Substitution mit sinh, cosh... < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:28 Fr 28.05.2010 | | Autor: | sherezed |
Hallo,
ich möchte eine Stammfunktion von
[mm] \integral {\wurzel{x*x+1} dx}
[/mm]
bestimmen.
Ich kann mich erinnern, dass hierbei Substitution mit sinh, cosh etc. häufig zielführend ist, stehe aber ein wenig auf dem Schlauch, wofür es substituiert werden soll.
Durch googlen bin ich auf einen Ansatz gestoßen:
[mm] \integral {\wurzel{(x^2+1)} dx}=x*\wurzel(x^2+1)-\integral{(x^2/\wurzel(x^2+1) dx}
[/mm]
Hier verstehe ich aber das zweite Glied [mm] -\integral{(x^2/\wurzel(x^2+1) dx} [/mm] nicht, wo kommt es her?
Wenn mir also jemand den gefundenen Ansatz plausibel machen könnte UND vor allem mir sagen kann, wie ich substituieren muss (das Weiterrechnen mache ich schon selber ;) ) wäre ich äußerst dankbar.
Vielen, vielen Dank im Voraus. (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo, beginne mit dem Einstieg
x:=sinh(z)
[mm] \bruch{dx}{dz}=cosh(z)
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:59 Fr 28.05.2010 | | Autor: | sherezed |
Ok, und dann?
Habe ja dann [mm] \integral {\wurzel{(sinh (z))^{2}+1}*cosh(z) dx}. [/mm] Könnte maximal noch cosh unter die Wurzel ziehen, aber auch da kommt doch nichts schönes wie sinh*2+cosh*2 o.ä heraus, was also nun?
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Hallo,
1. Hinweis: es steht jetzt dz
2. Hinweis: es gilt [mm] cosh^{2}(z)-sinh^{2}(z)=1
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:11 Fr 28.05.2010 | | Autor: | sherezed |
Ouch, sorry. Habs auch gerade gemerkt. Wow, Schlafprobleme wirken sich echt ungünstig aus...
Ich habe also jetzt [mm] \integral {(cosh(z))^2 dz}, [/mm] oder evtl. [mm] 0.5*\integral{(cosh (2z) +1) dz}. [/mm] Letzteres Integral kann "aufgeteilt" werden, aber dann ist ja immer noch [mm] \integral [/mm] {(cosh(2z) dz} ein Problem.
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Hallo, benutze [mm] \integral_{}^{}{cosh(z)*cosh(z) dz}, [/mm] jetzt führt partielle Integration zum Ziel, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:19 Fr 28.05.2010 | | Autor: | sherezed |
Ok, danke.
Wenn ich jetzt (zwei mal) partiell integriere, bekomme ich aber 0=0 ...?
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Hallo,
> Ok, danke.
> Wenn ich jetzt (zwei mal) partiell integriere, bekomme ich
> aber 0=0 ...?
Nein, rechne vor, was du machst.
Noch ein Hinweis zum Einsteigen:
Es ist [mm] $\sinh'(z)=\cosh(z)$ [/mm] und [mm] $\cosh'(z)=\sinh(z)$
[/mm]
Damit:
[mm] $\int{\cosh(z)\cdot{}\cosh(z) \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \sinh(z)\cdot{}\cosh(z) [/mm] \ - \ [mm] \int{\sinh^2(z) \ dz}$
[/mm]
Nun benutze für das Integral [mm] $\int{\sinh^2(z) \ dz}$ [/mm] wieder die Identität aus dem post von Steffi (2.Hinweis) ...
Dann kannst du schlussendlich nach dem Integral [mm] $\int{\cosh^2(z) \ dz}$ [/mm] umstellen und danach auflösen ...
