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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:41 Sa 25.02.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Unter der Annahme n [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \in \IK [/mm] zeige
[mm] M_{n \times n} (\IK) [/mm] = W [mm] \oplus [/mm] W'
und gib Formeln für die Projektion auf W längs W' sowie die Projektion W' längs W an.
Menge der suprfreien Matrizen [mm] W:=\{A \in M_{n \times n} (\IK): tr(A)=0\}
[/mm]
Vielfache der Einheitsmatrix [mm] W':=\{ \lambda I_n: \lambda \in \IK \} [/mm] |
Hallo!!
ZZ: W [mm] \cap [/mm] W' = 0
V [mm] \in [/mm] W -> tr(V)=0
V [mm] \in [/mm] W' -> W= [mm] \lambda [/mm] * [mm] I_n
[/mm]
v [mm] \in [/mm] W [mm] \cap [/mm] W'
=> [mm] tr(\lambda I_n) =\lambda [/mm] * [mm] tr(I_n) [/mm] =0
also muss [mm] \lambda [/mm] =0 sein um =0 zu erreichen.
[mm] \lambda*I_n [/mm] =0 [mm] I_n [/mm] =0
ZZ:
W+W' = [mm] M_{n \times n} (\IK)
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & x_{12}&x_{13}&...&x_{1n} \\ x_{21} & 0&x_{23}&...&x_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&...&\cdots\\x_{n1}&x_{n2}&x_{n3}&...&0 } [/mm] + [mm] \lambda *\pmat{ 1 & 0&0&...&0 \\ 0 & 1&0&...&0\\\vdots&\vdots&\ddots&...&\cdots\\0&0&0&...&1 } [/mm]
Hab ich es mir das zu einfach gemacht? Weil in der Diagonale müsse ja so immer die selbe Zahl vorkommen..
[mm] \pi_1(W)=W
[/mm]
[mm] \pi_1(W')=0
[/mm]
V [mm] \in M_{n \times n} (\IK)
[/mm]
[mm] \pi_1 (V)=\pi_1(\pmat{ \lambda & x_{12}&x_{13}&...&x_{1n} \\ x_{21} & \lambda&x_{23}&...&x_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&...&\cdots\\x_{n1}&x_{n2}&x_{n3}&...&\lambda})=\pmat{ 0 & x_{12}&x_{13}&...&x_{1n} \\ x_{21} & 0&x_{23}&...&x_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&...&\cdots\\x_{n1}&x_{n2}&x_{n3}&...&0 }
[/mm]
Was ist die Basis von V? Oder wie komme ich da weiter, wenn ich nicht schon falsch bin.
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> Unter der Annahme n [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\in \IK[/mm] zeige
> [mm]M_{n \times n} (\IK)[/mm] = W [mm]\oplus[/mm] W'
> und gib Formeln für die Projektion auf W längs W' sowie
> die Projektion W' längs W an.
> Menge der suprfreien Matrizen [mm]W:=\{A \in M_{n \times n} (\IK): tr(A)=0\}[/mm]
>
> Vielfache der Einheitsmatrix [mm]W':=\{ \lambda I_n: \lambda \in \IK \}[/mm]
>
> Hallo!!
>
Hallo!
> ZZ: W [mm]\cap[/mm] W' = 0
Sei [mm] V\in [/mm] W [mm] $\cap$ [/mm] W'.
Dann ist
> V [mm]\in[/mm] W -> tr(V)=0
und
> V [mm]\in[/mm] W' -> W= [mm]\lambda[/mm] * [mm]I_n[/mm]
> v [mm]\in[/mm] W [mm]\cap[/mm] W'
> => [mm]tr(\lambda I_n) =\lambda[/mm] * [mm]tr(I_n)[/mm] [mm] =\red{\lambda*n=}0
[/mm]
> also muss [mm]\lambda[/mm] =0 sein um =0 zu erreichen.
