Substitutionsregel < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich soll das unbestimmte Integral zu [mm] e^{x^3}*x^2 [/mm] dx finden und zwar mit Substitution.
Es wurde vorgeschlagen [mm] x^3 [/mm] = y zu setzen. Aber ich kann doch [mm] x^2 [/mm] nicht = y setzen, da dann doch da stünde [mm] x^3=x^2 [/mm] und das ergibt doch nichts.
Wie gehe ich hier vor?
Basiert die Substitutionsregel darauf, dass ich erst substituiere und den Ausdruck dann ableite? Ich verstehe diese Regel nicht ganz.
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Das siehst Du richtig.
Probier mal [mm] y=e^{x^3} [/mm] aus. 
Grüße,
reverend
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Was passiert dann mit dem [mm] x^2?
[/mm]
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Hallo Englein89,
> Was passiert dann mit dem [mm]x^2?[/mm]
Das ist dann bis auf einen Faktor, die Ableitung von [mm]x^{3}[/mm].
Gruß
MathePower
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Tut mir leid, ich habe die Methode gerade erst gelernt, ich bin da noch nicht ganz firm.
Was meinst du mit bis auf einen Faktor? Kannst du mir die Rechnung einmal im Ganzen aufzeigen?
Lieben Dank!
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Hallo,
[mm] y=e^{x^3}
[/mm]
jetzt berechne mal
[mm] y':=\bruch{dy}{dx}=3x^{2}*e^{x^3}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{dy}{3x^{2}*e^{x^3}}
[/mm]
Steffi
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Was ist aus [mm] x^2 [/mm] geworden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Di 06.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Englein!
Setze diese Terme von Steffi nun mal in Dein Integral ein:
$$\integral{x^2*\red{e^{x^3}} \ \blue{dx}} \ = \ \integral{x^2*\red{y} \ \blue{\bruch{dy}{3*x^2*e^{x^3}}} \ = \ \bruch{1}{3}*\integral{\bruch{y}{e^{x^3}} \ dy$$
Nun haben wir oben exakt $y \ = \ e^{x^3}}$ ersetzt, so dass wir erhalten:
$$... \ = \ \bruch{1}{3}*\integral{\bruch{y}{y} \ dy} \ = \ \bruch{1}{3}*\integral{1 \ dy} \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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> Hallo,
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> ich soll das unbestimmte Integral zu [mm]e^{x^3}*x^2[/mm] dx finden
> und zwar mit Substitution.
>
> Es wurde vorgeschlagen [mm]x^3[/mm] = y zu setzen. Aber ich kann
> doch [mm]x^2[/mm] nicht = y setzen, da dann doch da stünde [mm]x^3=x^2[/mm]
> und das ergibt doch nichts.
>
> Wie gehe ich hier vor?
>
> Basiert die Substitutionsregel darauf, dass ich erst
> substituiere und den Ausdruck dann ableite? Ich verstehe
> diese Regel nicht ganz.
Mit dem Vorschlag klappt das schon, allerdings
würde ich einen anderen Buchstaben benützen,
um Verwechslungen zu vermeiden, also z.B.
[mm] u=x^3
[/mm]
Die Ableitung von u nach x ist
[mm] u'(x)=\bruch{du}{dx}=3*x^2
[/mm]
Damit folgt
[mm] $\integral e^{x^3}*x^2\ [/mm] dx\ =\ [mm] \bruch{1}{3} \integral e^{u(x)}*u'(x)\ [/mm] dx\ =\ [mm] \bruch{1}{3} \integral e^u*du [/mm] $
Dies ist dann einfach zu integrieren.
LG
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Ich nehme nochmal ein anderes Beispiel.
Ich habe das unbestimmte Integral [mm] x^2 [/mm] * [mm] \wurzel {2x^3-4}
[/mm]
Ich nehme nun [mm] y=2x^3 [/mm] - 4 und habe dann als [mm] dy=6x^2
[/mm]
Aber was nun? Was geschieht mit dem [mm] x^2?
[/mm]
Ich verstehe nicht ganz, wieso die Subsitutionsregel von "2 Seiten" gelesen werden kann: Von links nach rechts soll ich den Integranden als f(g(x))*g'(x) schreiben und integrieren,
von rechts nach links soll ich Variablensubstitution durchführen.
