Summe von Räumen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Sei [mm] \beta [/mm] eine symmetrische Bilinearform auf V (Vektorraum).
Für einen Unterraum W [mm] \subset [/mm] V ist [mm] W^\perp [/mm] := [mm] \{v \in V | \beta(v,w)=0 \forall w \in W\}
[/mm]
Zeige:
[mm] (W_1+W_2)^\perp=W_1^\perp \cap W_2^\perp [/mm] |
Hallo,
ich habe zunächst ein Problem, was ich mir unter der Summe zweier Räume vorstellen soll.
Zum Anderen: wie geht man an einen solchen Beweis ran? Nimmt man sich jeweils Vektoren aus den beiden Räumen und zeigt es anhand dieser Vektoren?
Sei v [mm] \in [/mm] V
Sei [mm] w_1 \in W_1
[/mm]
Sei [mm] w_2 \in W_2
[/mm]
[mm] (W_1+W_2)^\perp [/mm] = [mm] \{v \in V | \beta(v,w_1+w_2)=0 \forall (w_1+w_2)\in (W_1+W_2)\}
[/mm]
Weiter komm ich nicht.
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Sei [mm]\beta[/mm] eine symmetrische Bilinearform auf V
> (Vektorraum).
> Für einen Unterraum W [mm]\subset[/mm] V ist [mm]W^\perp[/mm] := [mm]\{v \in V | \beta(v,w)=0 \forall w \in W\}[/mm]
>
> Zeige:
> [mm](W_1+W_2)^\perp=W_1^\perp \cap W_2^\perp[/mm]
> Hallo,
> ich habe zunächst ein Problem, was ich mir unter der Summe
> zweier Räume vorstellen soll.
Sind A,B zwei Vektorräume, so ist A+B der Vektorraum, in welchem du jedes Element [mm] c\in [/mm] A+B darstellen kannst als c=a+b mit [mm] a\in [/mm] A und [mm] b\in [/mm] B.
Eine geometrische Verdeutlichung: Wenn du im [mm] \IR^3 [/mm] zwei Geraden hast (die durch den Ursprung gehen) , dann sind das ja eindimensionale UVR. Wenn du von denen die Summe nimmst, dann hast du eine Fläche, nämlich die, die die beiden Geraden aufspannen - das wär dann ein zwei-dimensionaler UVR.
> Zum Anderen: wie geht man an einen solchen Beweis ran?
> Nimmt man sich jeweils Vektoren aus den beiden Räumen und
> zeigt es anhand dieser Vektoren?
>
Vektorräume sind Mengen. Also musst du zeigen [mm] (W_1+W_2)^\perp \subset W_1^\perp \cap W_2^\perp [/mm] und [mm] W_1^\perp \cap W_2^\perp \subset (W_1+W_2)^\perp.
[/mm]
> Sei v [mm]\in[/mm] V
> Sei [mm]w_1 \in W_1[/mm]
> Sei [mm]w_2 \in W_2[/mm]
>
> [mm](W_1+W_2)^\perp[/mm] = [mm]\{v \in V | \beta(v,w_1+w_2)=0 \forall (w_1+w_2)\in (W_1+W_2)\}[/mm]
>
> Weiter komm ich nicht.
>
Sei [mm] v\in (W_1+W_2)^\perp. [/mm] Dann ist [mm] \beta(v,w_1+w_2)=0 \forall w_1 \in W_1, w_2 \in W_2. [/mm] Jetzt die Linearität der Bilinearform ausnutzen. [mm] \beta(v,w_1+w_2)=\beta(v,w_1)+\beta(v,w_2)=0 \forall w_1 \in W_1, w_2 \in W_2. [/mm] Hieraus musst du jetzt folgern, dass
v [mm] \in W_1^\perp \cap W_2^\perp [/mm] ist.
Und dann noch die andere Richtung der Inklusion zeigen.
> Gruß,
> Rutzel
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