hier konkret bedeuten könnte:

Vermutlich ist mit dem induzierten Maß (ich nenne es mal [mm] $\mu$) [/mm] sowas gemeint:

[mm] $\mu(B)=P(T^{-1}(B)), B\in\mathcal{B}$ [/mm] und es soll nach Voraussetzung gelten

[mm] $\mu(\left\{\eta\right\})=0, \eta\in Y\mbox{ beliebig}$ [/mm]


Bezug
                                        
Bezug
Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:39 Mi 01.08.2012
Autor: blascowitz

Hallo,

genau so ist es.

Viele Grüße
Blasco

Bezug
                                                
Bezug
Substitution: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:26 Mi 01.08.2012
Autor: dennis2

Obwohl mir das Beispiel jetzt klar ist, ist mir nicht so wirklich klar geworden, was dieses Beispiel jetzt eigentlich zeigt...


Aus (i) folgt nicht (ii), okay. Aber was bedeutet denn das?


(Ich habe dazu ja diese Zeichnungen angefertigt und meine Gedanken aufgeschrieben. (s. noch offene Frage). Aber irgendwie werde ich daraus nicht so richtig schlau:

Was soll mir das alles sagen?!

Bezug
                                                        
Bezug
Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:36 Mi 01.08.2012
Autor: dennis2

Ich hoffe, dass so eine Frage wie "Was soll mir das sagen?" nicht zu allgemein ist, aber ich kann es irgendwie nicht konkreter fragen.

Bezug
                                                        
Bezug
Substitution: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:10 Do 02.08.2012
Autor: dennis2

Was ich nicht verstehe, ist Folgendes:

Normalerweise (also rein nach Definition) müsste doch [mm] $E(f(x,\eta)|T)$ $\sigma(T)$-meßbar [/mm] sein, also

[mm] $E(f(x,\eta)|T)\colon (X\times Y,\sigma(T))\to\mathbb{R}$ [/mm]


Aber das passt doch irgendwie nicht! Denn wenn [mm] $g(T(x),\eta)$ [/mm] diesen bedingten Erwartungswert darstellen soll (ich verstehe das so, daß g die faktorisierte bedingte Erwartung sein soll...), so muss doch gelten:

[mm] $E(f(x,\eta)|T)=g\circ [/mm] T$.

Aber das kommt nicht hin, denn laut Voraussetzung soll g doch auf [mm] $Y\times [/mm] Y$ definiert sein!


Deswegen habe ich mir überlegt, daß [mm] $E(f(x,\eta)|T)$ [/mm] doch eigentlich [mm] $\sigma(N)$-meßbar [/mm] sein müsste, wobei

[mm] $N\colon X\times Y\to Y\times [/mm] Y, [mm] (x,y)\mapsto [/mm] (T(x),y)$ ist.


Denn dann ist

[mm] $E(f(x,\eta)|T)=g\circ [/mm] N$, also

[mm] $(x,\eta)\mapsto (T(x),\eta)\mapsto g(T(x),\eta)$ [/mm]

Dann käme das hin (meines Erachtens), wenn g die faktorisierte bedingte Erwartung darstellen soll...



Aber wozu dieser ganze Umstand?!

Bezug
                                                                
Bezug
Substitution: vllt. so?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:06 Do 02.08.2012
Autor: dennis2

Vielleicht meinen die Autoren ja ausführlich:

[mm] $E(f(x,\eta)|N(x,\eta)=(y,\eta))$ [/mm] mit [mm] $N\colon X\times Y\to Y\times [/mm] Y, [mm] (x,\eta)\mapsto (T(x),\eta)$ [/mm]

und schreiben dafür nur in Worten:

"Erwartungswert von [mm] $f(x,\eta)$, [/mm] gegeben $T(x)=y$"?


Anders kann ich es mir einfach nicht erklären.

Bezug
                                                                        
Bezug
Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:47 Fr 03.08.2012
Autor: dennis2

Ist hier wirklich niemand, der mir mal eben sagen könnte, ob ich das richtig begriffen habe?


Kann ich gar nicht glauben.

Bezug
                                                                
Bezug
Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:52 Fr 03.08.2012
Autor: anon2


> Normalerweise (also rein nach Definition) müsste doch $ [mm] E(f(x,\eta)|T) [/mm] $ $ > > [mm] \sigma(T) [/mm] $-meßbar sein, also


Nein



> Aber das passt doch irgendwie nicht! Denn wenn $ [mm] g(T(x),\eta) [/mm] $ diesen > bedingten Erwartungswert darstellen soll (ich verstehe das so, daß g die > faktorisierte bedingte Erwartung sein soll...), so muss doch gelten:

Ja


> Aber das kommt nicht hin

Doch, du hast dir selber die Bedingung dafür definiert, benutze sie!!