Aber muss ich nicht gerade bei der Substitutionsregel substituieren? Was soll dann die erste Definition? Sie erinnert mich stark an die partielle Integration.
Bei partieller Integration geht es ja schlichtweg darum, die Terme so zu benennen, dass ich nur einen integriere und den anderen ableite. Das Prinzip bei der Substitutionsregel ist mir noch schleierhaft, bis auf den ersten Schritt, den ich oben genannt habe.
Danke für die Geduld..
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Hallo
[mm] \integral_{}^{}{x^{2}\wurzel{2x^{3}-4} dx}
[/mm]
[mm] y=2x^{3}-4
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=6x^{2}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{dy}{6x^{2}}
[/mm]
jetzt für [mm] 2x^{3}-4 [/mm] dein y einsetzen und für dx dein [mm] \bruch{dy}{6x^{2}} [/mm] einsetzen, als substituieren (ersetzen)
[mm] \integral_{}^{}{x^{2}\wurzel{y}}\bruch{dy}{6x^{2}}
[/mm]
jetzt kannst du doch [mm] x^{2} [/mm] kürzen,
Steffi
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Prima, das habe ich verstanden. Wir haben nämlich im Beispiel sofort 1/6 Integral [mm] \wurzel [/mm] {y} dy geschrieben, das hat mich verwirrt.
Ich verstehe nur nicht ganz: Warum wird als "Merkregel" angegeben, dass dy/dx=g'(x) => dy=g'(x)dx ist. Wenn ich gar nicht nach dy auflösen muss, wie in diesem Fall, ist diese Regel doch völlig sinnlos, denn ich muss ja immer nach dx auflösen um es einzusetzen, richtig?
Das Prinzip ist also nur folgendes, dass ich mein gewähltes y ableite und das y am Ende wieder integriere?
Kannst du mir noch sagen, was es mit den 2 Leserichtungen auf sich hat, die ich eben gepostet habe? Demnach kann es ja 2 Mölichkeiten bei der Substitution geben, oder verstehe ich da etwas falsch? Ich verstehe die erste Leserichtung der Subsitutionsregel nicht wirklich.
Denn hier ist noch ein Beispiel, das mir wieder völlig fremd scheint.
Integral von 0 bis 4 von [mm] \bruch {dx}{\wurzel {x}+1}
[/mm]
Es wird [mm] x=t^2 [/mm] gesetzt und dx=2tdt. Wieso wird jetzt plötzlich x gleich einer neuen Variable gesetzt?`Ich dachte ich suche immer ein y, das ich definiere.
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> Ich verstehe nur nicht ganz: Warum wird als "Merkregel"
> angegeben, dass dy/dx=g'(x) => dy=g'(x)dx ist. Wenn ich gar
> nicht nach dy auflösen muss, wie in diesem Fall, ist diese
> Regel doch völlig sinnlos, denn ich muss ja immer nach dx
> auflösen um es einzusetzen, richtig?
Eigentlich ist es genau das Geniale an der
Leibnizschen Schreibweise [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] für die
Ableitung der Funktion $\ y(x)$ nach der Variablen $\ x$,
dass man damit beim Ableiten (Kettenregel) und
beim Integrieren (Substitutionsregel) genau so
umgehen kann wie mit einem gewöhnlichen
Bruch von Zahlen !
Kettenregel:
Wenn $\ z=z(y(x))$ ist, dann gilt
[mm] $\bruch{dz}{dx}=\bruch{dz}{\blue{dy}}*\bruch{\blue{dy}}{dx}$
[/mm]
Substitutionsregel:
[mm] $\integral f(y(x))*y'(x)*dx=\integral f(y(x))*\bruch{dy}{\blue{dx}}*\blue{dx}=\integral [/mm] f(y)*dy$
In beiden Fällen darf man Differentiale (blau) kürzen !
LG Al-Chwarizmi
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Also sind beide Leserichtungen die gleiche Methode?
Was wäre hier mit meinem 2. Beispiel?
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> Also sind beide Leserichtungen die gleiche Methode?
