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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Summen Beweis
Summen Beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Summen Beweis: Korrektur, Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 So 13.11.2016
Autor: sinnlos123

Aufgabe
Für einen Körper [mm] K,x\in [/mm] K und [mm] n\in\mathbb{N}_0 [/mm] sei [mm] x^n [/mm] rekursiv durch [mm] x^0:=1, x^{n+1}:=x*x^n [/mm] definiert und das Summenzeichen als [mm] \sum_{k=0}^{0}f(k):=0, \sum_{k=0}^{n+1}:=f(n+1)+\sum_{k=0}^{n}f(k). [/mm]
Zeigen Sie für [mm] n\in\mathbb{N}_0 [/mm] und [mm] x\not=1 $$\sum_{k=0}^{n}x^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$$ [/mm]

Zu zeigen: für alle [mm] $n\in\mathbb{N}_0$ [/mm] und [mm] $1\not=x\in\mathbb{K}$ [/mm] gilt: [mm] $$\sum_{k=0}^{n}x^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$$ [/mm]
[mm] \underline{Induktionsanfang} [/mm]
n=0
[mm] $$\sum_{k=0}^{0}x^k=x^0=1$$ $$\frac{x^1-1}{x-1}=1$$ [/mm]
[mm] \underline{Induktionsvoraussetzung} [/mm]
Für ein n=j gilt [mm] $$\sum_{k=0}^{j}x^k=\frac{x^{j+1}-1}{x-1}$$ [/mm]
[mm] \underline{Induktionsbehauptung} [/mm]
Für n=j+1 gilt [mm] $$\sum_{k=0}^{j+1}x^k=\frac{x^{j+2}-1}{x-1}$$ [/mm]
[mm] \underline{Induktionsschritt} [/mm]
Sei $n=j+1$
Es ist [mm] $$\sum_{k=0}^{j+1}x^k=x^{j+1}+\sum_{k=0}^{j}x^k$$ [/mm]
Nun setzen wir die Induktionsvoraussetzung ein und erhalten
[mm] $$x^{j+1}+\frac{x^{j+1}-1}{x-1}$$ [/mm]
[mm] $$=\frac{x-1}{x-1}x^{j+1}+\frac{x^{j+1}-1}{x-1}$$ [/mm]
[mm] $$=\frac{(x-1)x^{j+1}+x^{j+1}-1}{x-1}$$ [/mm]
[mm] $$=\frac{x^{j+2}-x^{j+1}+x^{j+1}-1}{x-1}$$ [/mm]
[mm] $$=\frac{x^{j+2}-1}{x-1}$$ [/mm]
q.e.d.

Ist ein Tipfehler in der zitierten Aufgabe? Sie ist genauso wie ich sie gestellt bekomme, aber für mich macht die Definition [mm] $\sum_{k=0}^{0}f(k):=0$ [/mm] keinen Sinn.

Ansonsten bitte sagen ob der Beweis ok ist.

        
Bezug
Summen Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 So 13.11.2016
Autor: tobit09

Hallo sinnlos123!


> Ist ein Tipfehler in der zitierten Aufgabe? Sie ist genauso
> wie ich sie gestellt bekomme, aber für mich macht die
> Definition [mm]\sum_{k=0}^{0}f(k):=0[/mm] keinen Sinn.

Du hast Recht. Es soll sicherlich [mm] $\sum_{k=0}^{0}f(k):=f(0)$ [/mm] heißen.


> Ansonsten bitte sagen ob der Beweis ok ist.

[ok] Alles bestens! :-)


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Summen Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 So 13.11.2016
Autor: sinnlos123

Danke Tobias!

Wo kommt denn eigentlich zu tragen, dass [mm] x\in [/mm] K ist? (im Beweis mein ich)

Das [mm] x\not=1 [/mm] ist, sieht man ja sofort, aber was wäre wenn [mm] x\not\in [/mm] K ist?

Gruß
Jan

Bezug
                        
Bezug
Summen Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 So 13.11.2016
Autor: tobit09


> Wo kommt denn eigentlich zu tragen, dass [mm]x\in[/mm] K ist? (im
> Beweis mein ich)
>  
> Das [mm]x\not=1[/mm] ist, sieht man ja sofort, aber was wäre wenn
> [mm]x\not\in[/mm] K ist?

Schon in der Behauptung wird summiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert.
Die wohl vertrauteste algebraische Struktur, in der dies möglich ist, ist die eines Körpers.
Was sollten die Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten bedeuten, wenn [mm] $x\notin [/mm] K$ wäre?

Bezug
                                
Bezug
Summen Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 So 13.11.2016
Autor: sinnlos123

Hallo Tobias,

Ah ok, das macht natürlich Sinn.

Beziehungsweise: wenn [mm] $x\not\in [/mm] K$, dann machen die Operationen keinen Sinn.

Beziehungsweise die Aussage erhebt ja garnicht den Anspruch etwas darüber auszusagen. Und das ist der Punkt oder?

Gruß
Jan

Bezug
                                        
Bezug
Summen Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:10 Mo 14.11.2016
Autor: DieAcht

Hallo sinnlos123!


> Beziehungsweise: wenn [mm]x\not\in K[/mm], dann machen die
> Operationen keinen Sinn.

Auf was willst Du hinaus? "Woher" ist denn [mm] $x\$, [/mm] wenn [mm] $x\$ [/mm] selbst kein Element aus [mm] $K\$ [/mm] ist? ;-)

> Beziehungsweise die Aussage erhebt ja garnicht den Anspruch
> etwas darüber auszusagen. Und das ist der Punkt oder?

Richtig. Tobias hat es auf den Punkt gebracht:

> Schon in der Behauptung wird summiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert.
> Die wohl vertrauteste algebraische Struktur, in der dies möglich ist, ist die eines Körpers.


Gruß
DieAcht

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