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Summe Einheitswurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:52 So 04.12.2016
Autor: MarcHe

Aufgabe
Sei $n [mm] \ge [/mm] 2$ und [mm] $ggT(n,char(\IK))=1$. [/mm] Zeigen Sie: [mm] $\xi_1^k [/mm] + [mm] \xi_2^k [/mm] + ... + [mm] \xi_n^k=0$ [/mm] für alle $k=1,..,n-1$.

Hallo,

mein Ansatz lautet wie folgt:

Sei $n [mm] \ge [/mm] 2$ und [mm] $ggT(n,char(\IK))=1$, [/mm] dann ist die Menge aller Einheitswurzeln [mm] $E^{(n)}$ [/mm] eine zyklische Gruppe. Sei [mm] $\omega_1$ [/mm] eine primitive Einheitswurzel, sodass jede [mm] $\xi \in E^{(n)}$ [/mm] die Form [mm] $\xi [/mm] = [mm] \omega_1^k$ [/mm] mit [mm] $1\le [/mm] k [mm] \le [/mm] n-1$:

[mm] $\xi_1^k [/mm] + [mm] \xi_2^k [/mm] + ... + [mm] \xi_n^k=(\omega_1^0)^k+(\omega_1^1)^k+...+(\omega_1^{n-1})^k=(\omega_1^k)^0+(\omega_1^k)^1+...+(\omega_1^{k})^{n-1}$. [/mm]

Wenn nun $ggT(k,n)=1$, dann folgt [mm] $\omega_1^k [/mm] = [mm] \omega_2$ [/mm] also eine andere n-te Einheitswurzel, sodass mit [mm] $(\omega_2)^0+(\omega_2)^1+...+(\omega_2)^{n-1}$. [/mm] Ab hier ist dann alles klar.

Wenn nun $ggT(k,n)=d$. Dann ist ja [mm] $\omega_1^k$ [/mm] keine primitive Einheitswurzel mehr. Wie mache ich hier weiter?


Viele Grüße,
Marc

        
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Summe Einheitswurzeln: Bitte Voraussetzungen angeben
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:46 So 04.12.2016
Autor: hippias

Gib bitte die vollständige Aufgabenstellung. Sind die [mm] $\xi_{i}$ [/mm] etc. beliebig?

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Bezug
Summe Einheitswurzeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:58 So 04.12.2016
Autor: MarcHe

$ [mm] \xi_1 [/mm] + [mm] \xi_2 [/mm] + ... + [mm] \xi_n [/mm] $ sind alle n-ten Einheitswurzeln.

Bezug
        
Bezug
Summe Einheitswurzeln: geometrische Summe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:09 So 04.12.2016
Autor: Helbig

Hallo Marc,

> eine andere n-te Einheitswurzel, sodass mit
> [mm](\omega_2)^0+(\omega_2)^1+...+(\omega_2)^{n-1}[/mm]. Ab hier ist
> dann alles klar.
>  
> Wenn nun [mm]ggT(k,n)=d[/mm]. Dann ist ja [mm]\omega_1^k[/mm] keine primitive
> Einheitswurzel mehr. Wie mache ich hier weiter?

Diese Fallunterscheidung kann ich nicht nachvollziehen.
Wende doch mal die Formel fuer geometrische Summen an.
Hierfuer muss [mm] $\omega_1^k \neq [/mm] 1$ gelten, was Du noch zeigen
muesstest.

Viel Erfolg,
Wolfgang


Bezug
                
Bezug
Summe Einheitswurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 So 04.12.2016
Autor: MarcHe

Also wenn ich für den Fall $ggT(n,k)=1$ die geometrische Summe anwende komme ich auf: $ [mm] (\omega_2)^0+(\omega_2)^1+...+(\omega_2)^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n-1} \omega_2^{i} [/mm] = [mm] \frac{(1-\omega_2^n)}{(1-\omega_2)} [/mm] = 0$ weil [mm] $\omega_2^n=1$. [/mm]



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Summe Einheitswurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 So 04.12.2016
Autor: Helbig


> Also wenn ich für den Fall [mm]ggT(n,k)=1[/mm] die geometrische
> Summe anwende komme ich auf:
> [mm](\omega_2)^0+(\omega_2)^1+...+(\omega_2)^{n-1} = \summe_{i=0}^{n-1} \omega_2^{i} = \frac{(1-\omega_2^n)}{(1-\omega_2)} = 0[/mm]
> weil [mm]\omega_2^n=1[/mm].

