Summe df < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Arastrus |
| Aufgabe | | Beweise oder widerlege: Summe von i=2 bis n [mm] (2/i^3-i)=1/2-1/n(n+1) [/mm] |
Sieht jemand gerade eben die Lösung? Bin gerade bischen brainfucked... Einfacher induktiver Ansatz gelingt mir irgendwie nicht, wirkt wie die Verkettung von summe von x=1 bis (x)=n*(n+1)/2 und der Formel der 3. Potenz, aber wie kommt eines der beiden in den Zähler?
Lg und vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Sa 09.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
So wie ich deine Formel lesen kann ist sie nichtmal für n=2 richtig.
überprüf mal , was da steht.
ich habe links 1/4-2=-7/4 raus, rechts 1/2-1/6 oder 1/2- 3/2 raus, beides stimmt nicht mit links.
Also bitte Formeleditor benutzen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Arastrus |
Du hast statt [mm] i^3 i^2 [/mm] links genommen, bitte beachte dies
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
Du musst bei dem summanden [mm] (1/(i^3-i)) [/mm] eine Partialbruchzerlegung machen!
[mm] [1/(i*(i-1)*(i+1))]=\bruch{a}{i}+\bruch{b}{i-1}+\bruch{c}{i+1}
[/mm]
dann bestimmst du a,b,c und dann müsste dabei eine Teleskopsumme rauskommen die sich fast rauskürzt!
Viel spaß noch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Arastrus |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=2}^{n} 2/(i^3-i) [/mm] = 1/2 - 1/(n*(n+1)) |
So, habs nochmal richtig abgetippt, denke, meine Aufgabenstellung war missverständlich. Danke für die Hilfe, werds mal probieren.
Lg
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Hallo Arastrus,
ich würde es mit vollständiger Induktion machen.
Im Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ musst du einmal "geschickt" ausklammern, dann sind das 4 Zeilen 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Arastrus |
Also Goge, mit deiner Methode komme ich noch nicht zum Ziel... Bin aber sicher, dass es richtig ist, nur ich zu blöd^^ Vollständige Induktion hatte ich schon probiert, aber ich suche mal das geschickte Ausklammern, vielleicht gehts dann^^
Lg und vielen lieben Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
Hey kumpane, bedenke aber dass die Formel auch falsch sein kann(was ich eher glaube):
darum wäre es vielleicht gar nicht mal so schlecht wenn du meinen weg weiterführst und zeigst dass diese aussage nicht stimmen kann.
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Hallo Gogeta,
ich habe mal die VI gemacht und danach stimmt die Aussage.
Das sind 4 oder 5 Zeilen im Induktionsschritt, wenn man vernünftig ausklammert
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
Ja ich hab auch gerade die Summe ausgerechnet und bin auch dazu gekommen dass es doch stimmt(aber mein ansatz war schon richtig du musstest nur noch 1/i zerlegen zu (1/2)*(1/i)+(1/2)*(1/i)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Arastrus |
Sodala, war noch mit was anderem beschäftigt.
Also demzufolge ist b=1, a=-2 und c=1, heben sich also auf und gehen in eine Teleskopsumme auf.
Hatte ich schon ewig nimmer, was über ne Teleskopsumme zu beweisen, aber gut. Was meintest du mit deinem letzten Post? Wo hast du ein 1/i?
Ich habe also nun a,b,c, wie stelle ich das nochmal in Relation zu 1/2 - 1/(n*(n+1))
Danke, Lg
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Stopp mal wenn ich n=2 habe dann bekomme ich bei der summe 1/(6)
aber die Formel ergiebt nur 1/2-1/(6)=1/3
die Formel ist falsch1
sie muss lauten 1/4-1/(n*(n+1))
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Hallo
[mm] $\sum\limits_{i=2}^2\frac{2}{i^3-i}=\frac{2}{2^3-2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
[/mm]
passt also
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Manatu |
und auf der anderen Seite bitte nicht verrechnen: Hier also der komplette Induktionsanfang auch noch:
Linke Seite:
[mm]\frac{2}{2^3-2}=\frac26=\frac13[/mm]
Rechte Seite:
[mm]\frac12-\frac16 = \frac36-\frac16=\frac26=\frac13[/mm],
Past also wirklich.
Jetzt sollte mit der Antwort unten keine Frage mehr offen sein. Wenn doch, einfach stellen.
Gruß, Manatu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
Ah verdammt ich hab die zwei übersehen!
