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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:10 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Berechne folgende Integrale durch geeignete Substitution:
[mm] 1.\integral_{}^{}{cos³x*sin x dx}
[/mm]
[mm] 2.\integral_{}^{}{\bruch{arctan x}{1+x²} dx}
[/mm]
[mm] 3.\integral_{}^{}{tan^{4}x dx}
[/mm]
[mm] 4.\integral_{}^{}{\bruch{e^{3x}}{e^{x}+2}dx}
[/mm]
[mm] 5.\integral_{}^{}{\bruch{tan(x+5)}{cos²(x+5)}dx} [/mm] |
Hallo Leute, ich habe bei diesen Integralen das Problem, dass ich nicht weiß was ich geeignet substituieren soll.
Bei der ersten Aufgabe habe ich t=cos³x gesetzt
[mm] dx=\bruch{dt}{-3*(cos x)²*sin x}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{t*dt*\bruch{-1}{3}*/cos x)²}. [/mm] Nun komme ich nicht weiter.
Bei der zweiten Aufgabe habe ich t=1+x² gesetzt.
Am Ende komme ich auf [mm] \integral_{}^{}{0,5*\bruch{arctan x}{x+x³} dx}.
[/mm]
Bei der dritten und vierten Aufgabe weiß ich gar nicht wie ich substituieren soll. Bei der fünften Aufgabe habe ich t=tan(x+5) gesetzt.
[mm] dx=\bruch{dt}{1+tan²(x+5)}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{t}{cos²(x+5)}*\bruch{dt}{1+tan²(x+5)} }
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{t}{cos²(x+5)+sin²(x+5)}}. [/mm]
Weiter komme ich nicht.
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Hallo Eugen,
erstmal ein Hinweis für die ersten beiden Integrale:
[mm] $\int{\cos^3(x)\cdot{}\sin(x) \ dx}$
[/mm]
Substituiere hier [mm] $t:=\sin(x)\Rightarrow \frac{dt}{dx}=...\Rightarrow [/mm] dx=...$
Und bedenke, dass [mm] $\cos^3(x)=\cos^2(x)\cdot{}\cos(x)$ [/mm] und [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ [/mm] ...
Für das 2. Integral [mm] $\int{\frac{\arctan(x)}{1+x^2} \ dx}$ [/mm] substituiere besser [mm] $t:=\arctan(x)$
[/mm]
Die Ableitung vom [mm] $\arctan(x)$ [/mm] ist ...
Das sollte dir schnell ein Ergebnis bringen.
Zu den anderen Integralen überlege ich mir noch was 
Aber vllt. ist ja auch jemand anderes schneller oder einfallsreicher
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
bei [mm] $\int{\frac{e^{3x}}{{e^x+2}}\ dx}$ [/mm] versuche mal die Substitution [mm] $t:=e^x+2$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
[mm] t=e^x [/mm] führt hier m.E. auch zum Ziel.
LG
Kroni
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Servus,
beim letzten Integral [mm] $\int{\frac{\tan(x+5)}{\cos^2(x+5)} \ dx}$ [/mm] substituiere [mm] $t:=\tan(x+5)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
zur 3): Subsituiere t=tan(x) und wähle als Ableitung nicht [mm] $1/\cos^2$ [/mm] sondern [mm] $1/(1+tan^2)$.
[/mm]
LG
Kroni
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:14 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo Leute, danke erst einmal für eure Ratschläge.
Ich bin mit den jeweiligen Substitutionen zu folgenden Ergebnissen gekommen:
1. [mm] \integral_{}^{}{cos²(x)*t dt}
[/mm]
[mm] 2.\integral_{}^{}{\bruch{t}{(1+x²)²}dt}
[/mm]
[mm] 3.\integral_{}^{}{t^{4}*\bruch{1}{1+tan²(x)}dt}
[/mm]
[mm] 4.\integral_{}^{}{\bruch{e^{3x}}{e^{x}*t}dt}
[/mm]
Nun habe ich bei diesen Integralen die Situation, dass ich sowohl das t, als auch das x in meinen Integralen stehen habe. Ich habe scheinbar keine Konstanten die ich aus dem Integral entfernen kann. Wie gehe ich bei so einer Situation vor? Hilft es eventuell wenn ich hier bereits das t rücksubstituiere? Bei der 5. Aufgabe habe ich das Problem nämlich nicht, denn der letzte Schritt lautet [mm] \integral_{}^{}{t}=\bruch{1}{2}*t^{2}=\bruch{1}{2}*(tan(x+5))²
[/mm]
Hier habe ich ja nur das t stehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
um der Sache auf den Grund gehen zu können, brauchen wir leider deine Rechenschritte.
