Substitution oder nicht? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] (1+2x^{2})y'+4xy=6x^{3} [/mm] |
Da ich in letzter Zeit viel mit Substitutionen zu tun hatte, seh ich momentan den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr. Ich beschäftige mich mit der obigen Gleichung.
Ist es nötig hier zu substituieren?
Oder soll ich einfach die homogene bzw. inhomogene Lösung berechnen?
Wenn ich [mm] (1+2x^{2})y'+4xy [/mm] null setze, dh. [mm] (1+2x^{2})y'+4xy=0, [/mm] dann erhalte ich ja [mm] \bruch{y'}{y}=\bruch{-4x}{1+2x^{2}} [/mm] u.s.w. Richtiger Weg oder Holzweg?
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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Also ich meine es müsste mit Separation der Variablen gehen, so wie du schon geschrieben hast:
$ [mm] \bruch{y'}{y}=\bruch{-4x}{1+2x^{2}} [/mm] $
Seh keine Möglichkeit etwas sinvoll zu ersetzen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Di 12.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh nicht, wieso dein Weg falsch sein sollte, aber länglich mit [mm] z=(1+2x^2)*y [/mm] wirds dagegen ne superprimitive Dgl.
Gruss leduart
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Hey Leduart,
ist [mm] z=(1+2x^2)\cdot{}y [/mm] eine göttliche Eingebung oder steckt da ein System dahinter? Ich habe nämlich eine Zeit lang versucht, eine passende Substitution zu finden - vergebens.
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Di 12.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab die 4xy gesehen, und das als halbe Ableitung von [mm] (1+x^2)*y [/mm] erkannt, die andere Hälfte sowieso [mm] (1+x^2)*y'
[/mm]
Gruss leduart
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Okay, das ist verständlich.
Ich hab nun versucht, die DGL ohne Substitution zu lösen. Das geht ja gar nicht. Als homogene "allgemeine" Lösung erhalte ich: [mm] y_{H}(x)=\bruch{C}{2x^{2}+1}. [/mm]
Nun setze ich in die DGL [mm] (1+2x^{2})y'+4xy=6x^{3} [/mm] das Ergebnis von [mm] y_{H}(x) [/mm] ein bzw. die Ableitung davon. Wenn ich das mach, dann ergibt das aber [mm] 0=6x^{3}. [/mm] Heißt das nun, dass es keine spezielle Lösung gibt?
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Di 12.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du die Lösung der homogenen Dgl einstzt MUSS sich doch 0 ergeben, sonst wärs keine Lösg.
wolltest du Variation der Konstanten machen? dann ist c=c(x) und du musst natürlich auch c differenzieren und bekommst ne Dgl für C! Du kannst für eine part. Lösung der inhomogenen mal [mm] y=Ax^2+B [/mm] probieren, einsetzen und A und B durch koeffizientenvergleich bestimmen.
Gruss leduart
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Okay, ich hab mir das folgend vorgestellt:
[mm] (1+2x^{2})y'+4xy=6x^{3}
[/mm]
[mm] y=\bruch{C(x)}{2x^{2}+1}
[/mm]
[mm] y'=\bruch{-C(x)*4x}{(2x^{2}+1)^{2}}
[/mm]
[mm] 6x^{3}=\bruch{-(1+2x^{2})C(x)4x}{(1+2x^{2})^{2}}+\bruch{C(x)4x}{(1+2x^{2})}
[/mm]
Hier kann ich noch C(x) herausheben, dann hab ich halt [mm] 6x^{3}=C(x)*\bruch{4x-4x}{1+2x^{2}}=0
[/mm]
DH
[mm] 6x^{3}=0*C(x)
[/mm]
Da hilft doch das Integrieren auch nicht mehr, oder?
Gruß, h.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Di 12.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo hannes
> Okay, ich hab mir das folgend vorgestellt:
>
> [mm](1+2x^{2})y'+4xy=6x^{3}[/mm]
>
> [mm]y=\bruch{C(x)}{2x^{2}+1}[/mm]
> [mm]y'=\bruch{-C(x)*4x}{(2x^{2}+1)^{2}}[/mm]
falsch! du musst doch auch C ableiten! Wenn du schon wüsstest, dass es etwa [mm] k*x^2 [/mm] wär tätest du das doch auch!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Di 12.06.2007 | | Autor: | Braunstein |
Verflixt! *tilt*
Immer überseh ich solch Kleinigkeiten.
Natürlich, es heißt ja nicht umsonst C(x)!
Danke. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Di 12.06.2007 | | Autor: | Braunstein |
Ja, Variation der Konstanten.
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