Summe zweier Reihen beschränkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Do 21.11.2013 | | Autor: | Rated-R |
Hi,
ich habe eine Frage zu einer Sache bei der ich nicht ganz dahinter komme
Angenommen ich habe zwei folgen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] die deren Reihe [mm] \summe_{i=1}^{infinity} a_j^2 \le [/mm] C bzw. [mm] \summe_{i=1}^{infinity} b_j^2 \le [/mm] B
Wenn man jetzt die summe bildet [mm] \summe_{i=1}^{infinity} (a_n+b_n)^2 =\summe_{i=1}^{infinity} a_n^2 [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{infinity} 2*a_n*b_n +\summe_{i=1}^{infinity} b_n^2 [/mm]
der erste und der dritte Term sind klar beschränkt, aber der mittlere, wie kann ich zeigen das auch dieser term beschränkt ist? ich komm leider nicht drauf und finde auch kein gegenbeispiel.
Vielen Dank! Gruß Tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Do 21.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tom!
> Angenommen ich habe zwei folgen [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] die deren Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{infinity} a_j^2 \le[/mm] C bzw. [mm]\summe_{i=1}^{infinity} b_j^2 \le[/mm] B
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]") Sauberer formulieren. Die Indizes und die Laufvariable sollten schon jeweils übereinstimmen.
Du hast hier mit $i_$ und j_$ unterschieldiche Bezeichnungen.
> Wenn man jetzt die summe bildet [mm]\summe_{i=1}^{infinity} (a_n+b_n)^2 =\summe_{i=1}^{infinity} a_n^2[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{infinity} 2*a_n*b_n +\summe_{i=1}^{infinity} b_n^2[/mm]
Auch hier aufpassen mit Laufvariablen und Indizes!
> der erste und der dritte Term sind klar beschränkt, aber der mittlere, wie kann ich zeigen das auch dieser term
> beschränkt ist?
Wähle Dir als Hilfsfolge [mm] $c_n [/mm] \ := \ [mm] \max\left\{a_n;b_n\right\}$ [/mm] .
Damit ergibt sich: [mm] $\summe_{\red{n}=1}^{\infty}\left(a_n*b_n\right) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_n^2 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \max\{C;B\}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Do 21.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Loddar,
> Hallo Tom!
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> > Angenommen ich habe zwei folgen [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] die deren
> Reihe
> > [mm]\summe_{i=1}^{infinity} a_j^2 \le[/mm] C bzw.
> [mm]\summe_{i=1}^{infinity} b_j^2 \le[/mm] B
>
> Sauberer formulieren. Die Indizes und die
> Laufvariable sollten schon jeweils übereinstimmen.
> Du hast hier mit $i_$ und j_$ unterschieldiche
> Bezeichnungen.
>
>
> > Wenn man jetzt die summe bildet [mm]\summe_{i=1}^{infinity} (a_n+b_n)^2 =\summe_{i=1}^{infinity} a_n^2[/mm]
> + [mm]\summe_{i=1}^{infinity} 2*a_n*b_n +\summe_{i=1}^{infinity} b_n^2[/mm]
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> Auch hier aufpassen mit Laufvariablen und Indizes!
>
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> > der erste und der dritte Term sind klar beschränkt, aber
> der mittlere, wie kann ich zeigen das auch dieser term
> > beschränkt ist?
>
> Wähle Dir als Hilfsfolge [mm]c_n \ := \ \max\left\{a_n;b_n\right\}[/mm]
> .
>
> Damit ergibt sich:
> [mm]\summe_{\red{n}=1}^{\infty}\left(a_n*b_n\right) \ \le \ \summe_{n=1}^{\infty}c_n^2 \ \le \ \max\{C;B\}[/mm]
warum sollte [mm] $\sum {c_n}^2$ [/mm] existieren?
(Edit: hat sich erledigt, ich habe zu wenig nachgedacht bzw. zu schnell
gefragt:
[mm] $\sum {c_n}^2 \le \sum {a_n}^2+{b_n}^2 \le [/mm] C+B$
würde das ja auch begründen [einfach, weil [mm] $\max\{r,s\} \le [/mm] r+s$ für alle $r,s [mm] \ge [/mm] 0$
gilt.] 
Allerdings:
[mm] $\sum {c_n}^2 \le \max\{C;\,B\}$
[/mm]
sehe ich gerade auf die Schnelle nicht ein... Was nicht unbedingt heißt,
dass das falsch wäre...)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Do 21.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
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> ich habe eine Frage zu einer Sache bei der ich nicht ganz
> dahinter komme
>
> Angenommen ich habe zwei folgen [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] die deren Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{infinity} a_j^2 \le[/mm] C bzw.
> [mm]\summe_{i=1}^{infinity} b_j^2 \le[/mm] B
>
> Wenn man jetzt die summe bildet [mm]\summe_{i=1}^{infinity} (a_n+b_n)^2 =\summe_{i=1}^{infinity} a_n^2[/mm]
> + [mm]\summe_{i=1}^{infinity} 2*a_n*b_n +\summe_{i=1}^{infinity} b_n^2[/mm]
>
> der erste und der dritte Term sind klar beschränkt, aber
> der mittlere, wie kann ich zeigen das auch dieser term
> beschränkt ist? ich komm leider nicht drauf und finde auch
> kein gegenbeispiel.
ich schreibe einfach nur noch [mm] $\sum a_n$ [/mm] anstatt [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] etc.
Beachte, dass
[mm] $2|a_nb_n| \le {a_n}^2+{b_n}^2$
[/mm]
gilt (wegen [mm] $(|a_n|-|b_n|)^2 \ge [/mm] 0$).
Daraus folgt wegen $r [mm] \;\le\;|r|$ [/mm] für alle $r [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $\sum 2a_nb_n \;\;\le\;\;\sum |2a_nb_n| \;\;\le\;\; \sum{a_n}^2\;+\;\sum {b_n}^2\;\;\le\;\;C+B\,.$
[/mm]
P.S. Wie Du siehst, kannst Du auch einfach die Summe der Reihenwerte,
also [mm] $\sum {a_n}^2\;+\;\sum {b_n}^2,$ [/mm] als obere Schranke verwenden. (Warum müssen
die beiden erwähnten Reihen denn konvergieren?)
Gruß,
Marcel
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