Poste die Aufgaben am besten einzeln 
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:55 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Owen |
Ok, ich mache das dann Schritt für Schritt:
[mm] 1.\integral_{}^{}{cos³(x)*sin(x) dx}
[/mm]
t:=sin(x)
[mm] dx=\bruch{dt}{cos(x)}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{cos³(x)*t \bruch{dt}{cos(x)}}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{cos³(x)*t}{cos(x)} dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{cos²(x)*t dt}
[/mm]
[mm] 2.\integral_{}^{}{\bruch{arctan x}{1+x²} dx}
[/mm]
t=:arctan x
[mm] dx=\bruch{dt}{1+x²}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{ \bruch{t}{1+x²}*\bruch{dt}{1+x²}}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{t}{(1+x²)²} dt}
[/mm]
[mm] 3.\integral_{}^{}{tan^{4}(x) dx}
[/mm]
t:=tan(x)
[mm] dx=\bruch{dt}{1+tan²(x)}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{ t^{4}*\bruch{1}{1+tan²(x)}dt}
[/mm]
[mm] 4.\integral_{}^{}{\bruch{e^{3x}}{e^{x}+2} dx}
[/mm]
[mm] t:=e^{x}+2
[/mm]
[mm] dx=\bruch{dt}{e^{x}}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{e^{3x}}{t}*\bruch{dt}{e^{x}}}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{e^{3x}}{e^{x}*t}dt}
[/mm]
Bei diesen Integralen habe ich wie gesagt, sowohl das t als auch das x.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Owen!
> [mm]1.\integral_{}^{}{cos³(x)*sin(x) dx}[/mm]
> t:=sin(x)
Hier wurdest Du leider auf die falsche Spur geschickt. Substituiere besser $t \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] .
> [mm]2.\integral_{}^{}{\bruch{arctan x}{1+x²} dx}[/mm]
> t=:arctan x
> [mm]dx=\bruch{dt}{1+x²}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Durch Umstellen erhält man hier $dx \ = \ [mm] \left(1+x^2\right)*dt$ [/mm] .
> [mm]3.\integral_{}^{}{tan^{4}(x) dx}[/mm]
> t:=tan(x)
> [mm]dx=\bruch{dt}{1+tan²(x)}[/mm]
> [mm]=\integral_{}^{}{ t^{4}*\bruch{1}{1+tan²(x)}dt}[/mm]
Nun kannst Du im Nenner [mm] $\tan^2(x)$ [/mm] durch [mm] $t^2$ [/mm] ersetzen.
> [mm]4.\integral_{}^{}{\bruch{e^{3x}}{e^{x}+2} dx}[/mm]
> [mm]t:=e^{x}+2[/mm]
> [mm]dx=\bruch{dt}{e^{x}}[/mm]
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{e^{3x}}{t}*\bruch{dt}{e^{x}}}[/mm]
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{e^{3x}}{e^{x}*t}dt}[/mm]
Zunächst kannst Du hier ein [mm] $e^x$ [/mm] kürzen. Anschließend kannst Du einsetzen: [mm] $e^x [/mm] \ = \ t-2$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:35 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo Loddar, danke für die Hinweise. Konnte nun alles lösen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
zur ersten Aufgabe: Hier kannst du schon sin(x) substituieren. Dann bleibt dort einmal ein [mm] $\cos^2$ [/mm] über, das mit [mm] $\cos^2=1-\sin^2$ [/mm] erstezen,und dann für den sin wieder t einsetzen.
LG
Kroni
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