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| Aufgabe | Stammfunktion gesucht für:
[mm] \int_{0}^{N} \bruch{e^\bruch{x}{A}}{(1 + B x)^2}, [/mm] dx |
Hallo Forenfreunde,
ich plage mich jetzt seit zwei Tagen mit einem Integral herum. Bei der oben gezeigten Formel stecke ich momentan fest. Ich hab's per Substitution von (1 + B [mm] x)^2 [/mm] oder nur (1 + B x) probiert, per Lösung über partielle Inegration...
Ich komme auf keine vernünftige Lösung.
Bitte gebt mir mal eine Tipp.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Adandehel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Stammfunktion gesucht für:
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> [mm]\int_{0}^{N} \bruch{e^\bruch{x}{A}}{(1 + B x)^2},[/mm] dx
> Hallo Forenfreunde,
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> ich plage mich jetzt seit zwei Tagen mit einem Integral
> herum. Bei der oben gezeigten Formel stecke ich momentan
> fest. Ich hab's per Substitution von (1 + B [mm]x)^2[/mm] oder nur
> (1 + B x) probiert, per Lösung über partielle
> Inegration...
>
> Ich komme auf keine vernünftige Lösung.
Es ist das Integral
[mm]\int_{0}^{N} \bruch{e^\bruch{x}{A}}{(1 + B x)^2} \ dx[/mm]
auszuwerten. (bestimmtes Integral)
Dazu berechnest Du zunächst
[mm]\int_{}^{} \bruch{e^\bruch{x}{A}}{(1 + B x)^2} \ dx[/mm]
Das ist dann eine Stammfunktion zum Integranden. (unbestimmtes Integral)
Diese Stammfunktion wertest Du zwischen den Grenzen 0 und N aus.
Eine Stammfunktion zu dem Integranden
[mm]\bruch{e^\bruch{x}{A}}{(1 + B x)^2} [/mm]
kann nur über die Reihenentwicklung desselben erfolgen,
da die Stammfunktion nicht in geschlossener Form angebbar ist.
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> Bitte gebt mir mal eine Tipp.
>
> Danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Ich hat's geahnt.
Also erstmal vielen Dank für deine sorgsame Weise mir das beizubringen und deinen Willkommensgruß. Kannst du mir bitte bei den ersten Schritten der Reihenentwicklung helfen. Ich habe das seit Ewigkeiten nichtmehr gemacht. Alternativ kennst du vielleicht eine Seite, auf der das gut erklärt ist?
Vielen Dank schonmal im Voraus.
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Hallo Adanedhel,
> Ich hat's geahnt.
>
> Also erstmal vielen Dank für deine sorgsame Weise mir das
> beizubringen und deinen Willkommensgruß. Kannst du mir
> bitte bei den ersten Schritten der Reihenentwicklung
> helfen. Ich habe das seit Ewigkeiten nichtmehr gemacht.
> Alternativ kennst du vielleicht eine Seite, auf der das gut
> erklärt ist?
Führe zunächst die Substitution [mm]z=1+B*x[/mm] durch,
dann ist [mm]dz=B \ dx[/mm]
Damit steht zunächst da:
[mm]\integral_{1}^{1+B*N}{\bruch{e^{\bruch{z-1}{AB}}}{B*z^{2}} \ dz}=\bruch{ e^{-\bruch{1}{AB}}}{B}\integral_{1}^{1+B*N}{\bruch{e^{\bruch{z}{AB}}}{z^{2}} \ dz}[/mm]
Den Integranden [mm]\bruch{e^{\bruch{z}{AB}}}{z^{2}}[/mm] entwickelst Du jetzt in eine Reihe.
Für die Exponentialfunktion im Zähler des Integranden
verwendest Du die bekannte ![[]](/images/popup.gif) Exponentialreihe
>
> Vielen Dank schonmal im Voraus.
Gruss
MathePower
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Nochmals vielen Dank!
>
> Den Integranden [mm]\bruch{e^{\bruch{z}{AB}}}{z^{2}}[/mm]
> entwickelst Du jetzt in eine Reihe.
>
Sieht die Reihe dann in etwa so aus:
[mm]\bruch{e^{\bruch{z}{AB}}}{z^{2}} = \bruch{1}{ABz^{2}} \summe_{n=0}^{infty} \bruch{z^n}{n!} [/mm]
(Ich sehe gerade, dass ich noch einiges lernen muss: Wie gibt man Unendlich in diese Formeln ein?)
oder eher:
[mm]\bruch{e^{\bruch{z}{AB}}}{z^{2}} = \bruch{1}{z^{2}} \summe_{n=0}^{infty} \bruch{\bruch{z}{AB}^n}{n!} [/mm]
Bei der Reihenentwicklung hört's bei mir auf. Stimmt die Reihenentwicklung?
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Hallo Adanedhel,
> Nochmals vielen Dank!
> >
> > Den Integranden [mm]\bruch{e^{\bruch{z}{AB}}}{z^{2}}[/mm]
> > entwickelst Du jetzt in eine Reihe.
> >
>
> Sieht die Reihe dann in etwa so aus:
>
> [mm]\bruch{e^{\bruch{z}{AB}}}{z^{2}} = \bruch{1}{ABz^{2}} \summe_{n=0}^{infty} \bruch{z^n}{n!}[/mm]
>
> (Ich sehe gerade, dass ich noch einiges lernen muss: Wie
> gibt man Unendlich in diese Formeln ein?)
So: \infty
Das ergibt [mm]\infty[/mm]
>
> oder eher:
>
> [mm]\bruch{e^{\bruch{z}{AB}}}{z^{2}} = \bruch{1}{z^{2}} \summe_{n=0}^{infty} \bruch{\bruch{z}{AB}^n}{n!}[/mm]
Besser:
[mm]\bruch{e^{\bruch{z}{AB}}}{z^{2}} = \bruch{1}{z^{2}} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\left(\bruch{z}{AB}\right)^n}{n!}[/mm]
Das ist die richtige Reihenentwicklung.
>
> Bei der Reihenentwicklung hört's bei mir auf. Stimmt die
> Reihenentwicklung?
Das "x" in der Exponentialreihe muß Du hier durch [mm]\bruch{z}{AB}[/mm] ersetzen.
Gruss
MathePower
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Danke!
> [mm]\bruch{e^{\bruch{z}{AB}}}{z^{2}} = \bruch{1}{z^{2}} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\left(\bruch{z}{AB}\right)^n}{n!}[/mm]
anders ausgedrückt ergibt die Reihenentwicklung des Integranden
[mm]\bruch{e^{\bruch{z}{AB}}}{z^{2}} = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} \bruch{z^{n-2}}{\left(AB\right)^n}[/mm]
Richtig?
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Hallo Adanedhel,
> Danke!
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> > [mm]\bruch{e^{\bruch{z}{AB}}}{z^{2}} = \bruch{1}{z^{2}} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\left(\bruch{z}{AB}\right)^n}{n!}[/mm]
>
> anders ausgedrückt ergibt die Reihenentwicklung des
> Integranden
>
> [mm]\bruch{e^{\bruch{z}{AB}}}{z^{2}} = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} \bruch{z^{n-2}}{\left(AB\right)^n}[/mm]
>
> Richtig?
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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