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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Summe n über k
Summe n über k < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Summe n über k: Gleichung Summe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 07:49 Do 25.05.2017
Autor: b.reis

Aufgabe
Lösen Sie folgende Gleichung für n [mm] \in \IN [/mm]

[mm] \summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k}=\vektor{n+1 \\ k+1} [/mm]

unter Verwendung der folgenden Gleichungen

[mm] \vektor{k \\ k+1}=0 [/mm] und

[mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1}=\summe_{i=1}^{n}(\vektor{i \\ k+1}+\vektor{i \\ k}) [/mm]

Hallo


Die gesamten Schritte schreibe ich nicht hin, denn ich habe nur eine Frage zum letzten Schritt.


Am Ende steht da
Letzter Schritt der Gleichung

[mm] \summe_{i=k}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1}- \summe_{i=k}^{n-1}\vektor{i+1 \\ k+1}^{ \*}=\vektor{n+1 \\ k+1} [/mm]

Mit einer Indexverschiebung sieht das so aus:

[mm] \summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k+1}^{ \*} [/mm]

---> [mm] \summe_{i=k}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1}- \summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k+1}* [/mm]


[mm] \summe_{i=k}^{n}(\vektor{i+1 \\ k+1}- \vektor{i \\ k+1}) [/mm]
=
[mm] \summe_{i=k}^{n}(\vektor{i \\ k+1} [/mm]
=
[mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm]

Kann das richtig sein? Ich verstehe nur nicht warum ich wieder auf den Term vom Anfang [mm] \summe_{i=k}^{n}(\vektor{i \\ k+1} [/mm] zurück soll außer, dass ich die beiden Gleichungen benutzt habe (hier nicht gezeigt aber sie führen zu dem angegebenen vorletzten Term).

Vielen Dank
Benni

        
Bezug
Summe n über k: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:52 Do 25.05.2017
Autor: Diophant

Hallo,

könntest du deine Frage einmal noch auf Fehler überprüfen (z.B.: wo ist da die angekündigte Indexverschiebung?) und in eine lesbare Form bringen?


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Summe n über k: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Mo 29.05.2017
Autor: HJKweseleit


> Lösen Sie folgende Gleichung für n [mm]\in \IN[/mm]
>  
> [mm]\summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k}=\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm]
>  
> unter Verwendung der folgenden Gleichungen
>  
> [mm]\vektor{k \\ k+1}=0[/mm] und
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1}=\summe_{i=1}^{n}(\vektor{i \\ k+1}+\vektor{i \\ k})[/mm]




Tatsächlich reicht [mm]\vektor{k \\ k+1}=0[/mm] nicht aus, denn wenn z.B. k=7 ist, taucht in der letzten Zeile in

[mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1} [/mm] als erstes der Summand [mm] \vektor{2\\ 8} [/mm] auf, der sich nicht als [mm] \vektor{k \\ k+1} [/mm] darstellt. [mm] \vektor{2\\ 8} [/mm] wäre aber gar nicht definiert.

Tatsächlich gilt: [mm] \vektor{a\\ b}=0, [/mm] falls b>a (a,b [mm] \in \IN_0). [/mm]

Nun folgt ganz leicht aus der letzten Zeile:

[mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1}=\summe_{i=1}^{n}(\vektor{i \\ k+1}+\vektor{i \\ k})[/mm] [mm] \Rightarrow[/mm]  [mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{i \\ k}=\summe_{i=1}^{n} \vektor{i + 1\\ k+1}-\summe_{i=1}^{n}\vektor{i \\ k + 1}= (Indexverschiebung) \summe_{i=1}^{n} \vektor{i + 1\\ k+1}-\summe_{i=0}^{n-1}\vektor{i + 1 \\ k + 1}=\vektor{n + 1 \\ k + 1}-\vektor{ 1 \\ k + 1}[/mm],

also [mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{i \\ k}=\vektor{n + 1 \\ k + 1}-\vektor{ 1 \\ k + 1}[/mm].

Da links die Summanden für i<k alle 0 sind (s. meine Vorbemerkung) und der letzte Subtrahend für k>0 ebenfalls, lässt sich das schreiben als

[mm]\summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k}=\vektor{n + 1 \\ k + 1}[/mm].


Für k=0 verschwindet der Subtrahend nicht. Dafür gilt:

[mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{i \\ 0}=\summe_{i=0}^{n} [/mm] (1) = n + 1 = [mm] \vektor{n+1 \\ 0 + 1}. [/mm] Also ist das auch für k=0 richtig.


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