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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Fr 06.02.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Verwenden Sie in dieser und den folgenden Aufgaben die Substitutionsregel:
1) [mm] \integral{\bruch{dx}{\wurzel{a^2 - x^2}}} [/mm] für a > 0.
2) Berechnen Sie [mm] \integral_{a}^{b}{sin(mx)cos(nx)dx} [/mm] für m [mm] \not= \pm [/mm] n und a < b
3) [mm] \integral{sin^3xcosxdx}
[/mm]
4) [mm] \integral{\bruch{xdx}{1+x^4}}
[/mm]
5) [mm] \integral{\bruch{x^2dx}{cos^2(x^3)}} [/mm] |
So, zur Klausurvorbereitung habe ich einige schöne Integrale bekommen, die ich berechnen soll. Und zwar allesamt mit der Substitutionsregel, die da lautet:
[mm] \integral_{a}^{b} {\phi'(t)f(\phi(t))dt} [/mm] = [mm] \integral_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx}
[/mm]
Die erste Aufgabe ist auch noch relativ einfach, da die Beziehung [mm] \phi [/mm] und [mm] \phi' [/mm] noch recht augenscheinlich ist:
1) [mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{a^2 - x^2}}dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{a\wurzel{(1 - (\bruch{x}{a})^2)}}dx}
[/mm]
Wähle [mm] \phi(t) [/mm] = [mm] \bruch{x}{a} [/mm] und damit [mm] \phi'(t) [/mm] = [mm] \bruch{1}{a}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral{\bruch{\bruch{1}{a}}{\wurzel{1-t^2}}dt} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2}}dx} [/mm] = [mm] arcsin(\bruch{x}{a}) [/mm] + C.
2) Hier bin ich völlig überfragt, ich habe erst einmal versucht, das ganze über trignonometrische Umformungen in den Griff zu bekommen:
sin(mx)cos(nx) = [mm] \bruch{1}{2}(sin(mx-nx)+sin(mx+nx))
[/mm]
Wenn ich da aber jetzt über Additionstheoreme weiter mache, drehe ich mich lediglich im Kreis - was ja nur logisch ist, solange ich mich nicht verrechne.
Ein anderer Ansatz wäre vielleicht, [mm] \phi(t) [/mm] = sin(mx) zu wählen. Dann wäre [mm] \phi'(t) [/mm] = mcos(mx), [mm] \bruch{1}{m} [/mm] könnte ich vor das Intervall ziehen - aber das widerspricht der Forderung m [mm] \not= [/mm] n.
Hat hier vielleicht jemand eine bessere Idee? Ich fürchte so langsam, das ist eine Aufgabe aus der Kategorie "Wenn man die Lösung schon kennt, findet man sie auch"...
3) [mm] \integral{sin^3xcosxdx} [/mm] = [mm] \integral{tanxsin^2xcos^2xdx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{4}tanxsin²(2x)dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{tan^3x}{1+tan^4x}dx} [/mm]
Das sieht schon vergleichsweise brauchbar aus (in meinen Augen), ich bin mir aber mit der Wahl von [mm] \phi [/mm] unschlüssig... irgendwie kriege ich den Tangens nicht in den Griff.
4) [mm] \integral{\bruch{x}{1+x^4}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\integral{\bruch{2x}{1+x^4}dx}
[/mm]
Wähle [mm] \phi(t) [/mm] = [mm] x^2, \phi'(t) [/mm] = 2x
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}\integral{\bruch{\phi'(t)}{1+\phi^2(t)}dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{1 + x^4}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}arctan(x^2) [/mm] + C
5) [mm] \integral{\bruch{x^2}{cos^2(x^3)}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}\integral{\bruch{3x^2}{cos^2(x^3)}dx}
[/mm]
Wähle [mm] \phi(t) [/mm] = [mm] x^3, \phi'(t) [/mm] = [mm] 3x^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{3}\integral{\bruch{\phi'(t)}{cos^2{\phi(t)}}dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}\integral{\bruch{1}{cos^2{x^3}}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}tan(x^3) [/mm] + C
Dank gebührt all denen, die überhaupt bis hierhin gelesen haben. 
Liebe Grüße,
Tobias
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Hallo MaRaQ!
Substituiere hier $u \ := \ [mm] \sin(x)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo MaRaQ!
Dein Ergebnis stimmt. Aber wo "zauberst" Du zwischendurch das " $1+..._$ " im Nenner her?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Fr 06.02.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo Roadrunner,
da hatte ich unterwegs beim Abtippen wohl noch Aufgabe 4 im Hinterkopf. Die "+1" habe ich schlicht hinzuhalluziniert.