> [mm]\lambda*I_n[/mm] =0 [mm]I_n[/mm] =0
Nein. Sondern [mm] V=0*I_n=0.
[/mm]
>
>
> ZZ:
> W+W' = [mm]M_{n \times n} (\IK)[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & x_{12}&x_{13}&...&x_{1n} \\
x_{21} & 0&x_{23}&...&x_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&...&\cdots\\
x_{n1}&x_{n2}&x_{n3}&...&0 }[/mm]
> + [mm]\lambda *\pmat{ 1 & 0&0&...&0 \\
0 & 1&0&...&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&...&\cdots\\
0&0&0&...&1 }[/mm]
> Hab ich es mir das zu einfach gemacht? Weil in der
> Diagonale müsse ja so immer die selbe Zahl vorkommen..
Ja, genau.
Da solltest Du nochmal genauer nachdenken.
Kannst ja mal überlegen, wie Du [mm] \pmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9} [/mm] zerlegen würdest.
> [mm]\pi_1(W)=W[/mm]
> [mm]\pi_1(W')=0[/mm]
Das stimmt zwar, aber noch wichtiger ist
[mm] $\pi_1(w)=w$ [/mm] für alle [mm] w\in [/mm] W
[mm] $\pi_1(w')=0$ [/mm] für alle [mm] w'\in [/mm] W'
Für den Rest bräuchstest Du erstmal die richtige Zerlegung.
> V [mm]\in M_{n \times n} (\IK)[/mm]
> [mm]\pi_1 (V)=\pi_1(\pmat{ \lambda & x_{12}&x_{13}&...&x_{1n} \\
x_{21} & \lambda&x_{23}&...&x_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&...&\cdots\\
x_{n1}&x_{n2}&x_{n3}&...&\lambda})=\pmat{ 0 & x_{12}&x_{13}&...&x_{1n} \\
x_{21} & 0&x_{23}&...&x_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&...&\cdots\\
x_{n1}&x_{n2}&x_{n3}&...&0 }[/mm]
>
> Was ist die Basis von V?
??? V ist doch eine Matrix. Matrizen haben keine Basen.
Achso: vielleicht wolltest Du nach der Basis von [mm] M_{n \times n} (\IK) [/mm] fragen. Das sind z.B. die [mm] n^2 [/mm] Matrizen, bei denen ein Eintrag 1 ist und die anderen 0.
Was planst Du? Willst Du die Darstellungsmatrix hinschreiben? Würd' ich nicht machen, sondern lieber die Funktionsgleichung explizit angeben, wie Du es hier oben bereits machst - bloß dann halt richtig. Aber das wird...
LG Angela
> Oder wie komme ich da weiter, wenn
> ich nicht schon falsch bin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Di 28.02.2012 | | Autor: | sissile |
> Hallo!
> > ZZ: W [mm]\cap[/mm] W' = 0
> Sei [mm]V\in[/mm] W [mm]\cap[/mm] W'.
> Dann ist
> > V [mm]\in[/mm] W -> tr(V)=0
> und
> > V [mm]\in[/mm] W' -> W= [mm]\lambda[/mm] * [mm]I_n[/mm]
> > v [mm]\in[/mm] W [mm]\cap[/mm] W'
> > => [mm]tr(\lambda I_n) =\lambda[/mm] * [mm]tr(I_n)[/mm]
> [mm]=\red{\lambda*n=}0[/mm]
> > also muss [mm]\lambda[/mm] =0 sein um =0 zu erreichen.