>
> Was wäre hier mit meinem 2. Beispiel?
Ich weiss nicht, was du mit den unterschiedlichen
"Leserichtungen" meinst. Wenn du dich an die Regel
hältst, dass man mit Ableitungen in der Leibniz-
Schreibweise, also [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] etc. beim Ableiten
und beim Integrieren wie mit gewöhnlichen Brüchen
umgehen kann, musst du wahrscheinlich gar
keine "Leserichtungen" unterscheiden. Das erleichtert
doch das Leben irgendwie, oder ?
LG
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Hallo!
Ich verstehe nicht ganz, worauf du hinaus willst. Ich brauche doch immer nur die Umstellung auf dx=... oder nicht?
Was ich meine, ist die Erläuterung zu der Formel zur Substitution die ich einige Beiträge vorher gepostet habe. Es hört sich an, als könne man die Substitution auf 2 Weisen benutzen, ich sehe aber nicht, wie sie wirklich funktioniert, denn: Ich habe 2 Beispiele gepostet und ich habe das Gefühl, dass das Vorgehen bei beiden überhaupt nicht gleich ist :/
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> Hallo!
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> Ich verstehe nicht ganz, worauf du hinaus willst. Ich
> brauche doch immer nur die Umstellung auf dx=... oder
> nicht?
>
> Was ich meine, ist die Erläuterung zu der Formel zur
> Substitution die ich einige Beiträge vorher gepostet habe.
> Es hört sich an, als könne man die Substitution auf 2
> Weisen benutzen, ich sehe aber nicht, wie sie wirklich
> funktioniert, denn: Ich habe 2 Beispiele gepostet und ich
> habe das Gefühl, dass das Vorgehen bei beiden überhaupt
> nicht gleich ist.
Hallo Englein,
dann schauen wir die beiden Beispiele nochmals an,
in einer einheitlichen Darstellungsweise.
1. Beispiel:
[mm] $\integral e^{(x^3)}*x^2\ [/mm] dx\ =\ \ ?$
Substitutionsgleichung: [mm] u=x^3
[/mm]
Substitutionsgleichung abgeleitet: [mm] u'=\bruch{du}{dx}=3*x^2
[/mm]
letzte Gleichung nach dx aufgelöst: [mm] dx=\bruch{du}{3*x^2}
[/mm]
in das vorgegebene Integral einsetzen liefert:
[mm] $\integral e^{u}*\blue{x^2}\ \bruch{du}{3*\blue{x^2}}$
[/mm]
mit [mm] $\blue{x^2}$ [/mm] gekürzt:
[mm] $\integral e^{u}\ \bruch{du}{3}$
[/mm]
konstanten Faktor [mm] \bruch{1}{3} [/mm] vor das Integral nehmen:
[mm] $\bruch{1}{3}*\integral e^{u}\ [/mm] du$
integrieren (die Exponentialfunktion reproduziert sich):
[mm] $\bruch{1}{3}*e^{u}+C$ [/mm] (C= Integrationskonstante)
rücksubstituieren, also das u wieder durch [mm] x^3 [/mm] ersetzen:
[mm] $\bruch{1}{3}*e^{(x^3)}+C$
[/mm]
Also haben wir das Ergebnis:
[mm] $\integral e^{(x^3)}*x^2\ [/mm] dx\ =\ [mm] \bruch{1}{3}*\ e^{(x^3)}+C$
[/mm]
Kontrolle durch Ableiten:
[mm] $\left(\bruch{1}{3}*\ e^{(x^3)}+C\right)'\ [/mm] =\ [mm] \blue{\bruch{1}{3}}*\ \underbrace{e^{(x^3)}}_{aeuss. Abl.}*\underbrace{\blue{3}*x^2}_{inn. Abl.}+\ [/mm] 0\ =\ [mm] e^{(x^3)}*x^2$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
2. Beispiel:
[mm] $\integral \wurzel{2\, x^3-4\,}*x^2\ [/mm] dx\ =\ \ ?$
Substitutionsgleichung: $\ [mm] u=2\,x^3-4$
[/mm]
Substitutionsgleichung abgeleitet: [mm] u'=\bruch{du}{dx}=6*x^2
[/mm]