Aber ich zeig mal wie ich das gemacht habe
ich klammer erst mal die 2 raus:
und partialisiere den Summanden
[mm] 1/(i^3-i)=(1/2)*(1/(i+1))-i+(1/2)*(1/(i-1))
[/mm]
Jetzt teile ich das i in zwei teile, wie vorher beschrieben:
=(1/2)*(1/(i+1))-(1/2)*(1/i)+(1/2)*(1/(i-1))-(1/2)*(1/i)
Jetzt bilde ich die Summe:
[mm] \summe_{i=2}^{n}[(1/2)*(1/(i+1))-(1/2)*(1/i)+(1/2)*(1/(i-1))-(1/2)*(1/i)]
[/mm]
Jetzt sehe ich,dass wir teleskopsummen haben:
(1/2)*[1/n+1-1/2+1-1/n]=1/4-1/2*1/(n*(n+1))
Jetzt nimmt man das ganze mal 2 und wenn ich mich nirgends vertippt habe ist der beweis vollbracht
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:02 So 10.02.2008 | | Autor: | Arastrus |
Eine 2 vergessen, aber schon selbst bemerkt. Danke für die Hilfe, habs jetzt auch mit der Teleskopsumme hinbekommen, VI ist wirklich zum *gähnen*
Vielen vielen Dank und einen schönen Sonntag
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Hallo,
die Koeffizienten stimmen, jetzt musst du aber noch plausibel machen, dass in der Teleskopsumme, die du bekommst, auch wirklich nur [mm] $\frac{1}{2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n(n+1)}$ [/mm] übrig bleibt.
Das ist nicht so augenscheinlich - wie ich finde - du musst schon ne ganze Menge Summanden der Teleskopsumme aufschreiben, um das zu verdeutlichen.
Wie gesagt, sauber und schnell geht's über VI, aber wie du's im Endeffekt machst , ist egel, solange du das hinreichend gut begründest
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo zusammen,
es stimmt schon, mit Induktion geht es sehr schnell und leicht. Den Induktionsanfang schenk ich mir mal, die Voraussetzung ist
[mm]\sum_{i=2}^{n}{\frac{2}{i^3-i}} = \frac12 - \frac{1}{n(n+1)}[/mm]
Der Induktionsschritt [mm]n\rightarrow n+1[/mm] geht dann z.B. so:
[mm]\sum_{i=2}^{n+1}{\frac{2}{i^3-i}}[/mm]
Summe teilen:
[mm]= \frac{2}{(n+1)^3-(n+1)} + \sum_{i=2}^{n}{\frac{2}{i^3-i}}[/mm]
Induktionsvoraussetzung anwenden:
[mm]= \frac{2}{(n+1)^3-(n+1)} + \frac12 - \frac{1}{n(n+1)}[/mm]
Das [mm]\frac12[/mm] ist prima, sortieren wir nach vorn:
[mm]= \frac12 + \frac{2}{(n+1)^3-(n+1)} - \frac{1}{n(n+1)}[/mm]
Rest auf Hauptnenner bringen und auf einen Bruch schreiben:
[mm]= \frac12 - \frac{-2n(n+1)+(n+1)^3-(n+1)}{n(n+1) ((n+1)^3-(n+1))}[/mm]
[mm](n+1)[/mm] ausklammern und den Rest ausmultiplizieren und ein bisschen umsortieren:
[mm]= \frac12 - \frac{(n+1)(n^2+2n+1-2n-1)}{n(n+1) (n^3+3n^2+3n+1-n-1)}[/mm]
[mm](n+1)[/mm] kürzen, zusammenfassen und noch ein [mm]n[/mm] ausklammern:
[mm]= \frac12 - \frac{n^2}{n^2 (n^2+3n+2)}[/mm]
[mm]n^2[/mm] kürzen und den verbleibenden Nenner (z.B. mit quadratischer Ergänzung) in Linearfaktoren zerlegt:
[mm]= \frac12 - \frac{1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
Das war zu zeigen.
Lieben Gruß,
Manatu
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Hallo Manatu,
ich würde sogar - anstatt den Hauptnenner zu bilden - direkt [mm] $\frac{1}{n+1}$ [/mm] ausklammern, dann geht's fast direkt durch Hinsehen
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
Naja induktion ist immer so geistlos, darum bevorzuge ich meistens den echten herleitungsweg:), sonst macht des ja gar keinen Spaß.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo schachuzipus,
stimmt. Das ist noch eleganter. Hatte euren Thread nur gerade entdeckt und dachte mir, mit Induktion muss es ja wirklich nach Schema-F gehen.
Et Voila...
Gruß,
Manatu
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