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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Mo 08.07.2013 | | Autor: | Yves-85 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die begrenzt wird duch die positive x-Achse und dem Graphen von f.
Gegeben: [mm] f:y=x*\wurzel{a^2-x^2} [/mm] mit [mm] a\ge0
[/mm]
Hinweis: Verwenden Sie zur Bestimmung des Integrals die Substitution [mm] z=a^2 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] |
Hallo Leute, bei der Aufgabe komm ich mal garnicht vorwärts...
Hab halt die Substitution gemacht und hab dann: [mm] y=\int x*\wurzel{z}dx
[/mm]
Für dx eingesetzt: [mm] dx=\bruch{dz}{2a-2x}
[/mm]
Also folgt dann: [mm] y=\int x*\wurzel{z}\bruch{dz}{2a-2x}=\int \bruch{x\wurzel{z}}{2a-2x}dz
[/mm]
Wäre das bis dahin richtig? Nur weiss ich jetzt nicht mehr wirklich weiter was ich machen soll, a wird ja glaub ich als Konstante angesehen, aber hab nun trotzdem noch mein x mit in der Gleichung, welches doch eigentlich zu eliminieren ist, um die Gleichung zu vereinfachen und daraus dann eine Rücksubstitution gemacht wird.
Als Lösung soll rauskommen: [mm] A=\bruch{a^3}{3} [/mm] Integrationsgrenzen: x=0 und x=a)
Bin über jede Hilfe sehr dankbar.
Viele Grüße
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Hallo Yves!
Du hast falsch abgeleitet.
Es gilt: $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ -2*x$
$a_$ bzw. [mm] $a^2$ [/mm] wird wie eine Konstante behandelt und fällt hier beim Ableiten weg.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mo 08.07.2013 | | Autor: | Yves-85 |
Ach ja stimmt... vielen Dank.
Hab dann folgende Rechnung:
[mm] -\int x*\wurzel{z}*(-\bruch{dz}{2x}), [/mm] daraus folgt [mm] -\int (\bruch{x\wurzel{z}}{2x}), [/mm] x kann dann rausgekürzt werden, danach die Integration und Rücksubstitution mit den Integrationsgrenzen x=0 und x=a und ich bekomme: [mm] -\bruch{1}{2}*[(\bruch{2}{3}*(a^2-a^2)^\bruch{3}{2})-(\bruch{2}{3}*(a^2-0)^\bruch{3}{2})].
[/mm]
Der erste Term ist dann 0 und aus dem zweiten folgt [mm] \bruch{a^3}{3}. [/mm]
Ist doch korrekt gerechnet oder nicht?
Danke schonmal.
Grüße
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Hallo,
> Ach ja stimmt... vielen Dank.
>
> Hab dann folgende Rechnung:
>
> [mm]-\int x*\wurzel{z}*(-\bruch{dz}{2x}),[/mm] daraus folgt [mm]-\int (\bruch{x\wurzel{z}}{2x}),[/mm]
> x kann dann rausgekürzt werden, danach die Integration und
> Rücksubstitution mit den Integrationsgrenzen x=0 und x=a
> und ich bekomme:
> [mm]-\bruch{1}{2}*[(\bruch{2}{3}*(a^2-a^2)^\bruch{3}{2})-(\bruch{2}{3}*(a^2-0)^\bruch{3}{2})].[/mm]
>
> Der erste Term ist dann 0 und aus dem zweiten folgt
> [mm]\bruch{a^3}{3}.[/mm]
>
> Ist doch korrekt gerechnet oder nicht?
Bis auf ein Minuszeichen zuviel gleich am Anfang ist es richtig gerechnet, aber meiner Ansicht nach schlecht notiert.
Du könntest dir das Leben hier auch wesentlich vereinfachen, wenn du auf die Rücksubstitution verzeichten würdest und mit den substituierten Schranken
[mm] z_1=a^2
[/mm]
[mm] z_2=0
[/mm]
rechnen würdest.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Mo 08.07.2013 | | Autor: | Yves-85 |
Danke Diophant,
das erste Minuszeichen sollte auch garnicht dahin, da hab ich mich vertippt.
Werd es dann nochmal anders aufschreiben nach deinem Tipp, vielen Dank.
Gruß Yves
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