Summe von cos(kx) < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mi 04.02.2015 | | Autor: | sandroid |
| Aufgabe | Vorausgehendes:
E(x) := cos(x) + i * sin(x)
Es gilt:
1) [mm] (E(x))^{n} [/mm] = E(nx)
2) E(x)E(y) = E(x+y)
3) [mm] 1+E(x)+E(2x)+...+E(nx)=\bruch{1-E((n+1)x)}{1-E(x)}*\bruch{E(-\bruch{x}{2})}{E(-\bruch{x}{2})}=\bruch{E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{2n+1}{2}x)}{E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{x}{2})} [/mm] (Wegen geometrischer Reihe)
Aufgabe:
Zeige: Indem man [mm] E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{x}{2}) [/mm] = -2 i [mm] sin(\bruch{x}{2}) [/mm] beachtet und die Real- und Imaginärteile vergleicht, erhält man:
[mm] \bruch{1}{2}+cos(x)+cos(2x)+...+cos(nx)=\bruch{sin(2n+1)\bruch{x}{2}}{2sin(\bruch{x}{2})} [/mm] |
Hallo,
schon wieder eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme.
Gehe ich recht der Annahme, dass mich nur die Realanteile interessieren, und ich deswegen aus der Formel 3) einfach sämtliche imaginären Teile ignorieren, sprich heruasstreichen darf? Dann gäbe das für die linke Seite von 3):
1 + E(x) + (E2x) + ... + E(nx) = 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx).
Für die rechte Seite von 3) kann ich den Nenner wie in der Aufgabe hingewiesen ersetzen durch -2 i [mm] sin(\bruch{x}{2}).
[/mm]
Vielen Dank für jede Unterstützung.
Gruß,
sandroid
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Mi 04.02.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Hallo,
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> schon wieder eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme.
>
> Gehe ich recht der Annahme, dass mich nur die Realanteile
> interessieren, und ich deswegen aus der Formel 3) einfach
> sämtliche imaginären Teile ignorieren, sprich
> heruasstreichen darf? Dann gäbe das für die linke Seite
> von 3):
>
> 1 + E(x) + (E2x) + ... + E(nx) = 1 + cos(x) + cos(2x) + ...
> + cos(nx).
Das ist doch nicht wahr.
Wegen 3) gilt $ [mm] 1/2+E(x)+E(2x)+...+E(nx)=\bruch{\cos x/2-E(\bruch{2n+1}{2}x)}{E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{x}{2})} [/mm] $
Bile auf beiden Seiten den Realteil und verwende $ [mm] E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{x}{2}) [/mm] $ = -2 i $ [mm] \sin(\bruch{x}{2}) [/mm] $
> Für die rechte Seite von 3) kann ich den Nenner wie in der
> Aufgabe hingewiesen ersetzen durch -2 i [mm]sin(\bruch{x}{2}).[/mm]
>
> Vielen Dank für jede Unterstützung.
>
> Gruß,
> sandroid
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mi 04.02.2015 | | Autor: | sandroid |
Hallo andyv, vielen Dank für deine Antwort.
Ich kann der jedoch leider noch nicht folgen.
Wie kommst du von
$ [mm] 1+E(x)+E(2x)+...+E(nx)=\bruch{1-E((n+1)x)}{1-E(x)}\cdot{}\bruch{E(-\bruch{x}{2})}{E(-\bruch{x}{2})}=\bruch{E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{2n+1}{2}x)}{E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{x}{2})} [/mm] $
zu
$ [mm] 1/2+E(x)+E(2x)+...+E(nx)=\bruch{\cos x/2-E(\bruch{2n+1}{2}x)}{E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{x}{2})} [/mm] $
?
Und wie kann ich nachher den Realanteil im Nenner herausfinden? Muss ich den Bruch erst so erweitern, dass ich einen realen Nenner erhalte?
Gruß,
sandroid
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mi 04.02.2015 | | Autor: | andyv |
> Hallo andyv, vielen Dank für deine Antwort.
>
> Ich kann der jedoch leider noch nicht folgen.
>
> Wie kommst du von
>
> [mm]1+E(x)+E(2x)+...+E(nx)=\bruch{1-E((n+1)x)}{1-E(x)}\cdot{}\bruch{E(-\bruch{x}{2})}{E(-\bruch{x}{2})}=\bruch{E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{2n+1}{2}x)}{E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{x}{2})}[/mm]
>
> zu
>
> [mm]1/2+E(x)+E(2x)+...+E(nx)=\bruch{\cos x/2-E(\bruch{2n+1}{2}x)}{E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{x}{2})}[/mm]
>
Es ist $ [mm] \bruch{E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{2n+1}{2}x)}{E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{x}{2})}-1/2=\bruch{\cos x/2-E(\bruch{2n+1}{2}x)}{E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{x}{2})} [/mm] $, denn [mm] $E(x/2)+E(-x/2)=2\cos [/mm] x/2$
>
> Und wie kann ich nachher den Realanteil im Nenner
> herausfinden? Muss ich den Bruch erst so erweitern, dass
> ich einen realen Nenner erhalte?
