Substitution x=sinh(z) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe | [mm] \integral{\wurzel{1+x^2} dx}
[/mm]
Hinweis:
x=sinh(z) |
Hallo allerseits!
Ich weiß ja das ihr diese Aufgabe sicher schon oft gestellt bekommen habt, trotzdem möchte ich nochmal fragen wie diese Substitution funktioniert. Kapier das echt nicht alaine....Würde mich sehr über eine Erklärung freuen.
x=sinh(z)
Schon hier wundere ich mich: Warum steht nicht z=.....sondern x=......
Könnte man das nicht so umschreiben: z=arsinh(x)
Wie leitet man das dann ab?
Bei:
z=arsinh(x)
[mm] z'=\bruch{1}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
[mm] z'=\bruch{dz}{dx}=......
[/mm]
Wie geht das dann weiter bzw. was bringt diese Substitution überhaupt?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
Angelika
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Hallo Will!
Danke für die Hilfe!
Ich glaub ich versteh jetzt zu was die Substitution gut ist.
Aber hier wird doch so Abgeleitet ,oder?:
[mm] x'=\bruch{dx}{du}=cosh(u)
[/mm]
Es wird doch nicht u' sondern x' ermittelt, also auch [mm] \bruch{dx}{du} [/mm] nicht wie sonst [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] .
Wei sonst dx ja [mm] \bruch{du}{cosh(u)} [/mm] wäre, was ja nicht zutrifft.
Einsetzen:
[mm] \integral{\wurzel{1+sinh^2(u)}*cosh(u) du}=\integral{cosh^2(u) du}
[/mm]
Weiter mit patieller Integration:
[mm] \integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{sinh^2(u) du}=
[/mm]
[mm] \integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{cosh^2(u) du}+\integral{1 du}
[/mm]
[mm] \integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{cosh^2(u) du}+u
[/mm]
[mm] 2*\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)+u
[/mm]
[mm] \integral{cosh^2(u) du}=\bruch{cosh(u)*sinh(u)+u}{2}
[/mm]
Resubst.
[mm] \integral{\wurzel{1+x^2}}=\bruch{\wurzel{1+x^2}*x+arsinh(x)}{2}
[/mm]
Stimmt das so?
Gruß
Angelika
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Hallo Mathepower!
Danke für die Korrektur!!
Gruß
Angelika
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Hallo!
ich hätte noch eine letzte Frage: Wie geht die Integration eigentlich bei [mm] \integral{\wurzel{a^2+x^2}dx}??
[/mm]
Hier kann man diese Methode ja nicht anwenden, da [mm] cosh(u)\not= \wurzel{a^2+sinh^2(u)}.
[/mm]
Aber auch die Subst. von [mm] a^2+x^2=u [/mm] versagt, da u'=2x was sich nicht wegkürzt.
Was könnte man in so einem Fall substituieren?
Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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Hallo AbraxasRishi,
> Hallo!
>
> ich hätte noch eine letzte Frage: Wie geht die Integration
> eigentlich bei [mm]\integral{\wurzel{a^2+x^2}dx}??[/mm]
> Hier kann man diese Methode ja nicht anwenden, da
> [mm]cosh(u)\not= \wurzel{a^2+sinh^2(u)}.[/mm]
> Aber auch die Subst.
> von [mm][mm] a^2+x^2=u[/m] [/mm] versagt, da u'=2x was sich nicht wegkürzt.
> Was könnte man in so einem Fall substituieren?
Hier kann man [mm]x=a*\sinh\left(u\right)[/mm] substituieren.
> Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> Angelika
Gruß
MathePower
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