Und genau dasselbe gilt auch, wenn $n$ und $k$ nicht teilerfremd sind,
also immer. Daher frage ich mich, wozu diese Fallunterscheidung. Du musst in jedem Fall [mm] $\omega_2 \ne [/mm] 1$ nachweisen.

Gruss
Wolfgang


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Summe Einheitswurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 So 04.12.2016
Autor: MarcHe

Ok, aber wenn [mm] $\omega_2$ [/mm] keine Primitivwurzel mehr ist, dann entspricht doch die Reihe mit [mm] $\omega_2$ [/mm] nicht der Reihe: $ [mm] \xi_1^k [/mm] + [mm] \xi_2^k [/mm] + ... + [mm] \xi_n^k$. [/mm] Hier ist ja mein Laufindex $k$ erstmal fest. in dem fall $k=1$ ist es ja trivial, aber was ist mit $k=2$ usw. ?

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Summe Einheitswurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 So 04.12.2016
Autor: Helbig


> Ok, aber wenn [mm]\omega_2[/mm] keine Primitivwurzel mehr ist, dann
> entspricht doch die Reihe mit [mm]\omega_2[/mm] nicht der Reihe:
> [mm]\xi_1^k + \xi_2^k + ... + \xi_n^k[/mm]. Hier ist ja mein
> Laufindex [mm]k[/mm] erstmal fest. in dem fall [mm]k=1[/mm] ist es ja
> trivial, aber was ist mit [mm]k=2[/mm] usw. ?

Ja, das ist richtig! Deswegen solltest Du die Primitivwurzel [mm] $\omega_1$ [/mm] nehmen. Alle $n$ Einheitswurzeln lassen sich dann als [mm] $\omega_1^k$ [/mm] mit $0 <=k < n$ darstellen.

Gruss,
Wolfgang


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Summe Einheitswurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 So 04.12.2016
Autor: MarcHe

Habe das nicht schon mit dem Fall $ggT(n,k)=1$ oben abgedeckt?

Mein Verständisproblem liegt aktuell hier: $ [mm] \xi_1^k [/mm] + [mm] \xi_2^k [/mm] + ... + [mm] \xi_n^k=(\omega_1^0)^k+(\omega_1^1)^k+...+(\omega_1^{n-1})^k=(\omega_1^k)^0+(\omega_1^k)^1+...+(\omega_1^{k})^{n-1} [/mm] $. Ich habe hier quasi jeweils $k$ mit $0 ... n-1$ getauscht. Wenn ich doch aber jetzt ein $k$ habe was nicht teilerfremd zu $n$ ist dann ist doch [mm] $\omega_1^{k}$ [/mm] keine Primitivwurzel mehr, also [mm] $\xi_2 [/mm] != [mm] (\omega_1^{k})^2$. [/mm] Wo ist hier mein Denkfehler?

Bezug
                                                        
Bezug
Summe Einheitswurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 So 04.12.2016
Autor: Helbig


> Habe das nicht schon mit dem Fall [mm]ggT(n,k)=1[/mm] oben
> abgedeckt?
>
> Mein Verständisproblem liegt aktuell hier: [mm]\xi_1^k + \xi_2^k + ... + \xi_n^k=(\omega_1^0)^k+(\omega_1^1)^k+...+(\omega_1^{n-1})^k=(\omega_1^k)^0+(\omega_1^k)^1+...+(\omega_1^{k})^{n-1} [/mm].
> Ich habe hier quasi jeweils [mm]k[/mm] mit [mm]0 ... n-1[/mm] getauscht. Wenn
> ich doch aber jetzt ein [mm]k[/mm] habe was nicht teilerfremd zu [mm]n[/mm]
> ist dann ist doch [mm]\omega_1^{k}[/mm] keine Primitivwurzel mehr,
> also [mm]\xi_2 != (\omega_1^{k})^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

. Wo ist hier mein

> Denkfehler?

Richtig ist: Es kann sein, dass $\omega_1^k$ keine Primitivwurzel ist.
Aber dennoch ist $\xi_2^k = {(\omega_1^k)^2.$ Ich habe allerdings die
Indizierung der Einheitswurzeln geaendert: $\xi_\ell = \omega_1^\ell$ fuer
$\ell = 0, 1, ..., n-1.$

Es ist fuer alle Koerperelemente $a$ doch ${(a^k)}^n = a^{kn} = {(a^n)}^k.$


Bezug
                                                                
Bezug
Summe Einheitswurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 So 04.12.2016
Autor: MarcHe

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Wieso gilt $\xi_2^k = {(\omega_1^k)^2. $ für alle Einheitswurzeln, obwohl $(\omega_1^k)$ keine primitive Einheitswurzel ist?