> Deswegen habe ich mir überlegt, daß $ [mm] E(f(x,\eta)|T) [/mm] $ doch eigentlich $ [mm] \sigma(N) [/mm] $-meßbar sein müsste, wobei  

Nein

>Dann käme das hin (meines Erachtens), wenn g die faktorisierte bedingte Erwartung darstellen soll...

Nein

> Aber wozu dieser ganze Umstand?!  

Ja, warum bloss !!







Bezug
                                                                        
Bezug
Substitution: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:06 Fr 03.08.2012
Autor: dennis2

Könntest Du mir das bitte eklären?

Ich verstehe Deine "Neins" nicht.


Ist das vllt so zu verstehen:

Da [mm] $\eta\in [/mm] Y$ (bel.) fixiert ist, kann man das quasi so behandeln, als würde man nur den Erwartungswert von $f(x)$, gegeben $T(x)=y$ bestimmen müssen?


Und die Funktion [mm] $g\colon Y\times Y\to\mathbb{R}$ [/mm] hängt sozusagen nur noch die zweite Koordinate [mm] $\eta$ [/mm] wieder dran?---




Bezug
                                                                                
Bezug
Substitution: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 So 05.08.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                                        
Bezug
Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:28 So 05.08.2012
Autor: dennis2

Ich muss sagen, dass ich es ein bisschen ärgerlich finde, wenn jemand eine Antwort gibt und dann auf Rückfragen gar nicht mehr reagiert. ;(

Bezug
                                                                        
Bezug
Substitution: Also nochmal...
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:23 Mo 06.08.2012
Autor: dennis2

Aufgabe
Da ich noch immer auf eine Antwort warte, habe ich meine neuen Ideen nochmal besser aufgeschrieben.

Ich verlinke nochmal den Text, auf den ich mich beziehe:

[]Substitution in Conditional Expectation


Anscheinend habe ich da Einiges zu kompliziert aufgefasst.

Daher hier meine korrigierten Ideen:


g ist auf [mm] $Y\times [/mm] Y$ definiert. In der ersten Koordinate passiert das eigentlich Wesentliche, denn da steht im Grunde doch nichts Anderes als die faktorisierte bedingte Erwartung von $E(f(x)|T(x)=y)$. Deswegen muß g auch in der ersten Koordiante [mm] $\mathcal{B}$-meßbar [/mm] sein. Das ist vielleicht etwas ungünstig ausgedrückt. Ich versuche es, ein bisschen genauer zu formulieren: Im Grunde kommt es doch nur auf die Variable an und man hat für die faktorisierte bedingte Erwartung $E(f(x)|T(x)=y)=h(y)$, [mm] wenn$h\colon Y\to\mathbb{R}$ [/mm] eine [mm] $\mathcal{B}$-meßbare [/mm] Funktion ist.
Es ist aber ja nun irgendwie wünschenswert, auch die Konstante einzubeziehen, sodaß man gleich sehen kann, um welche Konstante es sich jeweils handelt. Schließlich stellt man ja später die Frage, ob man diese übergebene Konstante substituieren kann.
Deswegen verwenden die Autoren nicht die Funktion h, die $E(f(x)|T(x)=y)=h(y)$ und die [mm] $\mathcal{B}$-Meßbarkeit [/mm] erfüllt, sondern eben die Funktion g, die auf [mm] $Y\times [/mm] Y$ definiert ist und in der ersten Koordinate [mm] $\mathcal{B}$-meßbar. [/mm] Das kommt ja auf das Gleiche hinaus, die zweite Koordinate ist ja dann "nur" das konstante [mm] $\eta\in [/mm] Y$. Ob und wie die Funktion in der zweiten Koordinate irgendwie meßbar ist, spielt daher keine Rolle.
Das Entscheidende passiert aber, wie gesagt, in der ersten variablen Koordinate. Die zweite Koordinate hängt man sozusagen nur noch mit dran, damit man weiß, was gerade die Konstante ist, die man beliebig gewählt hat. Passieren tut da aber nichts Bedeutendes in der zweiten Koordinate von g.




Wer kann mir sagen, ob ich das wenigstens jetzt korrekt verstanden habe?


Bezug
                                                                                
Bezug
Substitution: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mi 08.08.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                                
Bezug
Substitution: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Mo 06.08.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                        
Bezug
Substitution: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Fr 03.08.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Substitution: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Mi 01.08.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]