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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:10 Sa 25.02.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei V ein [mm] \IK-Vektorraum, \varepsilon: [/mm] V -> [mm] \IK [/mm] linear und g [mm] \in [/mm] V, sodass [mm] \epsilon(g) \not= [/mm] 0. Zeige ,dass V innere direkte Summe der teilräume E:={v [mm] \in [/mm] V: [mm] \varepsilon(v)=0} [/mm] und [mm] G:={\lambda g : \lambda \in \IK} [/mm] ist.
Gib auch eine Formel für die Projektion auf E längs G an. |
ZuZeigen E [mm] \cap [/mm] G = {0}
[mm] \lambda [/mm] g ist ein Element von E genau dann wenn [mm] \lambda [/mm] =0 , weil dann bildet [mm] \varepsilon, \lambda [/mm] g auf 0 ab wegen der Linerität.
[mm] \epsilon [/mm] ( [mm] \lambda [/mm] g) =0 <=> [mm] \lambda [/mm] =0
E + G = V
v [mm] \in [/mm] V mit v [mm] \not\in [/mm] G, v [mm] \not=\lambda [/mm] *g dh v= [mm] \lambda [/mm] * b mit [mm] \varepsilon(b)=0
[/mm]
[mm] \varepsilon(v)=\varepsilon(\lambda*b)=\lambda [/mm] * [mm] \varepsilon(b)=\lambda [/mm] * 0 =0
v [mm] \in [/mm] E
v [mm] \in [/mm] V mit v [mm] \not\in [/mm] E, dann ist [mm] \varepsilon(v) \not= [/mm] 0 dh. [mm] \exists [/mm] a [mm] \in \IK [/mm] mit [mm] \varepsilon(v)=a [/mm] und a [mm] \not=0
[/mm]
[mm] \varepsilon(g)\not= [/mm] 0 dh. [mm] \exists [/mm] b [mm] \in \IK [/mm] mit b [mm] \not=0, \varepsilon(g)=b
[/mm]
[mm] \varepsilon(v)=a=a/b [/mm] * b= a/b * [mm] \varepsilon(g)
[/mm]
wegen Linearität [mm] =\varepsilon [/mm] (a/b * g)
[mm] \varepsilon(v) [/mm] - varepsilon(a/b * g)=0
[mm] \varepsilon(v-a/b [/mm] *g)=0
v-a/b*g [mm] \in [/mm] E
v - [mm] \lambda [/mm] *g [mm] \in [/mm] E wobei [mm] \lambda [/mm] *g [mm] \in [/mm] G
Frage: Wie komme ich jetzt auf v [mm] \in [/mm] G?
> Gib auch eine Formel für die Projektion auf E längs G an.
[mm] \pi_1 [/mm] (E)=E
[mm] \pi_1(W)=0
[/mm]
s [mm] \in [/mm] V
[mm] \pi_1(s) [/mm] = [mm] \pi_1(v+ \lambda [/mm] g)= [mm] \pi_1(v) [/mm] + [mm] \pi_(\lambda*g)= [/mm] v
und [mm] \epsilon(v)=0
[/mm]
Was soll ich damit weiter anfangen??
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> Sei V ein [mm]\IK-Vektorraum, \varepsilon:[/mm] V -> [mm]\IK[/mm] linear und
> g [mm]\in[/mm] V, sodass [mm]\epsilon(g) \not=[/mm] 0. Zeige ,dass V innere
> direkte Summe der teilräume [mm] E:=\{v \inV:\varepsilon(v)=0}
[/mm]
> und [mm]G:={\lambda g : \lambda \in \IK}[/mm] ist.
>
> Gib auch eine Formel für die Projektion auf E längs G
> an.
Hallo!
>
> ZuZeigen E [mm]\cap[/mm] G = {0}
Beweis: es sei [mm] v\in [/mm] E [mm]\cap[/mm] G = {0}.
Dann ist [mm] v\in [/mm] G und [mm] v\in [/mm] E,
also [mm] v=\lambda [/mm] g und [mm] \varepsilon(v)=0.
