Substitution / Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Sa 30.09.2006 | | Autor: | sidney |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hab ein Problem mit diesem Integral
[mm] 2\pi\int_{0}^{\pi} sinx*\wurzel{1+cosx^2}\, [/mm] dx
wenn ich [mm] u=1+cosx^2 [/mm] substituiere ergeben sich ja neue grenzen richtig?
Die wären dann jeweils 2 und wenn man dann die obere minus untere grenze nimmt ist das Ergebnis des Integrals ja dann 0, aber Matheprog. und mein Taschenrechner bekommen 14.42 raus .
Hab ich irgentwo einen Denkfehler oder was übersehn?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Sa 30.09.2006 | | Autor: | mathwizard |
Würde mich auch interessieren, was die genaue Antwort ist hier.
Ich vermute es liegt daran, dass die Substitution nicht eindeutig ist.
Weil wenn man $u = [mm] cos(x)^2 [/mm] + 1$ nach x auflösen will, was man ja zwangsweise tun muss, gibt es zwei Lösungen, was aber nicht sein darf...
|
|
|
| |
|
Hi, sidney,
> Hab ein Problem mit diesem Integral
>
> [mm]2\pi\int_{0}^{\pi} sinx*\wurzel{1+cosx^2}\,[/mm] dx
>
> wenn ich [mm]u=1+cosx^2[/mm] substituiere ergeben sich ja neue
> grenzen richtig?
Kannst Du machen; kannst aber auch zunächst das unbestimmte Integral berechnen und anschließend "rücksubstituieren" - das mach' ich eigentlich immer so!
> Die wären dann jeweils 2
Das glaub' ich aber nicht!
[mm] cos(\pi^{2}) [/mm] ergibt doch nicht 1, sondern etwa -0,903!
Oh! Jetzt blick' ich erst durch! Mit [mm] cosx^{2} [/mm] meinst Du nicht [mm] cos(x^{2}), [/mm] sondern [mm] (cos(x))^{2} [/mm] = [mm] cos^{2}(x)! [/mm] Musst aber schon eindeutige Angaben machen!
Nun, dann liegt das Problem woanders:
Wenn Du die Substitution durchführst, wirst Du merken, dass Du auch den Term cos(x) im Integranden bekommst, den Du durch einen Ausdruck in der neuen Variablen u ersetzen musst:
cos(x) = [mm] \pm\wurzel{u - 1}
[/mm]
Und hier gilt nun das + für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi/2, [/mm]
das - für [mm] \pi/2 [/mm] < x [mm] \le \pi
[/mm]
Demnach musst Du die Integration bei [mm] \pi/2 [/mm] stückeln!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Sa 30.09.2006 | | Autor: | sidney |
Erstmal schon fettes Danke für die Antwort
erstmal hast du wegen der Ausdruckweise recht. Es muss nartülich $ [mm] (cos(x))^{2} [/mm] $ = $ [mm] cos^{2}(x)! [/mm] $ lauten.
Aber warum muss ich für cos(x) = $ [mm] \pm\wurzel{u - 1} [/mm] $ einsetzen?
Kann ich es nicht so machen:
[mm] \int_{0}^{\pi} sinx*\wurzel{u}\, [/mm] dx
[mm] u=1+cos^2(x)
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = -2*sinx*cosx
[mm] dx=\bruch{du}{-2*sinx * cosx} [/mm] und somit
[mm] \int_{}^{} sinx*\wurzel{u}\, \bruch{du}{-2*sinx * cosx} [/mm]
sin(x) lässt sich doch rauskürzen richtig? Und denn rest halt integrieren mit den neuen grenzen.
|
|
|
| |
|
Aber du musst das cos(x) im Nenner noch ersetzen durch irgend ein h(u) was eben zwei verschiedene Lösungen ergibt, und du somit das Integral aufspalten musst.
|
|
|
|