letzte Gleichung nach dx aufgelöst: [mm] dx=\bruch{du}{6*x^2}
[/mm]
in das vorgegebene Integral einsetzen liefert:
[mm] $\integral \wurzel{u\,}*\blue{x^2}\ \bruch{du}{6*\blue{x^2}}$
[/mm]
mit [mm] $\blue{x^2}$ [/mm] gekürzt:
[mm] $\integral \wurzel{u\,}\ \, \bruch{du}{6}$
[/mm]
konstanten Faktor [mm] \bruch{1}{6} [/mm] vor das Integral nehmen:
[mm] $\bruch{1}{6}*\integral \wurzel{u\,}\,\ [/mm] du$
Wurzel als Potenz schreiben:
[mm] $\bruch{1}{6}*\integral u^{\bruch{1}{2}}\ [/mm] du$
integrieren:
[mm] $\bruch{1}{6}*\bruch{2}{3}*u^{\bruch{3}{2}}+C$ [/mm] (C= Integrationskonstante)
rücksubstituieren, also das u wieder durch $\ [mm] 2\,x^3-4$ [/mm] ersetzen:
[mm] $\bruch{1}{9}*(2\,x^3-4)^{\bruch{3}{2}}+C$
[/mm]
Also haben wir das Ergebnis:
[mm] $\integral \wurzel{2\, x^3-4\,}*x^2\ [/mm] dx\ =\ [mm] \bruch{1}{9}*(2\,x^3-4)^{\bruch{3}{2}}+C$
[/mm]
Kontrolle durch Ableiten:
[mm] $\left(\bruch{1}{9}*(2\,x^3-4)^{\bruch{3}{2}}+C\right)'\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{9}*\underbrace{\bruch{3}{2}*(2\,x^3-4)^{\bruch{1}{2}}}_{aeuss. Abl.}*\underbrace{(6*x^2)}_{inn. Abl.}+\ [/mm] 0\ =\ [mm] \wurzel{2\,x^3-4}*x^2$ [/mm]
Gruß Al-Chwarizmi
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Genial, danke!
Das heißt also, dass die Substitution immer nach dem gleichen Schema verläuft?
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Kommt drauf an, was Du mit "Schema" meinst.
Das Grundprinzip ist Dir inzwischen hoffentlich klar.
Ansonsten hängt viel davon ab, welche Substitution man wählt.
Es sind halt zwei Wege denkbar.
Entweder man setzt ein u=f(x), oder gerade umgekehrt: x=f(u).
Welcher Weg zum Erfolg führt (wenn überhaupt), entscheidet sich an der Gestalt der betreffenden Funktionen.
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Ich habe jetzt allerdings noch ein Problem mit [mm] \bruch {dx}{\wurzel {x}+1}
[/mm]
Wie ersetze ich hier denn so geschickt, damit das Integral vereinfacht wird?
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Wenn Du [mm] \bruch{1}{f(x)} [/mm] zu integrieren hast, ist oft u=ln(f(x)) eine gute Substitution, so auch hier. Leider klappt das aber nicht immer, es hängt von der Funktion ab und besonders davon, ob f' durch f darstellbar ist und wie.
Grüße,
rev
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Hm, ich habe jetzt mal FOlgendes gemacht, bzw deine "2. Möglichkeit" benutzt, wie man die Substitutionsregel auffassen kann, also x=f(u):
[mm] x=t^2
[/mm]
x'=2t
dx=2t dt (weil dx=t' dt´und nicht mehr wie bei u=f(x): dx= du/u')
Dann habe ich:
[mm] \integral \bruch [/mm] {2t}{t+1} dt = [mm] 2\integral [/mm] {t}{t+1} dt
Integration:
Da hapert es jetzt. Wie integriere ich denn hier den Quotienten?
1/x ist ja integriert ln (|x|), aber ich habe ja hier ein t im Zähler, was also nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
[mm] \bruch{t}{t+1} [/mm] = [mm] \bruch{t+1-1}{t+1} [/mm] = $1 - [mm] \bruch{1}{t+1}$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Do 08.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Danke an alle :)
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