[/mm]
> [mm] \red{v=} \lambda [/mm] g ist ein Element von E,
> genau dann wenn [mm]\lambda[/mm] =0
> , weil dann bildet [mm]\varepsilon, \lambda[/mm] g auf 0 ab wegen
> der Linerität.
> [mm]\epsilon[/mm] ( [mm]\lambda[/mm] g) =0 <=> [mm]\lambda[/mm] =0
Warum genau ist [mm] \lambda=0 [/mm] ? das hast Du noch nicht richtig herausgearbeitet.
Zu zeigen:
> E + G = V
Beweis:
Sei
> v [mm]\in[/mm] V mit
1.Fall:
v [mm]\not\in[/mm] G, v [mm]\not=\lambda[/mm] *g [mm] \red{dh\quad v= \lambda * b\quad mit\quad \varepsilon(b)=0}
[/mm]
Den Schluß versteht man ohne weitere Erklärung nicht - und ich zweifele auch dran, daß er stimmt.
Was ist b? Wokommt das her?
> [mm]\varepsilon(v)=\varepsilon(\lambda*b)=\lambda[/mm] *
> [mm]\varepsilon(b)=\lambda[/mm] * 0 =0
> v [mm]\in[/mm] E
>
2.Fall:
> v [mm]\in[/mm] V mit v [mm]\not\in[/mm] E,
> dann ist [mm]\varepsilon(v) \not=[/mm] 0
> dh. [mm]\exists[/mm] a [mm]\in \IK[/mm] mit [mm]\varepsilon(v)=a[/mm] und a [mm]\not=0[/mm]
Bis hierher folge ich.
> [mm]\varepsilon(g)\not=[/mm] 0 dh. [mm]\exists[/mm] b [mm]\in \IK[/mm] mit b [mm]\not=0, \varepsilon(g)=b[/mm]
Ja, das war vorausgesetzt.
>
> [mm]\varepsilon(v)=a=a/b[/mm] * b= a/b * [mm]\varepsilon(g)[/mm]
> wegen Linearität [mm]=\varepsilon[/mm] (a/b * g)
Kapiere ich.
> [mm]\varepsilon(v)[/mm] - varepsilon(a/b * g)=0
> [mm]\varepsilon(v-a/b[/mm] *g)=0
Ja.
> v-a/b*g [mm]\in[/mm] E
Ja.
> v - [mm]\lambda[/mm] *g [mm]\in[/mm] E wobei [mm]\lambda[/mm] *g [mm]\in[/mm] G
>
> Frage: Wie komme ich jetzt auf v [mm]\in[/mm] G?
Tja... Ich glaube: gar nicht...
Du machst in dem Beweis dafür, daß V=E+G, in meinen Augen einen entscheidenden Denkfehler: Du meinst, daß aus [mm] v\not=E [/mm] folgt, daß [mm] v\in [/mm] G und umgekehrt.
Das stimmt aber nicht. Es gibt in V viele Vektoren, die weder in E noch in G sind. Die Summe ist ja etwas anderes als die Vereinigung!
---
Hast Du Dir die Aussage, die Du zeigen sollst, schonmal anhand eines konkreten Beispiels klargemacht?
Nehmen wir mal [mm] \varepsilon:\IR[/mm] [mm]^3[/mm] [mm] \to \IR, [/mm]
[mm] \varepsilon(\vektor{x\\y\\z}):=x+2y [/mm] und [mm] g:=\vektor{1\\1\\1}.
[/mm]
Zeigen sollst Du nun, daß [mm] \IR^3=Kern\varepsilon [/mm] + [mm] <\vektor{1\\1\\1}>.
[/mm]
Jetzt nehmen wir mal ein [mm] v\not\in [/mm] E, etwa [mm] v:=\vektor{1\\0\\0}.
[/mm]
Du wirst sofort sehen, daß er mitnichten in G liegt.
Und andersrum: sei [mm] v:=\vektor{1\\2\\3}. [/mm] Es ist [mm] v\not\in [/mm] G, aber genausowenig ist er in E.
Von daher kann Dein Beweis nicht funktionieren.
---
Vorschlag: welche Dimension hat das Bild von [mm] \varepsilon?
