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| Aufgabe | | Berechnen Sie das Volumen |
Hallo erstmal...
Ich habe 2 Funktionen und soll nun das Volumen ausrechnen.
[mm] f_{x}=5*lnx
[/mm]
[mm] g_{x}=lnx
[/mm]
[mm] [1;e^2]
[/mm]
Dann komme ich auf [mm] \integral_{1}^{e^2}{5*ln^2x dx}. [/mm] Nun weiß ich leider nicht wie ich dieses Integral "aufleiten" soll...
Ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Berechnen Sie das Volumen
> Hallo erstmal...
> Ich habe 2 Funktionen und soll nun das Volumen
> ausrechnen.
> [mm]f_{x}=5*lnx[/mm]
> [mm]g_{x}=lnx[/mm]
> [mm][1;e^2][/mm]
>
> Dann komme ich auf [mm]\integral_{1}^{e^2}{5*ln^2x dx}.[/mm] Nun
> weiß ich leider nicht wie ich dieses Integral "aufleiten"
> soll...
>
> Ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo SweetMiezi88w,
puh, welch ein Name 
also ich würde dir zum Lösen des Integrals das Verfahren der [mm] \bold{partiellen} \bold{Integration} [/mm] empfehlen.
Schreibe [mm] \integral_{1}^{e^2}{5*ln^2x dx} [/mm] als [mm] 5\cdot{}\integral_{1}^{e^2}{ln(x)\cdot{}ln(x) dx}
[/mm]
Bezeichne mit f(x)=ln(x) und mit g'(x)=ln(x)
Dann ist [mm] f'(x)=\bruch{1}{x} [/mm] und [mm] g(x)=x\cdot{}ln(x)-x
[/mm]
die partielle Integration sagt nun [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)\cdot{}g'(x) dx}=f(x)\cdot{}g(x)-\integral_{a}^{b}{f'(x)\cdot{}g(x) dx}
[/mm]
Kriegst du's mit diesen Hinweisen hin?
Viel Erfolg und schönen Gruß
schachuzipus
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Dankeschön für deine Hilfe ;) Wenn ich nicht mehr weiterkomme, melde ich mich nochmal bye
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Hmm...ich habe es jetzt ausgerechnet...es kommt aber 0 bei meinem Volumen raus ;). Hier meine Rechnung:
[mm] 5*([\bruch{1}{x}*lnx]-\integral_{1}^{e^2}{\bruch{1}{x}*(x*lnx-x) dx})
[/mm]
Partielle Integration:
g'_{x}=x*lnx-x
[mm] g_{x}=lnx
[/mm]
[mm] h_{x}=\bruch{1}{x}
[/mm]
h'_{x}=lnx
[mm] 5*([\bruch{1}{x}*lnx]-[\bruch{1}{x}*lnx]-\integral_{1}^{e^2}{lnx*lnx dx})= [\bruch{5}{2x}lnx-\bruch{5}{2x}lnx]
[/mm]
Ich finde meinen Fehler nicht :(
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> Hmm...ich habe es jetzt ausgerechnet...es kommt aber 0 bei
> meinem Volumen raus ;). Hier meine Rechnung:
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> [mm]5*([\bruch{1}{x}*lnx]-\integral_{1}^{e^2}{\bruch{1}{x}*(x*lnx-x) dx})[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") genau umgekehrt (siehe ganz unten)
>
> Partielle Integration:
> g'_{x}=x*lnx-x
> [mm]g_{x}=lnx[/mm]
> [mm]h_{x}=\bruch{1}{x}[/mm]
> h'_{x}=lnx
>
> [mm]5*([\bruch{1}{x}*lnx]-[\bruch{1}{x}*lnx]-\integral_{1}^{e^2}{lnx*lnx dx})= [\bruch{5}{2x}lnx-\bruch{5}{2x}lnx][/mm]
>
> Ich finde meinen Fehler nicht :(
ok, der ist in der ersten Zeile schon, weil du die Funktionen falsch bezeichet hast
also [mm] 5\integral{ln(x)ln(x)dx}=5\integral{f(x)g'(x)dx} [/mm] mit f(x)=ln(x) und [mm] g\bold{'}(x)=ln(x) [/mm] !!!!
[mm] =5\left[f(x)g(x)-\integral{f'(x)g(x)dx}\right] [/mm] = [mm] 5\left[ln(x)(xln(x)-x)-\integral{\bruch{1}{x}(xln(x)-x)dx}\right]=5\left[ln(x)(xln(x)-x)-\integral{(ln(x)-1)dx}\right]
[/mm]
Versuch's von hier aus nochmal.
PS: Ich hab's zwar ohne Grenzen aufgeschrieben, aber die darfst du bei deiner Rechnung nicht vergessen.