Brauchst du nicht unbedingt. Wenn du [mm] $E(x/2)-E(-x/2)=2\mathrm{i}\sin [/mm] x/2$ verwendest, solltest du den Realteil ablesen können. Ansonsten verwende [mm] $1/\mathrm{i}=-\mathrm{i}$.
[/mm]
>
> Gruß,
> sandroid
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:53 Do 05.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vorausgehendes:
>
> E(x) := cos(x) + i * sin(x)
>
> Es gilt:
>
> 1) [mm](E(x))^{n}[/mm] = E(nx)
> 2) E(x)E(y) = E(x+y)
> 3)
> [mm]1+E(x)+E(2x)+...+E(nx)=\bruch{1-E((n+1)x)}{1-E(x)}*\bruch{E(-\bruch{x}{2})}{E(-\bruch{x}{2})}=\bruch{E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{2n+1}{2}x)}{E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{x}{2})}[/mm]
> (Wegen geometrischer Reihe)
>
> Aufgabe:
>
> Zeige: Indem man [mm]E(-\bruch{x}{2})-E(\bruch{x}{2})[/mm] = -2 i
> [mm]sin(\bruch{x}{2})[/mm] beachtet und die Real- und Imaginärteile
> vergleicht, erhält man:
>
> [mm]\bruch{1}{2}+cos(x)+cos(2x)+...+cos(nx)=\bruch{sin(2n+1)\bruch{x}{2}}{2sin(\bruch{x}{2})}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ich würde mit (dem zweifachen) der rechten Seite anfangen, indem ich
dort erstmal die Terme ein wenig umschreibe:
I.) Aus
$E(x)-E(-x)=\cos(x)+i\sin(x)-(\cos(-x)+i\sin(-x))=...=2i\sin(x)$
folgt
$\sin(x)=\frac{E(x)-E(-x)}{2i}\,.$
II.) Daraus folgt
$\frac{\sin(\tfrac{2n+1}{2}x)}{\sin(x/2)}=\frac{E(\tfrac{2n+1}{2}x)-E(-\tfrac{2n+1}{2}x)}{E(x/2)-E(-x/2)}.$
(Beachte, dass bei mir linkerhand der Faktor $1/2$ fehlt!)
III.) Damit ergibt sich
$\frac{\sin(\tfrac{2n+1}{2}x)}{\sin(x/2)}=\frac{E(\tfrac{2n+1}{2}x)-E(-x/2)+E(-x/2)-E(-\tfrac{2n+1}{2}x)}{E(x/2)-E(-x/2)}=\frac{E(-x/2)-E(\tfrac{2n+1}{2}x)}{E(-x/2)-E(x/2)}\;+\;\frac{E(-x/2)-E(-\tfrac{2n+1}{2}x)}{E(x/2)-E(-x/2)}$.
IV) Wegen 3) folgt
$\frac{\sin(\tfrac{2n+1}{2}x)}{\sin(x/2)}=\left(\sum_{k=0}^n E(kx)\right)\;+\;\frac{E(-x/2)-E(-\tfrac{2n+1}{2}x)}{E(x/2)-E(-x/2)}$
$=\left(\sum_{k=0}^n E(kx)\right)\;+\;\frac{E(-x/2)-E(x/2)+E(x/2)-E(-\tfrac{2n+1}{2}x)}{E(x/2)-E(-x/2)}$
$=\left(\sum_{k=0}^n E(kx)\right)\;-\;1\;+\;\frac{E(x/2)-E(-\tfrac{2n+1}{2}x)}{E(x/2)-E(-x/2)}$
Nun mache Dir mal $E(-x)=\overline{E(x)}$ klar und berechne mal
$\overline{\sum_{k=0}^n E(kx)}=\sum_{k=0}^n \overline{E(kx)}=\sum_{k=0}^n E(k*(-x))$
mit der Formel aus 3.).
Dann solltest Du insgesamt sehen
$\frac{\sin(\tfrac{2n+1}{2}x)}{\sin(x/2)}=\left(\sum_{k=0}^n \{E(kx)+\overline{E(kx)}\}\right)-1.$
Und wegen $z+\overline{z}=2\text{Re}(z)$ folgt dann die Behauptung, wenn
man beide Seiten der Gleichung noch durch 2 teilt.
Wenn Dir das Ganze zu undurchsichtig ist: Fange doch einfach mit
$1/2+\cos(x)+...+\cos(nx)=\sum_{k=0}^n \cos(kx)\;-\,\frac{1}{2}=...=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^n \{E(kx)+\overline{E(kx)}\right)-\frac{1}{2}$
an und forme dann so um, wie es mein Rechenweg zeigt, wenn man ihn
*rückwärts* verfolgt.
Gruß,
Marcel
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