> > [mm]\lambda*I_n[/mm] =0 [mm]I_n[/mm] =0
> Nein. Sondern [mm]V=0*I_n=0.[/mm]
Einwand: Wir haben in den Übungen bewiesen dass [mm] tr(I_n)=n
[/mm]
also ist [mm] \lambda [/mm] * [mm] tr(I_n) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] *n
so dass =0 steht muss [mm] \lambda=0 [/mm] sein
Wenn du mich eines besseren belehrt nehme ich den Einwand sofort wieder zurück ;)
> >
> > ZZ:
> > W+W' = [mm]M_{n \times n} (\IK)[/mm]
Angenommen wir hätten bereits eine Zerlegung
beliebige X [mm] \in M_{n \times n} (\IK)
[/mm]
X = A + [mm] \lambda I_n
[/mm]
mit tr(A)=0 also A spurenfrei.
tr(X)=tr(A+ [mm] \lambda I_n) [/mm] = tr(A) + [mm] \lambda [/mm] * [mm] tr(I_n) [/mm] = [mm] \lambda*tr(I_n)= \lambda [/mm] n
Also ist [mm] \lambda [/mm] = [mm] \frac{tr(A)}{n}
[/mm]
Also ist für beliebige X [mm] \in M_{n \times n} (\IK)
[/mm]
X = A + [mm] \frac{tr(A)}{n} I_n
[/mm]
wobei A [mm] \in [/mm] W und [mm] \frac{tr(A)}{n} I_n \in [/mm] W'
Projektion auf W längs W'
> $ [mm] \pi_1(w)=w [/mm] $ für alle $ [mm] w\in [/mm] $ W
> $ [mm] \pi_1(w')=0 [/mm] $ für alle $ [mm] w'\in [/mm] $ W'
[mm] \pi_1 [/mm] (X) = [mm] \pi_1(A [/mm] + [mm] \frac{tr(A)}{n} I_n) [/mm] = [mm] \pi_1(A)
[/mm]
Projektion auf W' längs W
$ [mm] \pi_1(w)=0 [/mm] $ für alle $ [mm] w\in [/mm] $ W
$ [mm] \pi_1(w')=w' [/mm] $ für alle $ [mm] w'\in [/mm] $ W'
[mm] \pi_1 [/mm] (X) = [mm] \pi_1(A [/mm] + [mm] \frac{tr(A)}{n} I_n) [/mm] = [mm] \pi_1(\frac{tr(A)}{n} I_n)
[/mm]
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> > Hallo!
>
> > > ZZ: W [mm]\cap[/mm] W' = 0
>
> > Sei [mm]V\in[/mm] W [mm]\cap[/mm] W'.
> > Dann ist
> > > V [mm]\in[/mm] W -> tr(V)=0
> > und
> > > V [mm]\in[/mm] W' -> W= [mm]\lambda[/mm] * [mm]I_n[/mm]
> > > v [mm]\in[/mm] W [mm]\cap[/mm] W'
> > > => [mm]tr(\lambda I_n) =\lambda[/mm] * [mm]tr(I_n)[/mm]
> > [mm]=\red{\lambda*n=}0[/mm]
> > > also muss [mm]\lambda[/mm] =0 sein um =0 zu erreichen.
> > > [mm]\lambda*I_n[/mm] =0 [mm]I_n[/mm] =0
> > Nein. Sondern [mm]V=0*I_n=0.[/mm]
> Einwand: Wir haben in den Übungen bewiesen dass
> [mm]tr(I_n)=n[/mm]
> also ist [mm]\lambda[/mm] * [mm]tr(I_n)[/mm] = [mm]\lambda[/mm] *n
> so dass =0 steht muss [mm]\lambda=0[/mm] sein
>
> Wenn du mich eines besseren belehrt nehme ich den Einwand
> sofort wieder zurück ;)
Hallo,
k.A., was Du willst. Daß [mm] tr(I_n)=n [/mm] ist, habe ich doch extra in rot eingefügt...
> > >
> > > ZZ:
> > > W+W' = [mm]M_{n \times n} (\IK)[/mm]
> Angenommen wir hätten
> bereits eine Zerlegung
> beliebige X [mm]\in M_{n \times n} (\IK)[/mm]
> X = A + [mm]\lambda I_n[/mm]
>
> mit tr(A)=0 also A spurenfrei.
