Summe n über k < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 07:49 Do 25.05.2017 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Gleichung für n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k}=\vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
unter Verwendung der folgenden Gleichungen
[mm] \vektor{k \\ k+1}=0 [/mm] und
[mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1}=\summe_{i=1}^{n}(\vektor{i \\ k+1}+\vektor{i \\ k}) [/mm] |
Hallo
Die gesamten Schritte schreibe ich nicht hin, denn ich habe nur eine Frage zum letzten Schritt.
Am Ende steht da
Letzter Schritt der Gleichung
[mm] \summe_{i=k}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1}- \summe_{i=k}^{n-1}\vektor{i+1 \\ k+1}^{ \*}=\vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
Mit einer Indexverschiebung sieht das so aus:
[mm] \summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k+1}^{ \*}
[/mm]
---> [mm] \summe_{i=k}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1}- \summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k+1}*
[/mm]
[mm] \summe_{i=k}^{n}(\vektor{i+1 \\ k+1}- \vektor{i \\ k+1})
[/mm]
=
[mm] \summe_{i=k}^{n}(\vektor{i \\ k+1}
[/mm]
=
[mm] \vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
Kann das richtig sein? Ich verstehe nur nicht warum ich wieder auf den Term vom Anfang [mm] \summe_{i=k}^{n}(\vektor{i \\ k+1} [/mm] zurück soll außer, dass ich die beiden Gleichungen benutzt habe (hier nicht gezeigt aber sie führen zu dem angegebenen vorletzten Term).
Vielen Dank
Benni
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Do 25.05.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
könntest du deine Frage einmal noch auf Fehler überprüfen (z.B.: wo ist da die angekündigte Indexverschiebung?) und in eine lesbare Form bringen?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> Lösen Sie folgende Gleichung für n [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k}=\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm]
>
> unter Verwendung der folgenden Gleichungen
>
> [mm]\vektor{k \\ k+1}=0[/mm] und
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1}=\summe_{i=1}^{n}(\vektor{i \\ k+1}+\vektor{i \\ k})[/mm]
Tatsächlich reicht [mm]\vektor{k \\ k+1}=0[/mm] nicht aus, denn wenn z.B. k=7 ist, taucht in der letzten Zeile in
[mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1} [/mm] als erstes der Summand [mm] \vektor{2\\ 8} [/mm] auf, der sich nicht als [mm] \vektor{k \\ k+1} [/mm] darstellt. [mm] \vektor{2\\ 8} [/mm] wäre aber gar nicht definiert.
Tatsächlich gilt: [mm] \vektor{a\\ b}=0, [/mm] falls b>a (a,b [mm] \in \IN_0).
[/mm]
Nun folgt ganz leicht aus der letzten Zeile:
[mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1}=\summe_{i=1}^{n}(\vektor{i \\ k+1}+\vektor{i \\ k})[/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{i \\ k}=\summe_{i=1}^{n} \vektor{i + 1\\ k+1}-\summe_{i=1}^{n}\vektor{i \\ k + 1}= (Indexverschiebung) \summe_{i=1}^{n} \vektor{i + 1\\ k+1}-\summe_{i=0}^{n-1}\vektor{i + 1 \\ k + 1}=\vektor{n + 1 \\ k + 1}-\vektor{ 1 \\ k + 1}[/mm],
also [mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{i \\ k}=\vektor{n + 1 \\ k + 1}-\vektor{ 1 \\ k + 1}[/mm].
Da links die Summanden für i<k alle 0 sind (s. meine Vorbemerkung) und der letzte Subtrahend für k>0 ebenfalls, lässt sich das schreiben als
[mm]\summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k}=\vektor{n + 1 \\ k + 1}[/mm].
Für k=0 verschwindet der Subtrahend nicht. Dafür gilt:
[mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{i \\ 0}=\summe_{i=0}^{n} [/mm] (1) = n + 1 = [mm] \vektor{n+1 \\ 0 + 1}. [/mm] Also ist das auch für k=0 richtig.
|
|
|
|
