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Summe von Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 So 25.11.2012
Autor: Apfelchips

Aufgabe
Bestimmen Sie die Summe der folgenden Potenzreihe:

[mm]\summe_{n=0}^{\infty} \beta^{3n+1}*x^n[/mm]



Offensichtlich steckt hier die geometrische Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n = \bruch{1}{1-x}[/mm] drin.

Allerdings wäre da auch noch der von n abhängige Faktor [mm]\beta^{3n+1}[/mm] . Hier könnte ich zwar ein [mm]\beta[/mm] aus der Summe herausziehen (welches ja nicht von n abhängt), allerdings fehlen mir dann weitere Ansätze.

Habt Ihr hier einen Tipp für mich?

Viele Grüße
Patrick

        
Bezug
Summe von Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:42 So 25.11.2012
Autor: Richie1401

Hi,

> Bestimmen Sie die Summe der folgenden Potenzreihe:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \beta^{3n+1}*x^n[/mm]
>  
>
> Offensichtlich steckt hier die geometrische Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n = \bruch{1}{1-x}[/mm] drin.

Das ist korrekt.
[mm] \sum_{n=0}^{\infty} \beta^{3n+1}*x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\beta^{3n}*\beta*x^n=\beta\sum_{n=0}^{\infty}(\beta^3*x)^{n}=... [/mm]

Erkennst du in dem letzten Ausdruck die geometrische Reihe? Wenn nicht, dann schreibe [mm] x':=\beta^3*x [/mm]

>  
> Allerdings wäre da auch noch der von n abhängige Faktor
> [mm]\beta^{3n+1}[/mm] . Hier könnte ich zwar ein [mm]\beta[/mm] aus der
> Summe herausziehen (welches ja nicht von n abhängt),
> allerdings fehlen mir dann weitere Ansätze.
>  
> Habt Ihr hier einen Tipp für mich?
>  
> Viele Grüße
>  Patrick


Bezug
                
Bezug
Summe von Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 So 25.11.2012
Autor: Apfelchips


Hi Richie,

danke für Deine Hilfe!

Da waren meine Ansätze mit der geometrischen Reihe und dem "Herausziehen" von [mm]\beta[/mm] ja gar nicht so übel.

Dank Deiner Tipps komme ich jetzt auf:

[mm]\sum_{n=0}^{\infty} \beta^{3n+1}*x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\beta^{3n}*\beta*x^n=\beta\sum_{n=0}^{\infty}(\beta^3*x)^{n}= \beta * \bruch{1}{1-\beta^3 * x} = \bruch{\beta}{1-\beta^3 * x}[/mm]

Das sollte stimmen, oder?

Bezug
                        
Bezug
Summe von Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 So 25.11.2012
Autor: Richie1401

Hallo,

>
> Hi Richie,
>  
> danke für Deine Hilfe!
>  
> Da waren meine Ansätze mit der geometrischen Reihe und dem
> "Herausziehen" von [mm]\beta[/mm] ja gar nicht so übel.
>  
> Dank Deiner Tipps komme ich jetzt auf:
>  
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \beta^{3n+1}*x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\beta^{3n}*\beta*x^n=\beta\sum_{n=0}^{\infty}(\beta^3*x)^{n}= \beta * \bruch{1}{1-\beta^3 * x} = \bruch{\beta}{1-\beta^3 * x}[/mm]
>  
> Das sollte stimmen, oder?

So sei es und nicht anders.

Bezug
                                
Bezug
Summe von Potenzreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 So 25.11.2012
Autor: Apfelchips

Ich danke Dir. :-)

Bezug
                        
Bezug
Summe von Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 So 25.11.2012
Autor: Marcel

Hallo,

>
> Hi Richie,
>  
> danke für Deine Hilfe!
>  
> Da waren meine Ansätze mit der geometrischen Reihe und dem
> "Herausziehen" von [mm]\beta[/mm] ja gar nicht so übel.
>  
> Dank Deiner Tipps komme ich jetzt auf:
>  
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \beta^{3n+1}*x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\beta^{3n}*\beta*x^n=\beta\sum_{n=0}^{\infty}(\beta^3*x)^{n}= \beta * \bruch{1}{1-\beta^3 * x} = \bruch{\beta}{1-\beta^3 * x}[/mm]
>  
> Das sollte stimmen, oder?

ja - sofern denn [mm] $|\beta^3*x| [/mm] < [mm] 1\,$... [/mm]
Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Summe von Potenzreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:54 So 25.11.2012
Autor: Apfelchips

Hallo Marcel,

> ja - sofern denn [mm]|\beta^3*x| < 1\,[/mm]...

ja - denn das ist auch genau der Konvergenzradius.

Gruß
Patrick

Bezug
                                        
Bezug
Summe von Potenzreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:09 So 25.11.2012
Autor: Marcel

Hallo Patrick,

> Hallo Marcel,
>  
> > ja - sofern denn [mm]|\beta^3*x| < 1\,[/mm]...
>  
> ja - denn das ist auch genau der Konvergenzradius.

den Zusatz solltest Du aber nicht unterschlagen. Übrigens gilt sogar mehr:
Die geometrische Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$ [/mm] sogar in $q [mm] \in \IC$ [/mm] ist
genau konvergent für $|q| < [mm] 1\,.$ [/mm]

Denn wenn Du nur sagst, dass [mm] $r=1\,$ [/mm] der Konvergenzradius der
Potenzreihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^k$ [/mm] ist, dann hast Du noch
keine Aussage darüber gemacht, was im Falle [mm] $|x-x_0|=1\,$ [/mm] passiert!
(Du weißt dann nur: Für [mm] $|x-x_0| [/mm] > 1$ divergiert, und für [mm] $|x-x_0|< [/mm] 1$
konvergiert die Reihe.)

Und dass [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$ [/mm] für [mm] $|q|=1\,$ [/mm] auch divergiert, ist klar:
Andernfalls wäre nämlich [mm] $(q^n)_n$ [/mm] dann eine Nullfolge. Aber
[mm] $|q^n|=|q|^n=1$ [/mm] widerspricht dem...

Gruß,
  Marcel

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