Substitutionsraten von Produkt < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 Mi 29.12.2004 | | Autor: | thomas13 |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo zusammen !
bin mir nicht ganz sicher, ob ich folgende aufgabe richtig gelöst habe, und würde mich über hilfe oder anmerkungen sehr freuen!
gegeben sei die produktionsfunktion [mm] P(K,A):=K\*\wurzel{A}
[/mm]
a) berechnen sie beide substitutionsraten im punkte ( K,A)= ( 2,4).
f'(A)= K [mm] \*\bruch{1}{2 \wurzel{A}}
[/mm]
f'(K)= [mm] \wurzel{A}
[/mm]
[mm] \m \bruch{f'A}{f'K}=\m \bruch{K*\bruch{1}{2\wurzel{A}}}{\wurzel{A}}
[/mm]
= [mm] \m\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \m \bruch{f'K}{f'A}=\m \bruch{\wurzel{A}}{K*\bruch{1}{2\wurzel{A}}}= \m4
[/mm]
b) berechnen sie mit hilfe der substitutionsrate die ungefähre relative änderung von K auf dem Niveau P=2, falls A von 4 auf 5 angehoben wird.
rel änderung von K = [mm] \bruch{dK}{K}=\varepsilonK [/mm] * [mm] \bruch{dA}{A}
[/mm]
[mm] =\m\bruch{1}{4}*25%
[/mm]
[mm] =\m\bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] =\m12,5% [/mm]
c) um ungefähr wie viel prozent muß das kapital K aufgestockt werden, falls der arbeitseinsatz A um 4% reduziert, die produktion jedoch um 10% erhöht werden soll ?
[mm] \bruch{dP}{P}=\bruch{dK}{K}*\bruch{dA}{A}=4*1,1%=\bruch{dK}{K}*4*0,96%=4,4%=\bruch{dK}{K}*3,84=1,1458=\bruch{dK}{K}
[/mm]
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Hallo Thomas!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> gegeben sei die produktionsfunktion
> [mm]P(K,A):=K\*\wurzel{A}
[/mm]
> a) berechnen sie beide substitutionsraten im punkte (
> K,A)= ( 2,4).
> f'(A)= K [mm]\*\bruch{1}{2 \wurzel{A}}[/mm]
> f'(K)=
> [mm]\wurzel{A}[/mm]
Wie Du es aufschreibst, ist es mathematisch nicht korrekt. Das Ergebnis ist aber richtig. Du meinst ja hier die partiellen Ableitungen [mm] $\frac{\partial P}{\partial A}$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial P}{\partial K}$. [/mm] Aber je nachdem, wie Dein mathematischer Hintergrund ist, kann man das vernachlässigen 
> [mm]\m \bruch{f'A}{f'K}=\m \bruch{K*\bruch{1}{2\wurzel{A}}}{\wurzel{A}}[/mm]
>
> = [mm]\m\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]\m \bruch{f'K}{f'A}=\m \bruch{\wurzel{A}}{K*\bruch{1}{2\wurzel{A}}}= \m4[/mm]
Die Ergebnisse stimmen, bis auf das Vorzeichen meiner Ansicht nach. Zugegeben ist es schon sehr lange her, dass ich mich mit diesen Dingen beschäftigt habe, aber googlen sagt mir, dass die Grenzrate der Substitution ein negatives Vorzeichen besitzt. Ist auch sinnvoll: wenn von einem Produktionsgut mehr reingesteckt wird, braucht man vom anderen nicht so viel, wenn der selbe Output verlangt wird.
> b) berechnen sie mit hilfe der substitutionsrate die
> ungefähre relative änderung von K auf dem Niveau P=2, falls
> A von 4 auf 5 angehoben wird.
> rel änderung von K = [mm]\bruch{dK}{K}=\varepsilonK[/mm] *
> [mm]\bruch{dA}{A}
[/mm]
>
> [mm]=\m\bruch{1}{4}*25%[/mm]
>
> [mm]=\m\bruch{1}{8}[/mm]
>
> [mm]=\m12,5%[/mm]
Leider kann ich Deine Rechnung nicht nachvollziehen (weil Deine Formeln wohl nicht ganz stimmig wiedergegeben werden), aber das Ergebnis ist richtig, wiederum bis auf das Vorzeichen. Ich hatte überlegt, dass die Grenzrate der Substitution liefert:
[mm]\frac{-2A}{K}=\frac{\Delta A}{\Delta K}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{\Delta K}{K}=-\frac{\Delta A}{2A}.[/mm]
Mit $A=4,K=1$ und [mm] $\Delta [/mm] A=1$ kommt man dann auf [mm] $\Delta K=-\frac{1}{8}$.
[/mm]
> c) um ungefähr wie viel prozent muß das kapital K
> aufgestockt werden, falls der arbeitseinsatz A um 4%
> reduziert, die produktion jedoch um 10% erhöht werden soll ?
>
> [mm]\bruch{dP}{P}=\bruch{dK}{K}*\bruch{dA}{A}=4*1,1%=\bruch{dK}{K}*4*0,96%=4,4%=\bruch{dK}{K}*3,84=1,1458=\bruch{dK}{K}[/mm]
>
Hier verstehe ich leider gar nicht, was Du machst. Wenn Deine Formel ganz am Anfang stimmt, wäre das ja völlig unabhängig von der Art der Produktionsfunktion, und das kann ich mir nicht vorstellen. Hier weiß ich auch nicht, welche Formel man statt dessen benutzen sollte. Aber wenn ich mir nur die Produktionsfunktion anschaue und von gegebenen [mm] $P_0$, $A_0$ [/mm] und [mm] $K_0$ [/mm] ausgehe, dann soll doch gelten:
[mm]1,1\cdot P_0 = xK_0\cdot \sqrt{0,96 A_0}[/mm]
denn die die Werte [mm] $P_1$, $A_1$ [/mm] und [mm] $K_1$ [/mm] nach der Umstellung des Prozesses müssen ja auch wieder der Produktionsfunktion gehorchen. Wegen [mm] $P_0=K_0\sqrt{A_0}$ [/mm] lässt sich die Gleichung vereinfachen zu
[mm]1,1=x\sqrt{0,96},[/mm]
was zu [mm] $x\approx [/mm] 1,123$ führt. Das Kapital müsste also um etwa 12,3 Prozent aufgestockt werden. Aber wie gesagt, bei mir ist das schon ewig her, und vielleicht gibt es ja noch jemanden hier, dem dazu was Schlaueres einfällt.
Viele Grüße
Brigitte
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