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Summe: n+1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 So 27.03.2016
Autor: b.reis

Aufgabe
Beweisen Sie durch vollständige Induktion die folgende Formel.

[mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm]



Hallo,

Mein Induktionsanfang sieht so aus,

n=1

[mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] = [mm] \bruch{1(1+1)((2*1)+1)}{6} =\bruch{6}{6}=1 [/mm]

---> n=1=n

Beim zweiten Induktionsschritt gilt n=n+1

Zu zeigen ist:

[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^2 [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1}{6} [/mm]

Für n gilt [mm] n=K^2 [/mm]

Stimmt das soweit ?

Das nächste Gleid in der Induktion ist n+1, wenn n [mm] =k^2 [/mm] dann ist das nächste Glied n+1

Also gilt n+(n+1) [mm] =k^2+(n+1) [/mm]

Aus dem Induktionsanfang weiß ich, dass für n =1 gilt: [mm] \bruch{6}{6}=k^2 [/mm]
[mm] k^2 [/mm] (für n) + [mm] (k^2) [/mm] (_für_ n+1)
somit gilt auch [mm] \bruch{6(n+1)}{6} [/mm] denn hier steckt die 1 als n drin und [mm] k^2 [/mm] und somit ist

[mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+ \bruch{6(n+1)}{6} [/mm]

Stimmt das so und auch meine Erklärung dazu ?

Vielen Dank

Benni


        
Bezug
Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 So 27.03.2016
Autor: Fulla


> Beweisen Sie durch vollständige Induktion die folgende
> Formel.

>

> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]

>
>

> Hallo,

>

> Mein Induktionsanfang sieht so aus,

>

> n=1

>

> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] = [mm]\bruch{1(1+1)((2*1)+1)}{6} =\bruch{6}{6}=1[/mm]

Hallo Benni,

na ja, du hast [mm]n=1[/mm] in die Gleichung eingesetzt und es kommt auf der rechten Seite Eins raus. Was soll uns das sagen?

Bei Induktionsaufgaben solltest du dir - gerade am Anfang noch - jeden einzelnen Schritt bewusst machen.

Was du beim Induktionsanfang für [mm]n=1[/mm] eigentlich zeigen musst, ist:
- Linke Seite: [mm]\sum_{k=1}^1 k^2 =1^2=1[/mm]
- Rechte Seite: [mm]\bruch{1(1+1)((2*1)+1)}{6} =\bruch{6}{6}=1[/mm]
--> Passt also.


> ---> n=1=n

Was soll das heißen?

> Beim zweiten Induktionsschritt gilt n=n+1

Diese Formulierung hat mich schon bei einer früheren Aufgabe von dir gestört. Besser wäre: Induktionsschritt [mm]n\to n+1[/mm]. (Und es gibt nur "den" Induktionsschritt.)

Was du aber völlig auslässt, ist die Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges [mm]n\in\mathbb N[/mm] sei die Aussage [mm]\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm] bereits bewiesen.

Darauf musst du dich nämlich im Induktionsschritt beziehen!

> Zu zeigen ist:

>

> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} k^2[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1}{6}[/mm]

>

> Für n gilt [mm]n=K^2[/mm]

>

> Stimmt das soweit ?

>

> Das nächste Gleid in der Induktion ist n+1, wenn n [mm]=k^2[/mm]
> dann ist das nächste Glied n+1

>

> Also gilt n+(n+1) [mm]=k^2+(n+1)[/mm]

>

> Aus dem Induktionsanfang weiß ich, dass für n =1 gilt:
> [mm]\bruch{6}{6}=k^2[/mm]
> [mm]k^2[/mm] (für n) + [mm](k^2)[/mm] (_für_ n+1)
> somit gilt auch [mm]\bruch{6(n+1)}{6}[/mm] denn hier steckt die 1
> als n drin und [mm]k^2[/mm] und somit ist

>

> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+ \bruch{6(n+1)}{6}[/mm]

>

> Stimmt das so und auch meine Erklärung dazu ?

Sehr... holprig....
Nochmal ganz langsam zum Mitschreiben.

Wir wissen, für [mm]n=1[/mm] gilt die Gleichung. (IA)
Für irgendein [mm]n\in\mathbb N[/mm] auch. (IV)
Jetzt kommt der Induktionsschritt (IS), bei dem wir die IV verwenden wollen.

[mm]\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\red{\sum_{k=1}^{n}k^2} +(n+1)^2\stackrel{(IV)}{=}\red{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}+(n+1)^2[/mm]

Dabei wurde die rote Summe gemäß Induktionsvoraussetzung ersetzt. Forme jetzt in der Gleichungskette weiter um, bis bei [mm]\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}[/mm] rauskommst. (Du weißt ja schon, wo du hin willst. Es soll ja der Term rauskommen, wenn du [mm]n+1[/mm] statt [mm]n[/mm] auf der rechten Seite ganz oben einsetzt.)

Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Summe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:57 Di 29.03.2016
Autor: b.reis

Hallo, danke für die Antwort.

Ich konnte nicht gleich antworten, da ich noch ein paar Videos zum Thema ansehen musste.

$ [mm] \sum_{k=1}^{n+1}k^2=\red{\sum_{k=1}^{n}k^2} +(n+1)^2\stackrel{(IV)}{=}\red{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}+(n+1)^2 [/mm] $

Also

[mm] {\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}+(n+1)^2 [/mm] =$ [mm] \bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} [/mm] $

Das ist eine Gleichung und wenn man auf beiden Seiten *6 nimmt ist der Bruch weg und dann geht die Gleichung auf, aber das Getippe spar ich mir jetzt.


Vielen Dank

Benni


Bezug
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