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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Mi 05.03.2008 | | Autor: | chirion |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch {1}{x*ln(x) }dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe versucht die Aufgabe folgendermaßen zu lösen:
1. Substitution von y=ln(x)
2. [mm] f'(y)=\bruch{dy}{dx}= \Rightarrow \bruch{1}{x} \Rightarrow [/mm] dx=x.dy
3. Hier habe ich in der noch nicht korrekten Integration [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y}*\bruch{1}{x}}dx [/mm] das dx durch den letzen Schritt aus (2) ersetzt. So erhalte ich [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y}*\bruch{1}{x}*x }dy. [/mm] Dabei kürzt sich [mm] \bruch{1}{x}*x [/mm] weg.
4. Das verbleibende [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y}} [/mm] dy integriere ich nach y und erhalte ln(y).
5. Nun habe ich ln(x) für y rücksubstituiert und erhalte
F(x)= ln(ln(x)) + C
Mein Problem ist, dass ich keine Lösung zu dieser Aufgabe habe, und jetzt nicht weiß ob es stimmt.
Vielleicht kennt ja jemand das Beispiel und kann mir da helfen.
Vielen Dank!
Chris
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hallo!
Es soll die Stammfunktion von [mm] \integral_{}^{}{\bruch {1}{x*ln(x) }dx} [/mm] gebildet werden. Es wird substituiert mit ln(x)=t
[mm] t'=\bruch{dt}{dx}=\bruch{1}{x}
[/mm]
also haben wir dx=dt*x
Jetzt setzen wir es ein un erhalten:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{t}dt} [/mm] (x kürzt sich ja weg)
bilden wir jetzt die Stammfuntkion so erhalten wir F(x)=ln(t)+c
jetzt noch rücksubstituieren und das Endergebnis lautet
F(x)=ln(ln(x))+c
Also genau das selbe Ergebnis wie du
Gruss
Ergebnis für die Stammfuntkion und zwar F(x)=
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:55 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{t}dt}[/mm] (x kürzt sich ja weg)
>
> bilden wir jetzt die Stammfunktion so erhalten wir
> F(x)=ln(t)+c
[mm] $F(t)=\ln(t)+c$
[/mm]
Denn das ist die Stammfunktion zu $t [mm] \mapsto \frac{1}{t}$ [/mm] in der Variablen $t$.
> jetzt noch rücksubstituieren und das Endergebnis lautet
>
> F(x)=ln(ln(x))+c
Strenggenommen müsste da stehen, dass mit
[mm] $G(x):=F(\ln(x))=\ln(\ln(x))+C$
[/mm]
dann $G$ eine Stammfunktion zu $x [mm] \mapsto \frac{1}{x*\ln(x)}$ [/mm] ist. Das war auch der Grund, warum Du oben wohl anstatt $F(t)$ halt $F(x)$ geschrieben hattest (Du wolltest diese Funktion, die ich nun $G$ genannt habe, halt $F$ nennen, zudem ist aber $F$ dann eigentlich doch eine andere Funktion, nämlich eine Stammfunktion von $t [mm] \mapsto \frac{1}{t}$). [/mm] Wenn man es formal einwandfrei machen wollte, muß man sich genau die Formulierung der Substitutionsregel angucken!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch {1}{x*ln(x) }dx}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe versucht die Aufgabe folgendermaßen zu lösen:
> 1. Substitution von y=ln(x)
> 2. [mm]f'(y)=\bruch{dy}{dx}= \Rightarrow \bruch{1}{x} \Rightarrow[/mm]
> dx=x.dy
> 3. Hier habe ich in der noch nicht korrekten Integration
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{y}*\bruch{1}{x}}dx[/mm] das dx durch
> den letzen Schritt aus (2) ersetzt. So erhalte ich
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{y}*\bruch{1}{x}+x }dy.[/mm]
> 4. Das
> integriere ich nach y und erhalte [mm]ln(y)*\bruch{1}{y}*y[/mm]
> (wobei sich die letzten Teile wegkürzen).
> 5. Nun habe ich ln(x) für y rücksubstituiert und erhalte
>
> F(x)= ln(ln(x)) + C
>
> Mein Problem ist, dass ich keine Lösung zu dieser Aufgabe
> habe, und jetzt nicht weiß ob es stimmt.
> Vielleicht kennt ja jemand das Beispiel und kann mir da
> helfen.
> Vielen Dank!
>
> Chris
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
abgesehen von der anderen Antwort kannst Du derartiges auch selbst kontrollieren.
Du brauchst doch nur zu prüfen, ob mit [mm] $F(x)=\ln(\ln(x))+C$ [/mm] gilt, dass [mm] $F'(x)=\frac{1}{x*\ln(x)}$:
[/mm]
Es gilt nach der Kettenregel wegen $C' [mm] \equiv [/mm] 0$:
[mm] $F'(x)=\underbrace{\frac{1}{\ln(x)}}_{=\ln'(\ln(x))}*\underbrace{\frac{1}{x}}_{=\ln'(x)}=\frac{1}{x*\ln(x)}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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