>
> tr(X)=tr(A+ [mm]\lambda I_n)[/mm] = tr(A) + [mm]\lambda[/mm] * [mm]tr(I_n)[/mm] =
> [mm]\lambda*tr(I_n)= \lambda[/mm] n
> Also ist [mm]\lambda[/mm] = [mm]\frac{tr(A)}{n}[/mm]
Nö. Es muß dann gelten [mm] $\lambda$ [/mm] = [mm] $\frac{tr(X)}{n}$.
[/mm]
>
> Also ist für beliebige X [mm]\in M_{n \times n} (\IK)[/mm]
> X = A + [mm]\frac{tr(A)}{n} I_n[/mm]
> wobei A [mm]\in[/mm] W und [mm]\frac{tr(A)}{n} I_n \in[/mm] W'
Problem: Du hast bisher noch gar nicht verraten, was A sein soll.
Nur, daß sie spurfrei sein soll, aber wirmüßten schon wissen, welches A zu nehmen ist. Es wird ja nicht mit jeder belieben spurfreien Matrix A klappen.
LG Angela
>
> Projektion auf W längs W'
> > [mm]\pi_1(w)=w[/mm] für alle [mm]w\in[/mm] W
> > [mm]\pi_1(w')=0[/mm] für alle [mm]w'\in[/mm] W'
> [mm]\pi_1[/mm] (X) = [mm]\pi_1(A[/mm] + [mm]\frac{tr(A)}{n} I_n)[/mm] = [mm]\pi_1(A)[/mm]
>
> Projektion auf W' längs W
> [mm]\pi_1(w)=0[/mm] für alle [mm]w\in[/mm] W
> [mm]\pi_1(w')=w'[/mm] für alle [mm]w'\in[/mm] W'
> [mm]\pi_1[/mm] (X) = [mm]\pi_1(A[/mm] + [mm]\frac{tr(A)}{n} I_n)[/mm] =
> [mm]\pi_1(\frac{tr(A)}{n} I_n)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mo 05.03.2012 | | Autor: | sissile |
> Nö. Es muß dann gelten $ [mm] \lambda [/mm] $ = $ [mm] \frac{tr(X)}{n} [/mm] $.
Ja natürlich!!
Also ist für beliebige X $ [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] $
X = A + $ [mm] \frac{tr(X)}{n} I_n [/mm] $
wobei A $ [mm] \in [/mm] $ W und $ [mm] \frac{tr(A)}{n} I_n \in [/mm] $ W'
> Problem: Du hast bisher noch gar nicht verraten, was A sein soll.
> Nur, daß sie spurfrei sein soll, aber wirmüßten schon wissen, welches A zu nehmen ist. Es wird ja nicht mit jeder belieben spurfreien Matrix A klappen.
Du meinst:...Dass A spurfrei ist fordere ich momentan ja noch, also muss ich noch herausfinden wie für ein gegebenes X nun A aussieht .
[mm] X=A+\lambda* I_n
[/mm]
mit tr(A)=0
Wert für [mm] \lambda=\frac{tr(X)}{n} [/mm]
Also sieht A so aus
A= X - [mm] \lambda I_n
[/mm]
Wolltest du auf das hinaus?
> Projektion auf W längs W'
> > $ [mm] \pi_1(w)=w [/mm] $ für alle $ [mm] w\in [/mm] $ W
> > $ [mm] \pi_1(w')=0 [/mm] $ für alle $ [mm] w'\in [/mm] $ W'
> [mm] \pi_1 [/mm] (X) = [mm] \pi_1(A [/mm] + [mm] \frac{tr(A)}{n} I_n) [/mm] = (A)
>
> Projektion auf W' längs W
> $ [mm] \pi_2(w)=0 [/mm] $ für alle $ [mm] w\in [/mm] $ W
> $ [mm] \pi_2(w')=w' [/mm] $ für alle $ [mm] w'\in [/mm] $ W'
> [mm] \pi_2 [/mm] (X) = [mm] \pi_2(A [/mm] + [mm] \frac{tr(A)}{n} I_n) [/mm] =
> [mm] \frac{tr(A)}{n} I_n [/mm]
Das ist aber korrekt oder??
