Summe vereinfachen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Tauphi |
Hallo,
ich habe eine wahrscheinlich etwas blöde Frage, aber ich komme bei der Auflösung einer Summe nicht richtig weiter ... Und zwar kann man, wenn man Summen ausrechnen will, die Apperate so umstellen, dass das alles recht einfach geht...
Zb bei der Addition...
[mm] \summe_{x=1}^{666}(5+x)
[/mm]
Kann ich schreiben...
[mm] \summe_{x=1}^{666}(5)+\summe_{x=1}^{666}(x)=5*666 [/mm] + [mm] \bruch{666*667}{2}
[/mm]
Genauso bei der Multiplikation...
[mm] \summe_{x=1}^{666}(5*x)
[/mm]
Kann ich schreiben...
[mm] 5*\summe_{x=1}^{666}(x)=5*\bruch{666*667}{2}
[/mm]
Das gleiche funzt auch bei der Subtraktion ...
Aber hier jetzt mein Problem, wie mache ich das bei einer Division? O.o
Ich krieg im folgenden die 5 nicht aus der Summe heraus, ohne ein falsches Ergebnis zu bekommen:
[mm] \summe_{x=1}^{666}(\bruch{5}{x})
[/mm]
Gibt es dafür irgendwie eine besondere Regel ? Eine kurze Abhilfe wäre super :)
Danke im voraus
Viele Grüße
Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
Es gilt ja [mm] $\bruch{5}{x} [/mm] \ = \ [mm] 5*\bruch{1}{x}$ [/mm] . Damit kannst Du die Reihe wie folgt umformen:
[mm] $$\summe_{x=1}^{666}\bruch{5}{x} [/mm] \ = \ [mm] 5*\summe_{x=1}^{666}\bruch{1}{x}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:46 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Tauphi |
Hallo Loddar,
danke für die Antwort. Das mit dem Ausklammern klingt schon mal gut ... Allerdings weiss ich nun nicht, wie ich dann folgende Summe ausrechne:
[mm] \summe_{x=1}^{666}\bruch{1}{x}
[/mm]
Gibt es dafür auch eine bestimmte Formel ähnlich wie die gaußsche Summenformel [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] ? Falls ja, gibt es darüberhinaus noch mehr und unter welchem Stichpunkt kann ich die alle nachlesen ? Ich kenn nur diese eine, leider ...
Viele Grüße
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
Die (unendliche) Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}$ [/mm] ist bekannt als "harmonische Reihe".
Für endliche Summenendwerte habe ich folgende ![[]](/images/popup.gif) Näherungsformel gefunden:
$$S(n) \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] \ln(n)+\gamma [/mm] \ = \ [mm] \ln(n)+0.5772...$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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