Schreib's einfach mal hin und poste hier mal deine weitere Rechnung ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:33 Fr 28.05.2010 | | Autor: | sherezed |
Naja, wenn ich noch mal part. Integriere, komme ich auf [mm] \int{\cosh(z)\cdot{}\cosh(z) \ dz} [/mm] = [mm] \sinh(z)\cdot{}\cosh(z) [/mm] - [mm] \\sinh(z)\cosh(z) [/mm] + [mm] \int{\cosh^2(z) \ dz} [/mm]
und daher 0=0...
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> Naja, wenn ich noch mal part. Integriere
Was soll ich dazu sagen???
Wozu schreibe ich dir ne Antwort, wenn du sie nicht liest.
Ich hatte doch geschrieben, was du mit dem verbleibenden Integral machen sollst.
Steht da was von partiell integrieren?
Echt, wenn du keine Hilfe annehmen willst, lohnt sich die Mühe nicht.
Meine Güte, sowas macht mich echt sauer ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
> , komme ich auf
> [mm]\int{\cosh(z)\cdot{}\cosh(z) \ dz}[/mm] =
> [mm]\sinh(z)\cdot{}\cosh(z)[/mm] - [mm]\\sinh(z)\cosh(z)[/mm] +
> [mm]\int{\cosh^2(z) \ dz}[/mm]
> und daher 0=0...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:43 Fr 28.05.2010 | | Autor: | sherezed |
Oh mann, tut mir wirklich leid, ich bin heute nicht voll auf der Höhe... ich weiß, was du meinst.
(Bitte nicht sauer sein, war keine Absicht oder Sturheit meinerseits.)
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Hallo, du hast den Hinweis von schachuzipus nicht beachtet
[mm] \integral_{}^{}{cosh^{2}(z) dz}=sinh(z)*cosh(z)-\integral_{}^{}{sinh^{2}(z) dz}
[/mm]
du hast jetzt [mm] \integral_{}^{}{sinh^{2}(z) dz} [/mm] partiell integriert, ersetze [mm] sinh^{2}(z)=cosh^{2}(z)-1
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{cosh^{2}(z) dz}=sinh(z)*cosh(z)-\integral_{}^{}{cosh^{2}(z)-1 dz}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{cosh^{2}(z) dz}=sinh(z)*cosh(z)-\integral_{}^{}{cosh^{2}(z) dz}+\integral_{}^{}{1 dz}
[/mm]
[mm] 2\integral_{}^{}{cosh^{2}(z) dz}=sinh(z)*cosh(z)+\integral_{}^{}{1 dz}
[/mm]
[mm] 2\integral_{}^{}{cosh^{2}(z) dz}=sinh(z)*cosh(z)+z+C
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{cosh^{2}(z) dz}=\bruch{1}{2}(sinh(z)*cosh(z)+z+C)
[/mm]
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Fr 28.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich möchte eine Stammfunktion von
> [mm]\integral {\wurzel{x*x+1} dx}[/mm]
> bestimmen.
> Ich kann mich erinnern, dass hierbei Substitution mit
> sinh, cosh etc. häufig zielführend ist, stehe aber ein
> wenig auf dem Schlauch, wofür es substituiert werden
> soll.
> Durch googlen bin ich auf einen Ansatz gestoßen:
> [mm]\integral {\wurzel{(x^2+1)} dx}=x*\wurzel(x^2+1)-\integral{(x^2/\wurzel(x^2+1) dx}[/mm]
>
> Hier verstehe ich aber das zweite Glied
> [mm]-\integral{(x^2/\wurzel(x^2+1) dx}[/mm] nicht, wo kommt es her?
$ [mm] \integral {\wurzel{x^2+1} dx} [/mm] = [mm] \integral 1*{\wurzel{x^2+1} dx} [/mm] $
Jetzt partielle Integration
FRED
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> Wenn mir also jemand den gefundenen Ansatz plausibel machen
> könnte UND vor allem mir sagen kann, wie ich substituieren
> muss (das Weiterrechnen mache ich schon selber ;) ) wäre
> ich äußerst dankbar.
> Vielen, vielen Dank im Voraus. (Ich habe diese Frage in
> keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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