[/mm]
Welche Dimension der Kern?
Zeig', daß Du den Kern durch g zu einer Basis von V ergänzen kannst...
Damit hast Du's dann eigentlich...
LG Angela
>
>
> > Gib auch eine Formel für die Projektion auf E längs G
> an.
> [mm]\pi_1[/mm] (E)=E
> [mm]\pi_1(W)=0[/mm]
> s [mm]\in[/mm] V
> [mm]\pi_1(s)[/mm] = [mm]\pi_1(v+ \lambda[/mm] g)= [mm]\pi_1(v)[/mm] +
> [mm]\pi_(\lambda*g)=[/mm] v
> und [mm]\epsilon(v)=0[/mm]
> Was soll ich damit weiter anfangen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Sa 25.02.2012 | | Autor: | SEcki |
> Vorschlag: welche Dimension hat das Bild von [mm]\varepsilon?[/mm]
> Welche Dimension der Kern?
> Zeig', daß Du den Kern durch g zu einer Basis von V
> ergänzen kannst...
Das ist umstaendlich und ich sehe nicht, dass das Vorgehen auf unendlich dimensionalen Raeumen irgendiwe einfach ist. Die Darstellung als Summe der beiden Raueme ist dahingegend einfach.
SEcki
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Sa 25.02.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,danke
Deprimierend, dass alle falsch ist ;(
> ZuZeigen E $ [mm] \cap [/mm] $ G = {0}
Beweis: es sei $ [mm] v\in [/mm] $ E $ [mm] \cap [/mm] $ G
Dann ist $ [mm] v\in [/mm] $ G und $ [mm] v\in [/mm] $ E,
also $ [mm] v=\lambda [/mm] $ g und $ [mm] \varepsilon(v)=0. [/mm] $
ich setzte die zwei bedingung in ein [mm] \varepsilon(\lambda [/mm] g) =0
wegen Linearität [mm] \lambda [/mm] * [mm] \varepsilon(g) [/mm] =0
Nach Vorraussetzung ist [mm] \varepsilon(g) \not=0 [/mm]
also muss [mm] \lambda [/mm] =0 sein um =0 zu erreichen und demnach v=0
Du hast recht der beweis funktioniert so nicht.
> Vorschlag: welche Dimension hat das Bild von $ [mm] \varepsilon? [/mm] $
[mm] dim(\{0\}) [/mm] =0
> Welche Dimension der Kern?
[mm] ker(\epsilon)=E
[/mm]
[mm] dim(ker(\epsilon)=dim(E)=???
[/mm]
[mm] dim(ker(\epsilon))+ dim(img(\epsilon)) [/mm] = dim(V)
Ich weiß nur, dass G per Definition der von g erzeugte eindimensionale Teilraum ist, der aus allen K-Vielfachen von g besteht.
Kannst du mir da nochmals weiterhelfen=?
> Die Darstellung als Summe der beiden Raueme ist dahingegend einfach.
für v [mm] \in [/mm] V
V=v- [mm] \lambda [/mm] g + [mm] \lambda [/mm] g
Der letzte SUmmand [mm] \lambda [/mm] g ist offensichtlich [mm] \in [/mm] G
ZZ: v - [mm] \lambda [/mm] g [mm] \in [/mm] E
[mm] \varepsilon(v-\lambda [/mm] g) = [mm] \varepsilon(v) [/mm] - [mm] \lambda \varepsilon(g)= \varepsilon(v)=0
[/mm]
=> v - [mm] \lambda [/mm] g [mm] \in [/mm] E
Ist das in Ordnung?
Gib auch eine Formel für die Projektion auf E längs G an.
$ [mm] \pi_1 [/mm] $ (E)=E
$ [mm] \pi_1(W)=0 [/mm] $
v $ [mm] \in [/mm] $ V
$ [mm] \pi_1(v) [/mm] $ = $ [mm] \pi_1(v- \lambda [/mm] g+ [mm] \lambda [/mm] $ g)= [mm] \pi_1(v-\lambda [/mm] g) + [mm] \pi_(\lambda [/mm] g) = v- [mm] \lambda [/mm] g
Was ist da mit "einer Formel" gemeint?