Kontrolle: Es sollte rauskommen: [mm] 10(e^2-1)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ich hab es garnicht falsch bezeichnet....sondern bei mir ist [mm] g_{x}=f_{x} [/mm] und g'_{x}=h'_{x}...ist doch das Selbe
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Ok dann schreib ich genauer, was ich meine:
Also du hast als h'(x)=ln(x) bezeichnet
Dann ist aber h(x)=xln(x)-x und nicht [mm] \bruch{1}{x}, [/mm] wie du es geschrieben hast.
Somit ist der erste Teil bei deiner partiellen Ableitung falsch.
Dort muss ln(x)(xln(x)-x) stehen !
Und ich finde, ein etwas freundlicherer Umgangston wäre nicht unangebracht !
Gruß
schachuzipus
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Ok, dann nochmal von vorne...
[mm] 5*\integral_{1}^{e^2}{lnx*lnx dx}
[/mm]
partielle Integration:
g'_{x}=lnx
[mm] g_{x}=x*lnx-x
[/mm]
[mm] h_{x}=lnx
[/mm]
[mm] h'_{x}=\bruch{1}{x}
[/mm]
Das ergibt dann:
[mm] 5*([(x*lnx-x)*lnx]-\integral_{1}^{e^2}{\bruch{1}{x}*(x*lnx-x) dx})
[/mm]
Soweit richtig?
Ps: ich denke, dass du meinen Ton falsch verstanden hast, aufgrund, dass man hier nur Buchstaben lesen kann
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Was meinst du mit recht problemlos lösen? Ich finde es nicht so einfach...ich dachte, dass ich noch ein zweites Mal partielle integration machen muss, oder nicht?
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Nein, multipliziere mal den Ausdruck unter dem Integral aus, dann siehst du es!
Gruß
schachuzipus
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Meinst du so?
[mm] 5*[(x*lnx-x)*lnx]-\integral_{1}^{e^2}{1*lnx-\bruch{1}{x} dx})
[/mm]
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Fast: [mm] \bruch{1}{x}\left(xln(x)-x\right)=ln(x)-1
[/mm]
Und [mm] \integral{(ln(x)-1)dx} [/mm] kannste ja mit dem bisher Erarbeiteten lösen
Gruß
schachuzipus
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Also kann ich das hintere Integral jetzt aufspalten?
[mm] 5*[(x*lnx-x)*lnx]-\integral_{1}^{e^2}{lnx dx}-\integral_{1}^{e^2}{1 dx})
[/mm]
Richtig?
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Ja, das kannst du machen,
du kannst aber auch direkt eine Stammfunktion angeben.
Eine zu ln(x) hatten wir oben schon, eine zu -1 ist ja klar, also kannste das auch direkt in Einem verarzten, aber aufteilen geht natürlich auch.
Gruß
schachuzipus
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Dann steht dann da, wenn ich alles "aufgeleitet" habe:
5*([(x*lnx-x)*lnx-(x*lnx-x)-x])
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> Dann steht dann da, wenn ich alles "aufgeleitet" habe:
>
> 5*([(x*lnx-x)*lnx-(x*lnx-x)-x]) ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
[mm] =5\cdot{}[(xln(x)-x)\cdot{}ln(x)-(xln(x)-2x)]
[/mm]
Gut, nun noch die Grenzen verwurschteln, dann sollte da [mm] 10(e^2-1) [/mm] rauskommen
Gruß
schachuzipus
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Wieso stehen denn am Ende -2x? ist 1 "aufgeleitet" nicht x?
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Jo hi
da steht ja (xln(x)-x)-x
die Klammer um xln(x)-x kannste weglassen, dann steht da xln(x)-x-x=xln(x)-2x
Die Stammfunktion war richtig.
Nun aber rasch die Grenzen einsetzen
cu
schachuzipus
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günstigerweise noch x ausklammern,
also xln(x)-2x=x(ln(x)-2)
Dann ist das nicht sone wüste Rechnerei
schachuzipus
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gut, dann habe ich
5*[(x*lnx-x)*lnx-(x*lnx-2x)]
wenn ich nun die Grenzen einsetze komme ich aber auf
[mm] 5*(2e^2-2) [/mm] stimmt das auch?
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Hallo,
du kannst ja in der Klammer noch die 2 ausklammern.
[mm] 5(2e^2-2)=5(2(e^2-1))=10(e^2-1)
[/mm]
Also alles richtig
Lieben Gruß
schachuzipus
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Phu...das war ja echt ein langes hin und her...danke für deine Hilfe und Geduld. Dir noch einen schönen Tag! Viele Grüße die SweetMiezi ;)
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keine Ursache - gerne
Bis dann ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
schachuzipus
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