Substitution in der Schule < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
Es geht darum, [mm] $\int\dfrac{2x^3}{3x^2+4}dx$ [/mm] zu berechnen. Dazu haben wir [mm] $u=3x^2+4$ [/mm] gesetzt, dann ist [mm] $x^2=\dfrac{u-4}{3}$ [/mm] und [mm] $\dfrac{du}{dx}=6x$. [/mm] Dann haben wir gerechnet
[mm] $\int\dfrac{2x^3}{3x^2+4}dx=\int\dfrac{2x^3}{u}\dfrac{du}{6x}=\int\dfrac{x^2}{3u}du=\int\dfrac{u-4}{9u}du=\dfrac{1}{9}u-\dfrac{4}{9}\ln u=\dfrac{3x^2+4}{9}-\dfrac{4}{9}\ln(3x^2+4)$.
[/mm]
Auf Wikipedia (oder in meinen Analysis-Büchern) steht für die Substitutionsregel [mm] $\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$, [/mm] und diese Formel zu benutzen leuchtet mir auch viel mehr ein, als das hin- und hermultiplizieren der dx's und du's, wie wir das tun. Meine Frage ist, welche Funktion [mm] $\varphi$ [/mm] wir hier jetzt betrachten müssten, um auf dieses Ergebnis zu kommen. Ich verstehe nicht genau, in wiefern der Löusngsweg der Schule hierzu äquivalent ist (genau genommen verstehe ich gar nicht, wieso man so rechnen darf wie wir das tun).
Was mein Amann-Escher Studium angeht, bin ich leider erst demnächst mit dem Einführungskapitel durch, und komme wohl nicht mehr dazu bis zum Abi substantielle Universitäts-Analysis-Kenntnisse zu erlangen.
Vielen Dank und Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mi 14.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> Hi,
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> Es geht darum, [mm]\int\dfrac{2x^3}{3x^2+4}dx[/mm] zu berechnen.
> Dazu haben wir [mm]u=3x^2+4[/mm] gesetzt, dann ist
> [mm]x^2=\dfrac{u-4}{3}[/mm] und [mm]\dfrac{du}{dx}=6x[/mm]. Dann haben wir
> gerechnet
>
> [mm]\int\dfrac{2x^3}{3x^2+4}dx=\int\dfrac{2x^3}{u}\dfrac{du}{6x}=\int\dfrac{x^2}{3u}du=\int\dfrac{u-4}{9u}du=\dfrac{1}{9}u-\dfrac{4}{9}\ln u=\dfrac{3x^2+4}{9}-\dfrac{4}{9}\ln(3x^2+4)[/mm].
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> Auf Wikipedia (oder in meinen Analysis-Büchern) steht für
> die Substitutionsregel [mm]\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt[/mm],
> und diese Formel zu benutzen leuchtet mir auch viel mehr
> ein, als das hin- und hermultiplizieren der dx's und du's,
> wie wir das tun.
Damit outest Du Dich als Mathematiker. Ingeniuere und Physiker lieben dx und du.
> Meine Frage ist, welche Funktion [mm]\varphi[/mm]
> wir hier jetzt betrachten müssten, um auf dieses Ergebnis
> zu kommen. Ich verstehe nicht genau, in wiefern der
> Löusngsweg der Schule hierzu äquivalent ist (genau
> genommen verstehe ich gar nicht, wieso man so rechnen darf
> wie wir das tun).
Du kommst so zum Ziel: das dt muss dem du entsprechen.
[mm]\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\int f(\varphi(u))\varphi'(u)du[/mm]
Nun kannst Du aus [mm]u=3x^2+4[/mm] die Umkehrfunktion [mm] $x=\varphi(u)$ [/mm] berechnen und dann ableiten und alles einsetzen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Mi 14.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo UniOb,
> Hi,
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> Es geht darum, [mm]\int\dfrac{2x^3}{3x^2+4}dx[/mm] zu berechnen.
> Dazu haben wir [mm]u=3x^2+4[/mm] gesetzt, dann ist
> [mm]x^2=\dfrac{u-4}{3}[/mm] und [mm]\dfrac{du}{dx}=6x[/mm]. Dann haben wir
> gerechnet
>
> [mm]\int\dfrac{2x^3}{3x^2+4}dx=\int\dfrac{2x^3}{u}\dfrac{du}{6x}=\int\dfrac{x^2}{3u}du=\int\dfrac{u-4}{9u}du=\dfrac{1}{9}u-\dfrac{4}{9}\ln u=\dfrac{3x^2+4}{9}-\dfrac{4}{9}\ln(3x^2+4)[/mm].
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> Auf Wikipedia (oder in meinen Analysis-Büchern) steht für
> die Substitutionsregel [mm]\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt[/mm],
> und diese Formel zu benutzen leuchtet mir auch viel mehr
> ein, als das hin- und hermultiplizieren der dx's und du's,
> wie wir das tun. Meine Frage ist, welche Funktion [mm]\varphi[/mm]
> wir hier jetzt betrachten müssten, um auf dieses Ergebnis
> zu kommen. Ich verstehe nicht genau, in wiefern der
> Löusngsweg der Schule hierzu äquivalent ist (genau
> genommen verstehe ich gar nicht, wieso man so rechnen darf
> wie wir das tun).