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> > ZuZeigen E [mm]\cap[/mm] G = {0}
>
> Beweis: es sei [mm]v\in[/mm] E [mm]\cap[/mm] G
> Dann ist [mm]v\in[/mm] G und [mm]v\in[/mm] E,
> also [mm]v=\lambda[/mm] g und [mm]\varepsilon(v)=0.[/mm]
> ich setzte die zwei bedingung in ein [mm]\varepsilon(\lambda[/mm]
> g) =0
> wegen Linearität [mm]\lambda[/mm] * [mm]\varepsilon(g)[/mm] =0
> Nach Vorraussetzung ist [mm]\varepsilon(g) \not=0[/mm]
> also muss [mm]\lambda[/mm] =0 sein um =0 zu erreichen und demnach
> v=0
Hallo,
ja, so ist es.
> > Vorschlag: welche Dimension hat das Bild von [mm]\varepsilon?[/mm]
> [mm]dim(\{0\})[/mm] =0
> > Welche Dimension der Kern?
> [mm]ker(\epsilon)=E[/mm]
> [mm]dim(ker(\epsilon)=dim(E)=???[/mm]
> [mm]dim(ker(\epsilon))+ dim(img(\epsilon))[/mm] = dim(V)
> Ich weiß nur, dass G per Definition der von g erzeugte
> eindimensionale Teilraum ist, der aus allen K-Vielfachen
> von g besteht.
> Kannst du mir da nochmals weiterhelfen=?
Es ist wichtig, daß [mm] \varepsilon: V\to [/mm] K.
K ist ein VR der Dimension 1. Welche Dimension kann das Bild also höchstens haben?
Weiter wissen wir, daß es ein [mm] g\in [/mm] V gibt mit [mm] \varepsilon(g)\not=0.
[/mm]
Damit wissen wir, daß die Dimension des Bildes mindestens =1 ist.
Also dim [mm] Bild\varepsilon=1.
[/mm]
(Ist jetzt nicht so weltbewegend, sollte man sich aber mal klarmachen.)
Sofern nun V endlichdimensional ist mit dimV=n gilt der Dimensionssatz, den Du oben schreibst, und wir haben [mm] dimE=dimKern\varepsilon=n-1.
[/mm]
Du kannst Dir nun überlegen, daß jede beliebige Basis [mm] B:=(b_1,...,b_{n-1}) [/mm] von E durch g zu einer Basis von V ergänzt wird, und damit hast Du dann eigentlich schon V=E+G.
Nun ist aber unbedingt SEckis Einwand zu beachten: das Geschriebene gilt so, wie es dasteht, nur für endlichdimensionale Vektorräume. Ein solcher ist in Deiner Aufgabe nicht vorausgesetzt, und man sollte nun mal überlegen, wie man die Kurve kriegt, ohne vorauszusetzen , daß V endlichdimensional ist.
> > Die Darstellung als Summe der beiden Raueme ist dahingegend
> einfach.
> für v [mm]\in[/mm] V
> V=v- [mm]\lambda[/mm] g + [mm]\lambda[/mm] g
> Der letzte SUmmand [mm]\lambda[/mm] g ist offensichtlich [mm]\in[/mm] G
> ZZ: v - [mm]\lambda[/mm] g [mm]\in[/mm] E
> [mm]\varepsilon(v-\lambda[/mm] g) = [mm]\varepsilon(v)[/mm] - [mm]\lambda \varepsilon(g)\red{=} \varepsilon(v)\green{=}0[/mm]
>
> => v - [mm]\lambda[/mm] g [mm]\in[/mm] E
> Ist das in Ordnung?
[mm] \varepsilon(v)
[/mm]
Nein, denn weder für das rote noch für das grüne Gleichheitszeichen gibt es einen Grund. Ich sehe jedenfalls keinen und Du sagst keinen.
Hast Du Dir Obiges selbst überlegt, oder aus einer Vorlage übernommen?
