Substitutionregel/Ellipsoid < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Sa 11.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Hilfe einer geigneten Substitution das Volumen des Ellipsoids E={(x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] : [mm] \bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}+\bruch{z^{2}}{c^{2}} \le [/mm] 1}
wobei a,b,c >0. |
Hallo,
Ich habe hier einen Notfall:
bis Montag muss ich diese Aufgabe mit den anderen abgeben.
Könnt ihr mir bitte bei der Aufgabe helfen, denn ich konnte bis jetzt die Substitutionregel im Mehrdimensionalen nicht verinnerlichen?
Vielleicht paar Tipps, was bei der Lösung der Aufgabe wichtig sein kann...
Gruss
Igor
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> Berechnen Sie mit Hilfe einer geigneten
> Substitution das Volumen des Ellipsoids
$\ [mm] E=\{(x,y,z)\in \IR^3:\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}+\bruch{z^2}{c^2} \le1\}$
[/mm]
> wobei a,b,c >0.
Hallo Igor,
Man kann das Ellipsoid durch eine affine
Transformation in die Einheitskugel
überführen.
Setze x'=x/a, y'=y/b und z'=z/c !
LG
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> Hallo Al-Chwarizmi,
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> aus demselben Grund wie bei der Aufgabe "Masse und
> Schwerpunkt",
> möchte ich sowas dreifache-Integrale ,
> Zylinderkoordinaten oder verallgemeinerte Kugelkoordinaten
> verwenden.
>
> Ich habe etwas über die verallgemeinerten Kugelkoordinaten
> im Internet gefunden![[]](/images/popup.gif) Volumen Ellipsoid
> (Was hältst Du davon? Ist diese Lösung nicht zu kompliziert/
> aufwendig? . Da muss man Determinante ausrechnen...)
Nun, mit den Ellipsoidkoordinaten ist das halt
eben etwa der Weg, den man gehen muss !
> Da ich die Kugelkoordinaten nur kurz "überflogen" habe,
> kannst Du bitte die wichtigsten Stationen der
> Vorgehensweise kurz erklären?
... hab heute keine Zeit dazu, es wird wohl
jemand anderes helfen
Meine Idee war, durch die einfache affine
Transformation das Ellipsoidvolumen auf
das der Einheitskugel zurückzuführen,
das man doch wohl als bekannt voraussetzen
darf. Das Prinzip der Transformation kann
man auch an diesem einfachen Beispiel üben.
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 So 12.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
im Internet wird die Transformation: x=ar [mm] sin\psi \cos \phi,y= [/mm] br [mm] sin\psi sin\phi [/mm] z=cr [mm] cos\psi [/mm] durchgeführt.
Im Buch ist die Transformation x=ar [mm] cos\psi cos\phi [/mm] , y=br [mm] cos\psi sin\phi,
[/mm]
z=cr [mm] sin\psi.
[/mm]
Warum werden es verschiedene Transformationen angewendet?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 So 12.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> im Internet wird die Transformation: x=ar [mm]sin\psi \cos \phi,y=[/mm]
> br [mm]sin\psi sin\phi[/mm] z=cr [mm]cos\psi[/mm] durchgeführt.
> Im Buch ist die Transformation x=ar [mm]cos\psi cos\phi[/mm] , y=br
> [mm]cos\psi sin\phi,[/mm]
> z=cr [mm]sin\psi.[/mm]
>
> Warum werden es verschiedene Transformationen angewendet?
Hallo,
es wird doch sozusagen "rundherum" intergriert. Der eine beginnt (und endet) hier, der andere beginnt und endet an einer um 90° versetzten Stelle. Deshalb kann man Sinus oder Kosinus verwenden.
Gruß Abakus
>
> Gruss
> Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 So 12.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
Im Buch auf der Seite 490 (206.3) ist die Gleichung gegeben.
Der Unterschied ist zur Aufgabe, dass bei der Aufgabe auf der rechten Seite der Gleichung (206.3) f(a......, b........., c.........) stehen soll (oder?).
Meine Frage ist: wie soll f für die Aufgabe aussehen ? Ist [mm] \phi \in [/mm] (0,2 [mm] \pi),
[/mm]
[mm] \theta \in [/mm] [ [mm] -\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}](Ich [/mm] meine : sind diese Angaben als Integrationsgrenzen zu nehmen?).
Im Link aus dem Internet sind die Grenzen anderes.
Wenn ich richtig verstehe, dann kann ich die Gleichung (206.3 ) benutzen, nur möchte ich wissen, was die einzelnen Parameter bzw. die Funktion f sind.
Edit:
Bei dem Lösungsvorschlag im Internet wurde die Determinante bestimmt und als Integrand verwendet und die Integrationsgrenzen. Als f ist die Konstante 1 ??
Wie kommt man also auf das Integral aus dem Link?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 So 12.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo igor
Du hattest doch schon die Antwort, dass man irgendwo anfangen und auhoern kann. ueberleg mal, was das fuer die Integrationsgrenzen bedeutet.
So wie du hier fragst, versuchtst du einfach irgendwo gefundene Formeln zu verwenden, und hinterfragst sie nicht und suchst nicht nach ihrem eigentlichen sinn. wenn du von dx*dy*dz zu [mm] dr*d\phi*d\Theta [/mm] uebergehst machst du doch ne Transformation, dazu die Determinante. ohne die geht es eigentlich nicht, es sei denn man macht das mehr mit ner geometrischen ueberlegung und ueberlegt was aus einem Volumenelement dxdydz (also einem "Quader") wird bei der Transformation. [mm] dr*d\phi*d\Theta [/mm] ist ja keiner!
Aber ihr habt das doch sicher gemacht??
Versuch das was ihr macht zu verstehen, und nicht einfach formeln zu suchen, in die du einsetzt, ohne sie zu verstehen. Sonst wirst du in sehr kurzer Zeit scheitern.
Mathe funktioniert nur, wenn man weiss warum man was tut.
Also ohne die det. und das kapieren warum man die braucht gehts nur ueber die affine abbildung auf ne Kugel.
Gruss leduart
Gruss leduart
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> ohne die Determinante
> gehts nur ueber die affine Abbildung auf ne Kugel.
... eigentlich hat man es auch dann mit einer
Determinante zu tun:
[mm] $V_{Ellipsoid}\ [/mm] =\ [mm] V_{Einheitskugel}*\vmat{a&0&0\\0&b&0\\0&0&c}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{4\,\pi}{3}*a\,b\,c$
[/mm]
Gruß Al
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