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Bezug
Summe Einheitswurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 So 04.12.2016
Autor: Helbig


> Wieso gilt [mm]\xi_2^k = {(\omega_1^k)^2.[/mm] für alle
> Einheitswurzeln, obwohl [mm](\omega_1^k)[/mm] keine primitive
> Einheitswurzel ist?

Wir haben
[mm] $$\omega_1^2= \xi_2.$$ [/mm]
Mit k potenzieren ergibt:
[mm] $$(\omega_1^2)^k [/mm] = [mm] \xi_2^k$$ [/mm]
Mit der Potenzregel, wie ich sie in einer meiner letzten Antworten vorgestellt hatte, folgt schliesslich:
[mm] $$(\omega_2^k)^2 [/mm] = [mm] \xi_2^k.$$ [/mm]

Gruss
Wolfgang


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Summe Einheitswurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Mo 05.12.2016
Autor: MarcHe

Hallo,

also ich versuche nochmal:

Wenn [mm] $\omega_1$ [/mm] eine primitive Einheitswurzel ist kann ich schreiben:

$ [mm] \xi_1^k [/mm] + [mm] \xi_2^k [/mm] + ... + [mm] \xi_n^k=(\omega_1^0)^k+(\omega_1^1)^k+...+(\omega_1^{n-1})^k=(\omega_1^k)^0+(\omega_1^k)^1+...+(\omega_1^{k})^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n-1} (\omega_1^{k})^{i}= \frac{1-(\omega_1^{k})^{n}}{1-\omega_1^{k}}=\frac{1-(\omega_1^{n})^{k}}{1-\omega_1^{k}}=\frac{1-1}{1-\omega_1^{k}}=\frac{0}{1-\omega_1^{k}}=0$ [/mm]

Dass [mm] $\omega_1^{k} \not= [/mm] 1$ mit [mm] $0\le [/mm] k [mm] \le [/mm] n-1$ ist doch Bestandteil der Definition einer primitiven Einheitswurzel oder?

Passt das nun so?


Viele Grüße,
Marc

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Bezug
Summe Einheitswurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:27 Di 06.12.2016
Autor: hippias


> Hallo,
>  
> also ich versuche nochmal:
>  
> Wenn [mm]\omega_1[/mm] eine primitive Einheitswurzel ist kann ich
> schreiben:
>  
> [mm]\xi_1^k + \xi_2^k + ... + \xi_n^k=(\omega_1^0)^k+(\omega_1^1)^k+...+(\omega_1^{n-1})^k=(\omega_1^k)^0+(\omega_1^k)^1+...+(\omega_1^{k})^{n-1} = \summe_{i=0}^{n-1} (\omega_1^{k})^{i}= \frac{1-(\omega_1^{k})^{n}}{1-\omega_1^{k}}=\frac{1-(\omega_1^{n})^{k}}{1-\omega_1^{k}}=\frac{1-1}{1-\omega_1^{k}}=\frac{0}{1-\omega_1^{k}}=0[/mm]
>  

Das ist in Ordnung.

> Dass [mm]\omega_1^{k} \not= 1[/mm] mit [mm]0\le k \le n-1[/mm] ist doch

$k=0$?

> Bestandteil der Definition einer primitiven Einheitswurzel
> oder?

Ja: die Ordnung von [mm] $\omega_{1}$ [/mm] ist $n$. Daher gilt für alle natürlichen Zahlen $k(>0)$: [mm] $k

>  
> Passt das nun so?
>  

Wo geht eigentlich die Voraussetzung $ggT(n, char(K))=1$ ein?

>
> Viele Grüße,
>  Marc


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Bezug
Summe Einheitswurzeln: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:59 Di 06.12.2016
Autor: MarcHe

Ich meinte natürlich $k>0$. Die Voraussetzung $ ggT(n, char(K))=1 $ besagt doch, dass die Menge der Einheitswurzeln [mm] $E^{(n)}$ [/mm] eine zyklische Gruppe ist. Das heißt es gibt ein [mm] $\omega$ [/mm] als erzeugendes Element dieser Menge, folglich haben alle Einheitswurzeln die Form [mm] $\omega^{k}$ [/mm] mit [mm] $1\le [/mm] k [mm] \ke [/mm] n-1$.



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Bezug
Summe Einheitswurzeln: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Do 08.12.2016
Autor: matux

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