Wenn Du es Dir selbst überlegt hast, hast Du es versäumt, die wichtigsten Tatbestände zu notieren. Man muß nämlich, wenn man plötzlich ein [mm] \lambda [/mm] nimmt, genau sagen, was es damit auf sich hat: gilt das, was man schreibt, für alle [mm] \lambda, [/mm] nimmt man sich ein beliebiges [mm] \lambda [/mm] daher, oder ist das [mm] \lambda, [/mm] mit welchem man arbeitet, möglicherweise ein ganz spezielles [mm] \lambda?
[/mm]
Hast Du es einer Vorlage entnommen, hast Du bei Deiner Nacherzählung Teile gekürzt, die für das Verständnis der Geschichte sehr wichtig sind.
Zu zeigen:
V=E+G (also insbes. [mm] V\subseteq [/mm] E+G. Die andere Inklusion ist ja von vornherein klar.)
Beweis: sei [mm] v\in [/mm] V.
1. Fall: [mm] \varepsilon(v)=0. [/mm] Dann ist alles klar: [mm] v=v+0\in [/mm] E+G.
2. Fall: [mm] \varepsilon(v)\not=0.
[/mm]
Dann [mm] \green{gibt \quad es \quad ein \quad \lambda\in K \ \{0\} \quad mit \varepsilon(v)=\lambda\varepsilon(g)}=\varepsilon(\lambda [/mm] g).
Also ist [mm] \varepsilon(v-\lambda [/mm] g)=0.
So. Und nun schreiben wir [mm] v=(v-\lambda [/mm] g)+ [mm] \lambda [/mm] g, und sehen sofort: [mm] v\in [/mm] E+G.
Denk nicht, daß der Unterschied zu dem, was Du geschrieben hast, nur klein ist. Er ist riesengroß, und wenn Du das nun erkannt hast, bist Du einen riesengroßen Schritt weiter.
>
>
> Gib auch eine Formel für die Projektion auf E längs G
> an.
> [mm]\pi_1[/mm] (E)=E
> [mm]\pi_1(W)=0[/mm]
Das stimmt zwar, aber die erste Bedingung ist viel schärfer, nämlich
[mm] \pi_1(e)=e [/mm] für alle [mm] e\in [/mm] E.
Mit W meinst Du wohl G.
Es gilt also [mm] \pi_1(G)=0, [/mm] dh [mm] pi_1(\lambda [/mm] g)=0 für alle [mm] \lambda\in [/mm] K,
also muß sein [mm] \pi_1(g)=0.
[/mm]
> v [mm]\in[/mm] V
> [mm]\pi_1(v)[/mm] = [mm]\pi_1(v- \lambda g+ \lambda[/mm] g)=
> [mm]\pi_1(v-\lambda[/mm] g) + [mm]\pi_(\lambda[/mm] g) = v- [mm]\lambda[/mm] g
> Was ist da mit "einer Formel" gemeint?
Im Prinzip schon sowas in der Art, wie Du schreibst, aber wieder wurschtelst Du hier mit einem [mm] \lambda [/mm] rum, ohne zu sagen, was es damit auf sich hat.
Wir haben ja inzwischen festgestellt: [mm] V=E\oplus [/mm] G,
dh. für jedes [mm] v\in [/mm] V gibt es ein eindeutig bestimmtes [mm] e_v \in [/mm] E und ein eindeutig bestimmtes [mm] \lambda_v\in [/mm] K mit [mm] v=e_v+\lambda_vg, [/mm] und es ist
[mm] \pi(v)=\pi(e_v+\lambda_vg)=e_v.
[/mm]
Oder - noch dichter an das, was Du schreibst, angelehnt:
Für [mm] v\in [/mm] V findet man (s.o.) ein eindeutig bestimmtes [mm] \lambda_v, [/mm] so daß [mm] v-\lambda_v [/mm] g [mm] \in [/mm] E.
Es ist [mm] \pi_1(v)=\pi_1((v-\lambda_vg)+\lambda_vg)=v-\lambda_vg.
[/mm]
LG Angela
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Mo 27.02.2012 | | Autor: | sissile |
> Du kannst Dir nun überlegen, daß jede beliebige Basis $ [mm] B:=(b_1,...,b_n) [/mm] $ von E durch g zu einer Basis von V ergänzt wird, und damit hast Du dann eigentlich schon V=E+G.
