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Forum "Integralrechnung" - Substitution oder nicht
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Substitution oder nicht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Mo 30.11.2020
Autor: hase-hh

Aufgabe
Bestimmen Sie das folgende Integral

[mm] \integral_{1}^{3}{((x^2-1)^2 -1) dx} [/mm]

Moin Moin,

zunächst könnte ich das Integral bestimmen, indem ich die binomische Formel ausmultipliziere, zusammenfasse und dann die Stammfunktion bilde.

[mm] \integral_{1}^{3}{(x^4 -2*x^2 +1 -1) dx} [/mm]

= [mm] \integral_{1}^{3}{(x^4 -2*x^2) dx} [/mm]

= [ [mm] \bruch{1}{5}*x^5 -\bruch{2}{3}*x^3 [/mm] ]

= F(3) - F(1)



Meine Frage:  Könnte man nicht auch, da es sich um eine verkettete Funktion
handelt, mithilfe einer Substitution ansetzen?

Oder geht das hier gar nicht??? Und wenn nicht, warum nicht?



[mm] \integral_{1}^{3}{((x^2-1)^2 -1) dx} [/mm]  =

[mm] \integral_{1}^{3}{((x^2-1)^2) dx} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{3}{1 dx} [/mm]


Ich beziehe mich im Folgenden auf den ersten Summanden.


u = [mm] x^2 [/mm] -1

u ' = 2x     [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = 2x  

dx = [mm] \bruch{du}{2x} [/mm]


[mm] \integral_{1}^{3}{u^2*\bruch{du}{2x}} [/mm]


???


Danke & Gruß









        
Bezug
Substitution oder nicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:14 Di 01.12.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

bevor ich deine Frage etwas ausführlicher beantworte, erst mal ein paar Korrekturen zu deinem Posting:

> = [mm]\integral_{1}^{3}{(x^4 -2*x^2) dx}[/mm]
>  
> = [ [mm]\bruch{1}{5}*x^5 -\bruch{2}{3}*x^3[/mm] ]

Hier fehlen die Grenzen

> u = [mm]x^2[/mm] -1
> u ' = 2x     [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = 2x  
> dx = [mm]\bruch{du}{2x}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{1}^{3}{u^2*\bruch{du}{2x}}[/mm]

Das geht so nicht. Wenn du substituierst, darf nach der Substitution keine Abhängigkeit von x mehr vorliegen. Außerdem hast du vergessen, die Grenzen anzupassen.
Du hasst ja $u = [mm] x^2 [/mm] - 1 [mm] \gdw [/mm] x = [mm] \sqrt{u+1}$ [/mm] substituiert.
Damit ist $dx = [mm] \bruch{du}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{du}{2\sqrt{u+1}}$ [/mm] und es ergäbe sich fürs Integral  [mm]\integral_{0}^{8}{u^2*\bruch{du}{2\sqrt{u+1}}}[/mm]
Aber ob das jetzt einfacher zu lösen ist…

Dir muss aber klar sein, dass diese Verfahrensweise nur eine "Quick-and-Dirty"-Methode ist.
Man kann sie zwar immer verwenden, muss sich aber überlegen, ob man überhaupt substituieren darf.
Ein einfaches Gegenbeispiel wäre das Integral [mm] $\int_{-1}^1 x^4 [/mm] dx$
Offensichtlich ist [mm]\int_{-1}^1 x^4 dx > 0[/mm], wenden wir aber nun stupide obige Methode an und substituieren [mm]u = x^2[/mm] so erhalten wir analog zu deinen obigen Umformungen [mm] $\int_{-1}^1 x^4 [/mm] dx = [mm] \int_{-1}^1 u^\frac{3}{2} [/mm] du = 0$, was offensichtlich falsch ist.

Und damit kommen wir zu deiner Ausgangsfrage:

> Meine Frage:  Könnte man nicht auch, da es sich um eine verkettete Funktion
> handelt, mithilfe einer Substitution ansetzen?
>  
> Oder geht das hier gar nicht??? Und wenn nicht, warum nicht?

Die Substitutionsregel hat die Form [mm] $\int _{{a}}^{{b}}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\,{\mathrm {d}}t=\int _{{\varphi (a)}}^{{\varphi (b)}}f(x)\,{\mathrm {d}}x$ [/mm] wobei $f:I [mm] \to \IR$ [/mm] ist eine stetige Funktion und [mm] $\varphi: [/mm] [a,b] [mm] \to [/mm] I$ stetig differenzierbar ist.

