Summe der Teiler von n < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Mo 16.08.2010 | | Autor: | duda |
| Aufgabe | | Beweise: Summe der Teiler von n übersteigt 1000n. |
hallo zusammen,
ich sitze gerade hier bei der aufgabe und irgendwie kommt die mir echt komisch vor. denn, wende ich diesen satz auf die zahl beispielsweise n = 672, so trifft die aussage nicht zu!
ich hab mir das mal ausgerechnet und folgendes dabei herausbekommen:
Summe aller Teiler von 672: 672 = [mm] 2^{5}*3*7 [/mm] eindeutige pfz und [mm] \Gamma [/mm](n) = 6*2*2 = 24 .
[mm] \Rightarrow \delta(n) [/mm] = [mm] \Gamma [/mm](n) + n [mm] \gdw \delta(672) [/mm] = 24 + 672 = 696.
da hab ich jetzt nämlich eine zahl herausbekommen, die kleiner 1000 ist.
hat sonst jmd eine ahnung wie man bei dem beweis vorgehen sollte?
beste grüße.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mo 16.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das kann so nicht passen, ein Gegenbeispiel hast du ja schon gefunden.
Woher hast du denn die Aussage?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Mo 16.08.2010 | | Autor: | PeterB |
Ich denke du sollst zeigen, dass es ein n gibt für das die Summe der Teiler größer als 1000n ist.
Die Zahlen in Bereichen, wo man typischer Weise rechnet, haben alle ein viel kleineres Verhältnis. Ich denke nicht, dass Du die Zahl wirklich angeben sollst, da das Kleinste Beispiel wohl kaum noch in deinen Computer passt. Zum Vergleich: Für alle Zahlen kleiner 10^150000 ist das Verhältnis von der Summe der Teiler zu der Zahl selbst kleiner 23. Es gibt aber abstrakte Argumentes, die zeigen dass das Verhältnis für gewisse Zahlen n größer als jede gegebene Zahl also auch 1000 wird.
Gruß
Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mo 16.08.2010 | | Autor: | duda |
danke für eure rückmeldung.
die übung stammt aus einem übungsblatt.
es sollte ja schon ein beweis sein und ich denke dem so ein gegenbeispiel "hinzupatschen" wär nicht korrekt richtig.
"Es gibt aber abstrakte Argumentes, die zeigen dass das Verhältnis für gewisse Zahlen n größer als jede gegebene Zahl also auch 1000 wird."
hmm... damit ist mir jetzt ehrlich gesagt auch nicht weitergeholfen. :S
hat vlt jmd eine andere idee?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mo 16.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> danke für eure rückmeldung.
>
> die übung stammt aus einem übungsblatt.
Du schreibst leider nichts über deinen mathematischen Background. Also ist es schwer, auf einem passenden Niveau zu antworten.
>
> es sollte ja schon ein beweis sein und ich denke dem so ein
> gegenbeispiel "hinzupatschen" wär nicht korrekt richtig.
Die Aussage: "Es gibt ein [mm] n\in\IN [/mm] für dass die Summe der Teiler grösser ist als 1000n" ist ja fundamental unterschiedlich zu "Für alle [mm] n\in\IN [/mm] ist die Summe der Teiler grösser ist als 1000n".
>
> "Es gibt aber abstrakte Argumentes, die zeigen dass das
> Verhältnis für gewisse Zahlen n größer als jede
> gegebene Zahl also auch 1000 wird."
> hmm... damit ist mir jetzt ehrlich gesagt auch nicht
> weitergeholfen. :S
Kennst du die Beweisidee für die Tatsache, dass es keine grösste Prinzahl geben kann? Versuche doch mal, dich daran entlangzuhangeln. Ich würde deinen Beweis würde jedenfalls so angehen.
Überlege mal, was passiert, wenn es eine generelle obere Schranke der Teilersumme gäbe.
>
> hat vlt jmd eine andere idee?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Mo 16.08.2010 | | Autor: | PeterB |
Also wenn es eine Übungsaufgabe ist, kannst Du dir natürlich Tipps holen, solltest aber vielleicht keine kompletten Lösungen erwarten.
Lass uns [mm] $\sigma(n)$ [/mm] für die Summe der positiven Teiler von schreiben.
Wichtig ist:
1) Verstehe die Aufgabe: Es ist zu zeigen, dass es ein n gibt mit [mm] $\sigma(n)>1000n$, [/mm] nicht, dass das für alle n gilt.
2) Diese Aufgabe ließe sich in der Tat dadurch lösen, dass du ein solches n angibst, allerdings ist das kleinste Beispiel ziemlich groß.
3) Wäre es wirklich hilfreich, wenn Du mal einen Ansatz hinschreibst: Was weißt du über [mm] $\sigma(n)$? [/mm] Kannst Du diese Funktion für spezielle n berechnen? Hat diese Funktion spezielle Eigenschaften, die ihr vielleicht in der Vorlesung besprochen habt?
Ich kann verstehen, dass Du etwas mehr erwartest, aber immerhin haben wir das erste Missverständnis schon mal beseitigt und Du hast noch nicht gezeigt, dass Du dir über die Aufgabe, wie sie gemeint ist, eigene Gedanken gemacht hast. Fang doch mal an, wenn es dann stockt, können wir sicher helfen.
Gruß
Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Fr 17.09.2010 | | Autor: | duda |
also meine vorgehensweise zu dieser aufgabe sieht wie folgt aus:
sei oBdA [mm] 2\delta(n) [/mm] = n [mm] \gdw \delta(n) [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \delta(n) \ge [/mm] 1000*n [mm] \gdw \bruch{n}{2} \ge [/mm] 1000*n.
ferner gilt folgende abschätzung:
[mm] \delta(n) \le 2\wurzel{n} \gdw \bruch{n}{2} \le 2\wurzel{1000n} \gdw \bruch{n}{2} \le 2*10\wurzel{10n} \Rightarrow [/mm] n [mm] \le [/mm] 16000.
ausprobiert: 16000 = [mm] 2^{7}*5^{3}, [/mm] delta(16000) = [mm] \bruch{16000}{2} [/mm] = 8000.
ich bin mir leider nicht so sicher, ob es so richtig ist, wie ich es gemacht hab.allerdings erhalte ich für n=16000 8000 und dies bestätigt doch die aussage.
|
|
|
| |
|
Hallo duda,
für meine letzte (unfreundliche) Antwort in diesem Thread möchte
ich mich entschuldigen.
Die Frage nach der Existenz von natürlichen Zahlen $n$ mit [mm] \sigma(n)\,>\,1000*n
[/mm]
scheint aber sehr wohl eine ganz interessante zu sein. Bei der
Suche nach solchen Zahlen bin ich beispielsweise auf den
Begriff "colossally abundant numbers" gestoßen sowie u.a.
auf den folgenden Artikel:
http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/fbereiche/AlgGeoFA/staff/bruinier/publications/mathsem.ps
Wenn man den mal durchschaut, wird klar, dass du wohl mit
deiner Frage ein Kapitel aus der höheren Zahlentheorie auf-
geschlagen hast. Es gibt sogar eine Querverbindung zur
berühmten, immer noch unbewiesenen Riemannschen Vermutung.
Woher hattest du denn die Frage ?
LG Al-Chw.
|
|
|
|
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
