Substitutionsansatz - Konstant < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folgende PDGL ist gegeben : [mm] z_{r}=2r [/mm] mit den substitutionen r(x,y)=xy und s(x,y)=2x+y und u(x,y)=z[r(x,y);s(x,y)]
die Lösung soll bestimmt werden für die Bedingung: u(x,-x)=0 |
Nach einfacher Integration kommt man ja auf [mm] z=r^{2}+C(s)
[/mm]
Nach Rücksubstitution erhalte ich somit [mm] u(x,y)=(xy)^{2}+C(2x+y)
[/mm]
Setzte ich nun die Bedingung ein steht da [mm] 0=x^{4}+C(2x+y)... [/mm] ja im prinzip weiss ich hier schon nicht mehr wie ich verfahren muss. Setze ich die bedingung dann auch in C(2x+y) ein? eigentlich nicht oder?
auf jeden fall steht dann ja da [mm] -x^{4}=C(2x+y) [/mm] also ist mein [mm] C=-x^{4} [/mm] ?
Aber dann hängt es ja nicht mehr von 2x+y ab... oder setz ich das hoch 4 dann einfach auf mein (2x+y) weil wenn man die bedingung dort einsetzt stünde ja da [mm] -x^{4}=(2x-x)^{4} [/mm] ... was ja wieder stimmen würde. Bin mir also nicht ganz im klaren über die allgemeine herangehensweise bei sowas.
MfG Michalowitsch
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Hallo Michalowitsch,
> Folgende PDGL ist gegeben : [mm]z_{r}=2r[/mm] mit den substitutionen
> r(x,y)=xy und s(x,y)=2x+y und u(x,y)=z[r(x,y);s(x,y)]
> die Lösung soll bestimmt werden für die Bedingung:
> u(x,-x)=0
> Nach einfacher Integration kommt man ja auf [mm]z=r^{2}+C(s)[/mm]
> Nach Rücksubstitution erhalte ich somit
> [mm]u(x,y)=(xy)^{2}+C(2x+y)[/mm]
> Setzte ich nun die Bedingung ein steht da
> [mm]0=x^{4}+C(2x+y)...[/mm] ja im prinzip weiss ich hier schon nicht
> mehr wie ich verfahren muss. Setze ich die bedingung dann
> auch in C(2x+y) ein? eigentlich nicht oder?
> auf jeden fall steht dann ja da [mm]-x^{4}=C(2x+y)[/mm] also ist
> mein [mm]C=-x^{4}[/mm] ?
> Aber dann hängt es ja nicht mehr von 2x+y ab... oder setz
> ich das hoch 4 dann einfach auf mein (2x+y) weil wenn man
> die bedingung dort einsetzt stünde ja da [mm]-x^{4}=(2x-x)^{4}[/mm]
> ... was ja wieder stimmen würde. Bin mir also nicht ganz im
> klaren über die allgemeine herangehensweise bei sowas.
> MfG Michalowitsch
ich glaube die partielle DGL muß erst hergeleitet werden:
Aus [mm]u\left (x,y \right)=z\left ( r\left(x,y \right), s\left(x,y \right) \right)[/mm] folgen die partiellen Ableitungen von u:
[mm]u_{x}=z_{r} r_{x}+z_{s} s_{x}[/mm]
[mm]u_{y}=z_{r} r_{y}+z_{s} s_{y}[/mm]
Hier muß eine Gleichung nach [mm]z_{s}[/mm] aufgelöst werden und in die andere Gleichung eingesetzt werden. Dann entsteht eine lineare partielle DGL für [mm]u\left(x,y\right)[/mm]:
[mm]P \ u_{x} \ + \ Q \ u_{y} \ = \ R[/mm]
,wobei P,Q,R gegebene Terme von x,y,u sind.
Je zwei der gewöhnlichen DGL's
[mm]\bruch{dx}{dy} \ = \ \bruch{P}{Q};\bruch{dx}{du} \ = \ \bruch{P}{R};\bruch{dy}{du} \ = \ \bruch{Q}{R}[/mm]
ergeben die Lösungen
[mm]a \left( x, y, u \right) \ = \ C_{1}[/mm]
[mm]b \left( x, y, u \right) \ = \ C_{2}[/mm]
Aus diesen Lösungen folgt nun die allgemeine Lösung der partiellen DGL:
[mm] c\left( a, b \right)=0[/mm]
Setzt man nun die spezielle Bedingung [mm]u\left(x_{0}, y_{0} \right ) = u_{0}[/mm] ein, so erhält man eine spezielle Lösung, in dem man
[mm]a \left( x_{0}, y_{0}, u_{0} \right) \ = \ C_{1}[/mm]
[mm]b \left( x_{0}, y_{0}, u_{0} \right) \ = \ C_{2}[/mm]
ins Verhältnis zueinander setzt.
Gruß
MathePower
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