>
> Was mein Amann-Escher Studium angeht, bin ich leider erst
> demnächst mit dem Einführungskapitel durch, und komme
> wohl nicht mehr dazu bis zum Abi substantielle
> Universitäts-Analysis-Kenntnisse zu erlangen.
es wurde ja schon gesagt, was da gemacht wurde. Nur mal noch rein
formal:
Setze mal
[mm] $x=\varphi(t)$
[/mm]
ein. Dann geht
[mm] $\int [/mm] f(x)dx$
wegen [mm] $dx=d\varphi=\varphi'(t)dt\,$ [/mm] (solch' eine Gleichung kann man formal mit
Methoden der Maßtheorie [Stichwort "Dichtefunktion"] beweisen) über in
[mm] $\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt\,.$
[/mm]
Physiker und Ingenieure machen das meist lieber, indem sie sagen, dass
[mm] $x\,$ [/mm] auch eine Zeitabhängigkeit haben möge und daher notiert werden
kann als
[mm] $x=x(t)\,.$
[/mm]
Praktisch ist das das Gleiche.
Das nur als *Formelmotivation*. So erklärt sich Dir sicher auch, warum
[mm] $\int_a^b [/mm] f(x)dx$
dann in
[mm] $\int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} [/mm] (f [mm] \circ \varphi)(t)*\varphi'(t)dt$
[/mm]
übergeht (hier brauche ich natürlich gewisse Voraussetzungen an [mm] $\varphi$) [/mm] - in
Wikipedia steht das auch ein bisschen anders (wegen schwächeren
Voraussetzungen sicherlich).
Oben schreibe ich mal [mm] $t\,$ [/mm] anstatt [mm] $u\,.$ [/mm] Witzig ist dabei, dass das *lasche
Rechnen* mit den Differentialen - wie gewohnt - oft einfach gemacht
werden darf.
Oben wäre etwa
[mm] $t=t(x)=3x^2+4\,.$
[/mm]
Diese Funktion $t [mm] \colon [0,\infty) \to [4,\infty)$ [/mm] ist bijektiv, wir berechnen die Umkehrfunktion,
sie möge (in unverschämter Weise) [mm] $x\,$ [/mm] heißen:
[mm] $x=x(t)=\sqrt{(t-4)/3}\,.$
[/mm]
Das könntest Du jetzt auch einsetzen, und dafür solltest Du auch noch
$x'(t)$ ausrechnen...
Jetzt der Clou: Kennst Du die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion?
Falls nicht: Man kann sie formal *wie gewohnt* "herleiten" - auch, wenn
diese Rechnung eher *ein Merksatz* denn ein Beweis ist:
$y=f(x)$ und [mm] $x=f^{-1}(y)\,.$
[/mm]
Dann ist
[mm] $dy=f\,'(x)dx$ [/mm]
und damit
[mm] $\frac{df^{-1}(y)}{dy}=\frac{dx}{dy}=\frac{dx}{f\,'(x)dx}=\frac{1}{f\,'(x)}=\frac{1}{f\,'(f^{-1}(y))}\,.$
[/mm]
Das ist interessant und geht auch in Eurer Rechnung ein (schau' mal genau
hin, an welcher Stelle).
Nun aber zum *Kernstück*:
Begründung der Vorgehensweise Eures Lehrers:
Ihr habt
[mm] $\int [/mm] f(x)dx$
zu berechnen. Jetzt macht Euer Lehrer den Ansatz (in seiner Notation):
[mm] $x=\varphi^{-1}(u)\,,$
[/mm]
wobei er [mm] $u\,$ [/mm] bzw. damit [mm] $\varphi$ [/mm] vorgibt [mm] ($u=\varphi(x)=3x^2+4$). [/mm] Das setzen
wir einfach mal ein:
[mm] $\int f(x)dx=\int [/mm] (f [mm] \circ \varphi^{-1})(u) d(\varphi^{-1}(u))\,.$
[/mm]
Nun haben wir aber oben gesehen, dass
[mm] $d(\varphi^{-1}(u))/du=\frac{1}{\varphi'(x)}=\frac{1}{\varphi'(\varphi^{-1}(u))}$
[/mm]
gilt. Daher:
[mm] $\int f(x)dx=\int [/mm] (f [mm] \circ \varphi^{-1})(u)d(\varphi^{-1}(u))=\int [/mm] (f [mm] \circ \varphi^{-1})(u)*\frac{1}{\varphi'(\varphi^{-1}(u))}du=\int f(\varphi^{-1}(u))*\frac{1}{\varphi'(\varphi^{-1}(u))}du$
[/mm]
Diese Formel hat dann im Endeffekt Dein Lehrer angewendet. Vielleicht
prüfst Du sie aber mal mit obigem Beispiel nochmal nach.
Ich schau' aber auch nochmal in meinen Unterlagen, denn vor ca. 3 Jahren
habe ich, weil ich das in der Praxis eigentlich immer so sehe, wie Du es
hier demonstrierst, mir das auch schonmal zusammengeschrieben - glaube
ich jedenfalls. Wobei ich da, soweit ich mich erinnere, die Differentiation
nur mit Differentialen (Notation wie bei Leibniz) *lasch* gerechnet hatte.
Also im Prinzip quasi wie oben, nur, glaube ich, hatte ich das Ganze da
sogar *noch etwas lascher* notiert.
Gruß,
Marcel
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Hallo,
ich danke euch beiden! Ich denke ein bisschen klarer ist es mir geworden. Ich habe insbesondere nachgerechnet, dass die Formel
> $ [mm] \int f(x)dx=\int [/mm] (f [mm] \circ \varphi^{-1})(u)d(\varphi^{-1}(u))=\int [/mm] (f [mm] \circ \varphi^{-1})(u)\cdot{}\frac{1}{\varphi'(\varphi^{-1}(u))}du=\int f(\varphi^{-1}(u))\cdot{}\frac{1}{\varphi'(\varphi^{-1}(u))}du [/mm] $
zum Ergebnis führt. Ich werde mal noch ein paar Beispiele mit dieser notationellen Methode durchrechnen.
Immerhin gibt mir das ganze Motivation endlich mal mit der Uni-Analysis weiterzumachen 
Eventuell werde ich noch einmal was nachfragen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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