Substitution & Partialbruchz. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Sa 28.01.2012 | | Autor: | matha |
| Aufgabe | [mm] \integral {\bruch{32e^t}{(e^2t -2e^t -3) (e^2t -2e^t + 5)} dt}
[/mm]
1.) Berechnen des Integrals unter Verwendung der Substitution x = [mm] e^t [/mm]
2.) Anschließend Berechnung durch Partialbruchzerlegung |
zu 1.)
Substitution:
x = [mm] e^t
[/mm]
[mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] = [mm] e^t
[/mm]
dt = [mm] \bruch{1}{e^t} [/mm] dx
dt = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] dx
[mm] \integral {\bruch{32x * \bruch{1}{x}}{(x^2 -2x -3) (x^2 -2x + 5)} dx}
[/mm]
[mm] \integral {\bruch{32}{(x^2 -2x -3) (x^2 -2x + 5)} dx}
[/mm]
zu 2.)
Nennergrad [mm] \ge [/mm] Zählergrad
Bestimmung Nenner-Nullstellen:
[mm] (x^2 [/mm] -2x [mm] -3)(x^2 [/mm] -2x + 5) = 0
[mm] (x^2 [/mm] -2x -3) = 0
[mm] x_{1} [/mm] = -1
[mm] x_{2} [/mm] = 3
[mm] (x^2 [/mm] -2x + 5) = 0
[mm] \not\in \IR
[/mm]
Paar komplexer NST
Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{32}{(x-3)(x+1)(x^2 -2x + 5)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(x-3)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{Cx + D}{(x^2 -2x + 5)} [/mm] | [mm] *(x-3)(x+1)(x^2 [/mm] -2x + 5)
32 = [mm] A*(x+1)(x^2 [/mm] -2x +5) + B ...
-------------------
Meine Fragen:
- Ist die Substitution richtig druchgeführt?
- Ist der Ansatz für die Partialbruchzerlegung richtig? (Bitte keine Verbesserungs- und/oder Lösungsvorschläge mit komplexen Ansätzen bzw. den beiden komplexen NST in der Partialbruchzerlegung!)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo matha,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\integral {\bruch{32e^t}{(e^2t -2e^t -3) (e^2t -2e^t + 5)} dt}[/mm]
>
> 1.) Berechnen des Integrals unter Verwendung der
> Substitution x = [mm]e^t[/mm]
> 2.) Anschließend Berechnung durch Partialbruchzerlegung
> zu 1.)
>
> Substitution:
>
> x = [mm]e^t[/mm]
>
> [mm]\bruch{dx}{dt}[/mm] = [mm]e^t[/mm]
>
> dt = [mm]\bruch{1}{e^t}[/mm] dx
>
> dt = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] dx
>
> [mm]\integral {\bruch{32x * \bruch{1}{x}}{(x^2 -2x -3) (x^2 -2x + 5)} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral {\bruch{32}{(x^2 -2x -3) (x^2 -2x + 5)} dx}[/mm]
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>
> zu 2.)
>
> Nennergrad [mm]\ge[/mm] Zählergrad
>
> Bestimmung Nenner-Nullstellen:
>
> [mm](x^2[/mm] -2x [mm]-3)(x^2[/mm] -2x + 5) = 0
>
> [mm](x^2[/mm] -2x -3) = 0
> [mm]x_{1}[/mm] = -1
> [mm]x_{2}[/mm] = 3
>
> [mm](x^2[/mm] -2x + 5) = 0
> [mm]\not\in \IR[/mm]
> Paar komplexer NST
>
>
> Partialbruchzerlegung:
>
> [mm]\bruch{32}{(x-3)(x+1)(x^2 -2x + 5)}[/mm] = [mm]\bruch{A}{(x-3)}[/mm] +
> [mm]\bruch{B}{(x+1)}[/mm] + [mm]\bruch{Cx + D}{(x^2 -2x + 5)}[/mm] |
> [mm]*(x-3)(x+1)(x^2[/mm] -2x + 5)
>
> 32 = [mm]A*(x+1)(x^2[/mm] -2x +5) + B ...
> -------------------
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>
> Meine Fragen:
>
> - Ist die Substitution richtig druchgeführt?
Ja.
> - Ist der Ansatz für die Partialbruchzerlegung richtig?
Ja.
> (Bitte keine Verbesserungs- und/oder Lösungsvorschläge
> mit komplexen Ansätzen bzw. den beiden komplexen NST in
> der Partialbruchzerlegung!)
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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