Kurze Rückmeldung wäre fein ;))
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> > Nö. Es muß dann gelten [mm]\lambda[/mm] = [mm]\frac{tr(X)}{n} [/mm].
> Ja
> natürlich!!
>
> Also ist für beliebige X [mm]\in M_{n \times n} (\IK)[/mm]
> X = A +
> [mm]\frac{tr(X)}{n} I_n[/mm]
> wobei A [mm]\in[/mm] W und [mm]\frac{tr(A)}{n} I_n \in[/mm]
> W'
>
> > Problem: Du hast bisher noch gar nicht verraten, was A sein
> soll.
> > Nur, daß sie spurfrei sein soll, aber wirmüßten schon
> wissen, welches A zu nehmen ist. Es wird ja nicht mit jeder
> belieben spurfreien Matrix A klappen.
> Du meinst:...Dass A spurfrei ist fordere ich momentan ja
> noch, also muss ich noch herausfinden wie für ein
> gegebenes X nun A aussieht .
>
> [mm]X=A+\lambda* I_n[/mm]
> mit tr(A)=0
> Wert für [mm]\lambda=\frac{tr(X)}{n}[/mm]
>
> Also sieht A so aus
> A= X - [mm]\lambda I_n[/mm]
>
> Wolltest du auf das hinaus?
Hallo,
ja.
Alles, was Du bisher getan hast, sind geheime Vorarbeiten, die Du auf einem Schmierzettel ausführen kannst. Diejenigen, die am Ende Deinen Beweis lesen, müssen all das gar nicht wissen.
Die überraschst Du genauso, wie Deine Chefs Dich immer überraschen, wenn sie in Beweisen plötzlich Kaninchen aus dem Hut zaubern:
Sei [mm] X\in [/mm] $ [mm] M_{n \times n} (\IK) [/mm] $.
Es ist
[mm] X=(X-$\frac{tr(X)}{n}$ I_n)+$\frac{tr(X)}{n}$ I_n.
[/mm]
Wenn Du nun vorrechnest, daß [mm] (X-$\frac{tr(X)}{n}$ I_n) [/mm] spurfrei ist und sicherheitshalber noch erwähnst, daß [mm] $\frac{tr(X)}{n}$ I_n [/mm] natürlich ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist, dann hast Du [mm] M_{n \times n} (\IK)=W+W' [/mm] gezeigt.
> > Projektion auf W längs W'
> > > [mm]\pi_1(w)=w[/mm] für alle [mm]w\in[/mm] W
>
> > > [mm]\pi_1(w')=0[/mm] für alle [mm]w'\in[/mm] W'
> > [mm]\pi_1[/mm] (X) = [mm]\pi_1(A[/mm] + [mm]\frac{tr(A)}{n} I_n)[/mm] = (A)
[mm] \pi_1(X)=\pi_1((X-$\frac{tr(X)}{n}$ I_n)+$\frac{tr(X)}{n}$ I_n)=(X-$\frac{tr(X)}{n}$ I_n)
[/mm]
Die andere entsprechend.
LG Angela
> >
> > Projektion auf W' längs W
> > [mm]\pi_2(w)=0[/mm] für alle [mm]w\in[/mm] W
> > [mm]\pi_2(w')=w'[/mm] für alle [mm]w'\in[/mm] W'
> > [mm]\pi_2[/mm] (X) = [mm]\pi_2(A[/mm] + [mm]\frac{tr(A)}{n} I_n)[/mm] =
> > [mm]\frac{tr(A)}{n} I_n[/mm]
> Das ist aber korrekt oder??
> Kurze Rückmeldung wäre fein ;))
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Fr 09.03.2012 | | Autor: | sissile |
Klar!
Großes fettes Danke!
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