Die dim(E)= n-1
ALso hat doch jede beliebige Basis B von E [mm] :=(b_1,...,b_{n-1}) [/mm] , nicht?
G ist per Definition der von g erzeugt eindimensionale Teilraum. Eine Basis von G ist [mm] B':=(b_1')
[/mm]
Wenn V= E + G
ist eine Basis von V= [mm] (b_1,...,b_{n-1}) \cup b_1'
[/mm]
> Hast Du es einer Vorlage entnommen, hast Du bei Deiner Nacherzählung Teile gekürzt, die für das Verständnis der Geschichte sehr wichtig sind.
Eine Nacherzählung war das nicht^^. Natürlich entnahm ich die Idee an sich einen anderen Beispiel aber die Ausführung ist auf meinen Mist gewachsen.
> So. Und nun schreiben wir $ [mm] v=(v-\lambda [/mm] $ g)+ $ [mm] \lambda [/mm] $ g, und sehen sofort: $ [mm] v\in [/mm] $ E+G.
Ich wollte das die ganze Zeit von der anderen Richtung zeigen, geht das nicht?
So dass ich annehme: $ [mm] v=(v-\lambda [/mm] $ g)+ $ [mm] \lambda [/mm] $ g
Dann müssen wir doch zeigen, dass v- [mm] \lambda [/mm] g [mm] \in [/mm] E und [mm] \lambda [/mm] g [mm] \in [/mm] G ist.
ZZ: [mm] v-\lambda [/mm] g [mm] \in [/mm] E
genüngt zz. dass [mm] \varepsilon (v-\lambda [/mm] g) =0
Aber das ging ja oben schief...
Ich verstehe deine Vorgehensweise, nur wäre ich nie darauf gekommen, weil ich es noch nie so gemacht habe..
Formel für die Projektion auf G längs E
[mm] \pi_2 [/mm] (e)=0 [mm] \forall [/mm] e [mm] \in [/mm] E
[mm] \pi_2(G)=G [/mm] d.h. [mm] \pi_1(\lambda [/mm] g) = [mm] \lambda [/mm] g [mm] \forall \lambda \in \IK
[/mm]
[mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V findet man eindeutig bestimmtes [mm] \lambda_v
[/mm]
[mm] \pi_2 [/mm] (v) = [mm] \pi_2((v-\lambda_v g)+\lambda_v [/mm] g) = [mm] \lambda_v [/mm] g
Formel für die Spiegelung an E längs G
[mm] \delta [/mm] (e) = e [mm] \forall [/mm] e [mm] \in [/mm] E
[mm] \delta [/mm] (G)=-G d.h. [mm] \delta (\lambda [/mm] g )= - [mm] \lambda [/mm] g [mm] \forall \lambda \in \IK
[/mm]
[mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V findet man eindeutig bestimmtes [mm] \lambda_v
[/mm]
[mm] \delta(v)=\delta((v-\lambda_v [/mm] g) + [mm] \lambda_v [/mm] g) = v - [mm] \lambda_v [/mm] g - [mm] \lambda_v [/mm] g = v - 2 [mm] \lambda_v [/mm] g
Ist das okay?
Liebe Grüße und großes Danke.
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> > Du kannst Dir nun überlegen, daß jede beliebige Basis
> [mm]B:=(b_1,...,b_n)[/mm] von E durch g zu einer Basis von V
> ergänzt wird, und damit hast Du dann eigentlich schon
> V=E+G.
>
> Die dim(E)= n-1
> ALso hat doch jede beliebige Basis B von E [mm]:=(b_1,...,b_{n-1})[/mm] , nicht?
Hallo,
der Satz ist nicht verständlich.
Du wolltest aber wohl anmerken, daß eine jede Basis von E nur n-1 Vektoren enthält. Das stimmt natürlich! Ich werde es korrigieren.
> G ist per Definition der von g erzeugt eindimensionale
> Teilraum. Eine Basis von G ist [mm]B':=(b_1')[/mm]
Wenn Du das so sagst, müßtest Du mal sagen, was [mm] b_1' [/mm] sein soll...