Danke für den Hinweis. Sollte es mir möglich sein, werde ich das bearbeiten.
Momentan ergibt das einen "Bearbeitungskonflikt". Scheint so, dass da jemand anders dran herumwerkelt.
Gruß, Tobias
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Hallo MaRaQ!
> 4) [mm]\integral{\bruch{x}{1+x^4}dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}\integral{\bruch{2x}{1+x^4}dx}[/mm]
> Wähle [mm]\phi(t)[/mm] = [mm]x^2, \phi'(t)[/mm] = 2x
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}\integral{\bruch{\phi'(t)}{1+\phi^2(t)}dt}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{1 + x^4}dx}[/mm]
Das muss aber im Integral [mm] $\bruch{1}{1+\red{\phi}^2}$ [/mm] heißen.
> = [mm]\bruch{1}{2}arctan(x^2)[/mm] + C
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Tobias!
> 1) [mm]\integral{\bruch{1}{\wurzel{a^2 - x^2}}dx}[/mm] = [mm]\integral{\bruch{1}{a\wurzel{(1 - (\bruch{x}{a})^2)}}dx}[/mm]
>
> Wähle [mm]\phi(t)[/mm] = [mm]\bruch{x}{a}[/mm] und damit [mm]\phi'(t)[/mm] = [mm]\bruch{1}{a}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \integral{\bruch{\bruch{1}{a}}{1-t^2}dt}[/mm] = [mm]\integral{\bruch{1}{1-{\bruch{x}{a}}^2}dx}[/mm] = [mm]arcsin(\bruch{x}{a})[/mm] + C.
Das Ergebnis stimmt. Aber zwischendurch geht Dir die Wurzel im Nenner verloren.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Fr 06.02.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Danke fürs gründliche Gegenlesen. Die beiden Abtippfehler mit der Wurzel und dem "1 +" habe ich mal korrigiert.
Dann versuche ich mich jetzt noch mal an der Aufgabe 3 mit deinem Tipp!
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> 2) Berechnen Sie [mm]\integral_{a}^{b}{sin(mx)cos(nx)dx}[/mm] für m
> [mm]\not= \pm[/mm] n und a < b
> 2) Hier bin ich völlig überfragt, ich habe erst einmal
> versucht, das ganze über trignonometrische Umformungen in
> den Griff zu bekommen:
> sin(mx)cos(nx) = [mm]\bruch{1}{2}(sin(mx-nx)+sin(mx+nx))[/mm]
Hallo,
ja, was?! Weitermachen, das sieht doch supergut aus!
Du hast dann [mm] \integral_{a}^{b}{sin(mx)cos(nx)dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [\integral_{a}^{b}{sin((m-n)x)dx}+ \integral_{a}^{b}{sin((m+n)x)dx}],
[/mm]
und damit bist Du nahezu fertig. Die beiden kleinen linearen Substitutionen, die Du noch brauchst, sind ja keine echte Hürde.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Fr 06.02.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Ja, danke Angela.
Da hat mich wohl auf halbem Weg der Mut verlassen. Oder das Brett vor meinem Kopf war etwas zu dick.
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(mx)cox(nx)dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin((m-n)x)+sin((m+n)x)dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\integral_{a}^{b}{sin((m-n)x)dx}+\integral_{a}^{b}{sin((m+n)x)dx})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{1}{m-n}\integral_{a}^{b}{(m-n)sin((m-n)x)dx}+\bruch{1}{m+n}\integral_{a}^{b}{(m+n)sin((m+n)x)dx})
[/mm]
Wähle [mm] \phi(x)=(m-n)x, \phi'(x) [/mm] = m-n, [mm] \psi(x)=(m+n)x, \psi'(x)=m+n
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{1}{m-n}\integral_{\phi(a)}^{\phi(b)}{\phi'(x)sin(\phi(x))}+\bruch{1}{m+n}\integral_{\psi(a)}^{\psi(b)}{\psi'(x)sin(\psi(x))dx})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}[\bruch{-cos((m-n)x)}{m-n}+\bruch{-cos((m+n)x)}{m+n}]_{a}^{b}
[/mm]
Habe ich hier im letzten Zwischenschritt richtig umgewandelt (vor allem die Integrationsgrenzen?)
Danke vielmals und liebe Grüße,
Tobias
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Hallo Tobias!
Gruß vom
Roadrunner
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