D.h. möchten wir die Substitution durchführen, müssen wir immer solche Funktionen $f$ und [mm] $\varphi$ [/mm] finden, so dass unser Integrand die Form [mm] $f(\varphi (t))\cdot \varphi [/mm] '(t)$ hat.
Wie du jetzt siehst, reicht allein eine verkette Funktion im Integranden dafür nicht aus. Es muss zusätzlich noch ein Faktor [mm] $\varphi [/mm] '(t)$ vorkommen.

Möchtest du in deinem Fall also konkret substituieren, musst du sicherstellen, dass es Funktionen gibt, so dass [mm] $f(\varphi (t))\cdot \varphi [/mm] '(t) = [mm] (t^2 [/mm] - [mm] 1)^2$ [/mm] gilt.

Du möchtest nun die Substitution [mm] $\varphi(t) [/mm] = [mm] t^2 [/mm] - 1$ durchführen, damit ist dein [mm] $\varphi$ [/mm] fixiert und das Ausgangsproblem "vereinfacht" sich zu zur Frage: Gibt es ein $f$ so dass [mm] $f(t^2 [/mm] - [mm] 1)\cdot [/mm] 2t = [mm] (t^2 [/mm] - [mm] 1)^2$ [/mm] gilt?

Die Idee, wie dieses $f$ nun aussehen muss, haben wir bereits durch unsere "Quick-and-Dirty"-Methode bekommen. Denn der neue Integrand dort hatte ja dann die Form: [mm] $\frac{u^2}{2\sqrt{u+1}}$ [/mm]
Es liegt also nahe: $f(t) = [mm] \frac{t^2}{2\sqrt{t+1}}$ [/mm] zu wählen.
Ein einfaches Nachrechnen zeigt nun, dass die so gewählten $f$ und [mm] $\varphi$ [/mm] unseren Bedingungen genügen und unsere Substitution damit zulässig war.

Aber ob sie uns was nützt, darüber sagt die Substitutionsregel nichts aus.
Das  entstehende Integral kann beliebig komplizierter sein.

Die Substitutionen sind übrigens nicht eindeutig, d.h. auch mit anderen $f$ und [mm] $\varphi$ [/mm] kannst du eine Substitution finden…

In diesem Sinne,
Gono

Bezug
                
Bezug
Substitution oder nicht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:12 Di 01.12.2020
Autor: hase-hh

Moin,

> Hiho,
>  
> bevor ich deine Frage etwas ausführlicher beantworte, erst
> mal ein paar Korrekturen zu deinem Posting:
>  > = [mm]\integral_{1}^{3}{(x^4 -2*x^2) dx}[/mm]

>  >  
> > = [ [mm]\bruch{1}{5}*x^5 -\bruch{2}{3}*x^3[/mm] ]
>  Hier fehlen die Grenzen

stimmt.

> > u = [mm]x^2[/mm] -1
>  > u ' = 2x     [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = 2x  

> > dx = [mm]\bruch{du}{2x}[/mm]
>  >  
> > [mm]\integral_{1}^{3}{u^2*\bruch{du}{2x}}[/mm]
>  Das geht so nicht. Wenn du substituierst, darf nach der
> Substitution keine Abhängigkeit von x mehr vorliegen.

Deswegen meine Frage!

> Außerdem hast du vergessen, die Grenzen anzupassen.

stimmt, mein Fehler.

>  Du hasst ja [mm]u = x^2 - 1 \gdw x = \sqrt{u+1}[/mm] substituiert.
>  Damit ist [mm]dx = \bruch{du}{2x} = \bruch{du}{2\sqrt{u+1}}[/mm]
> und es ergäbe sich fürs Integral  
> [mm]\integral_{0}^{8}{u^2*\bruch{du}{2\sqrt{u+1}}}[/mm]
>  Aber ob das jetzt einfacher zu lösen ist…

Das habe ich auch schon gedacht... Also, dass ich u = [mm] x^2 [/mm] - 1  nach x auflöse und dann einsetze...

Ich komme zu dem Schluss: prinzipiell machbar, aber deutlich komplizierter als die erste Variante.


Vielen Dank!

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