Wahrscheinlich aber meintest Du etwas anderes: es gibt ein [mm] b_1', [/mm] so daß [mm] B':=(b_1') [/mm] eine Basis ist.
Das stimmt.
Aber wir wissen es doch viel genauer: wir können doch unser g als Basis von G nehmen!
> Wenn V= E + G
> ist eine Basis von V= [mm](b_1,...,b_{n-1}) \cup b_1'[/mm]
Paß auf, was Du schreibst. Dieses V=... ist mehr als ungeschickt.
Aber, wie gesagt, für die Aufgabe werden wir das jetzt gar nicht verwenden.
> > So. Und nun schreiben wir [mm]v=(v-\lambda[/mm] g)+ [mm]\lambda[/mm] g, und
> sehen sofort: [mm]v\in[/mm] E+G.
> Ich wollte das die ganze Zeit von der anderen Richtung
> zeigen, geht das nicht?
Du wolltest nicht eine andere "Richtung" zeigen, sondern eher in einer anderen Reihenfolge vorgehen.
Alles, was richtig ist und funktioniert, geht.
> So dass ich annehme: [mm]v=(v-\lambda[/mm] g)+ [mm]\lambda[/mm] g
Das ist keine Annahme, das ist Fakt. Egal, welches [mm] \lambda [/mm] Du nimmst, stimmt die Aussage.
Bloß halt ist [mm] (v-\lambda [/mm] v) nur für das richtig gewählte [mm] \lambda [/mm] in E.
Und das muß man sich halt vorher überlegen.
Man muß v nicht irgendwie zerlegen, sondern so, daß es dann auch paßt.
> Dann müssen wir doch zeigen, dass v- [mm]\lambda[/mm] g [mm]\in[/mm] E und
> [mm]\lambda[/mm] g [mm]\in[/mm] G ist.
> ZZ: [mm]v-\lambda[/mm] g [mm]\in[/mm] E
> genüngt zz. dass [mm]\varepsilon (v-\lambda[/mm] g) =0
> Aber das ging ja oben schief...
> Ich verstehe deine Vorgehensweise, nur wäre ich nie
> darauf gekommen, weil ich es noch nie so gemacht habe..
>
> Formel für die Projektion auf G längs E
> [mm]\pi_2[/mm] (e)=0 [mm]\forall[/mm] e [mm]\in[/mm] E
> [mm]\pi_2(G)=G[/mm] d.h. [mm]\pi_1(\lambda[/mm] g) = [mm]\lambda[/mm] g [mm]\forall \lambda \in \IK[/mm]
>
> [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V findet man eindeutig bestimmtes [mm]\lambda_v[/mm]
mit [mm] \varepsilon(v)=\lambda_v\varepsilon(g).
[/mm]
> [mm]\pi_2[/mm] (v) = [mm]\pi_2((v-\lambda_v g)+\lambda_v[/mm] g) = [mm]\lambda_v[/mm] g
wobei [mm] \varepsilon(v)=\lambda_v\varepsilon(g)
[/mm]
ist Abbildungsvorschrift für die gesuchte Projektion.
>
> Formel für die Spiegelung an E längs G
> [mm]\delta[/mm] (e) = e [mm]\forall[/mm] e [mm]\in[/mm] E
> [mm]\delta[/mm] (G)=-G d.h. [mm]\delta (\lambda[/mm] g )= - [mm]\lambda[/mm] g
> [mm]\forall \lambda \in \IK[/mm]
> [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V findet man
> eindeutig bestimmtes [mm]\lambda_v[/mm]
mit ... (Du mußt doch sagen, was die Besonderheit Deines [mm] \lambda [/mm] ist!)
> [mm]\delta(v)=\delta((v-\lambda_v[/mm] g) + [mm]\lambda_v[/mm] g) = v - [mm]\lambda_v[/mm] g - [mm]\lambda_v[/mm] g = v - 2 [mm]\lambda_v[/mm] g
wobei...
>
> Ist das okay?
Ja.
LG Angela
>
> Liebe Grüße und großes Danke.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Sa 03.03.2012 | | Autor: | sissile |
danke <3
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